4.2.1等差数列的概念过关检测卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1等差数列的概念过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第二册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．在数列中，，点在直线上，则a3=（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 4．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（ ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 二、多选题 7．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 8．已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 三、填空题 9．正项等差数列中，，则的最小值为 ． 10．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 四、解答题 11．在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 12．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 13．已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 14．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 解析 一、单选题 1．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 答案：D 分析：根据等差数列的项的性质计算即可. 解析：在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 2．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 答案：B 分析：设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 解析：设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时，又， 因此或. 故选：B. 3．在数列中，，点在直线上，则a3=（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 答案：A 分析：证明数列是等差数列，利用等差数列通项公式求解. 解析：因为点在直线上，所以，即， 所以数列是公差为的等差数列，又，所以，故选：A. 4．设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（ ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 答案：C 分析：设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 解析：因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以，所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解. 解析：因为，所以，即． 又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列， 故，即． 故选：C. 6.已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 答案：C 分析：结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解. 解析：因为， 所以，所以，又，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 当时，取得最大值，所以取值为. 故选：C. 二、多选题 7．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 答案：AC 分析：选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 解析：选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 8．已知数列满足且，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是周期数列 C．是等差数列 D．数列的通项公式为 答案：ACD 分析：根据给定的递推公式，依次计算判断A；变形给定的递推公式，结合等差数列定义判断BCD. 解析：对于A，由，得，A正确； 对于BC，由，得， 则，数列是首项为，公差为的等差数列，B错误，C正确； 对于D，，则，解得，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．正项等差数列中，，则的最小值为 ． 答案： 分析：根据给定条件，利用等差数列性质及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 解析：由正项等差数列中，由，得， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为： 10．已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 答案： 分析：根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 解析：因为数列，，为等差数列，且 , 所以，即， 所以，化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意；综上，. 故答案为： 四、解答题 11．在等差数列中，，． (1)求数列的第10项； (2)112是数列的第几项？ 分析：（1）借助等差数列性质可得，从而得，即可求出公差，可得解； （2）根据等差数列通项公式求解. 解析：（1）设等差数列公差为，，则，又，则， 即，则，即； （2）根据（1），令，即，即112是数列的第39项． 12．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 分析：（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 解析：（1）设的首项为，公差为，因为， 所以，解得，所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项，所以中有项在到之间. 13．已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式与最大值. 分析：（1）计算，根据等差数列的概念即得结论； （2）由（1）可得，再研究其单调性，计算可得结论． 解析：（1）因为， 所以数列是以-1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可得，即 当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以， 又，，，所以数列的最大值是 14．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 分析：（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求出首项、公差得解； （2）利用做差比较法可判断符号； （3）假设存在，根据条件列出方程，解出满足条件的不为正整数即可得出结论. 解析：（1）设等差数列的公差为， 由题意可得 解得 则， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，故， 因此， 所以的符号为正. （3）由题知. 若为数列中的项，则必定有为的整数倍，即或3或9， 解得或或. 又为正整数，故不存在正整数，使得为数列中的项. 1 学科网（北京）股份有限公司 $