6.3.3 余角和补角（题型专练60题）2025-2026学年人教版七年级数学上册同步题型练系列

6.3.3 余角和补角 题型目录 题型分类练 1 题型1 求一个角的余角 1 题型2 求一个角的补角 6 题型3 余角、补角有关的计算 11 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 17 拓展思维创新练 26 中考真题 34 目标检测练 35 题型分类练 题型1 求一个角的余角 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．若两个角的和为，则这两个角互为余角．已知一个角的度数，用减去该角即得其余角的度数． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：互余的角有：，，，， 共有4对， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列图形中，与互为余角的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题关键． 根据两个角的和等于，则这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：观察选项中只有选项D中，，即与互为余角， 故选：D． 4．（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余关系，根据垂直知，，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴； 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）一个角比它的余角少，则这个角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查余角及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键； 设这个角的度数是，根据余角的关系可以列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数是，则它的余角是，根据题意得： 解得：， 答：这个角的度数是． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，长方形的性质，余角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可得到答案； （2）根据长方形的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，再表示出，最后根据是的余角，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：； （2）四边形是长方形， ， 将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角，角的运算． （1）根据余角的定义计算即可； （2）根据题意列出算式，再计算即可． 【详解】（1）的余角 ； （2）， ． 9．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点O，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 【答案】(1)，说明见解析 (2) 【分析】本题考查与余角有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）平角的定义求出的度数，角平分线求出的度数，余角的定义求出的度数，进而求出的度数，即可得出结果； （2）由（1）中求出的的度数，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，说明如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：， ∴． 题型2 求一个角的补角 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角的概念，根据补角的定义，两个角的和等于，因此的补角为减去即可． 【详解】解：∵，且补角之和为， ∴的补角． 故选：D． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角、补角、角的单位换算等知识点，理解余角、补角的定义是解题的关键． 根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角，并将小数度数转换为度分形式． 【详解】解：设这个角为， ∵余角为， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于互补的下列说法中：①，则，，互补；②若是的补角，则是的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了互补的性质和余角的定义，掌握概念及数量关系是关键． 互补的角指的是两个角的数量关系，不是三个角，判断①；由补角的定义判断②；设出这个锐角，然后表示其余角与补角可以判断③；用举例的方法判断④． 【详解】解：①互补的角指的是两个角的数量关系，不是三个角，所以①错误； ②若是的补角，则是的补角，所以②正确； ③设这个锐角为，则它的余角为，它的补角为， 所以，所以③正确； ④设一个角为，则它的补角是，故④错误． 综上所述，其中正确的是2个． 故选：B． 14．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了补角，绝对值，新定义，一元一次方程，解决问题的关键是理解新定义． 根据补角的概念，先求出这个角的垂角，由垂角的定义列方程，再解答即可 【详解】设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，根据题意， ， 或 解得或， 这个角的度数为或． 故选D． 15．（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 【答案】45 【分析】本题主要利用三角板的知识以及平角是180度解决问题．一副三角尺中有一个是等腰直角三角形，度数分别是，，，另一个是直角三角形，度数分别是，和，熟记各个角的度数是解答此类题的关键． 【详解】解：， 故答案为：45． 16．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，求一个角的补角的度数，由角平分线的定义可得的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是注意数形结合，借助平角为进行角度计算． 设，则，根据列方程求出，得出，再根据平角求出，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴的补角的度数为． 18．（24-25七年级上·天津·期末）如图，O为直线AB上一点，与互补，OM，ON分别是，的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补， ∴． 又___________=180°， ∴∠_________=∠_________． (2)若，求的度数． (3)若，则 （用表示）． 【答案】(1)BOC； AOD；BOC； (2)22°． (3)． 【分析】（1）根据与互补，得出．根据 BOC =180°，利用同角的补角性质得出∠AOD＝∠BOC． （2）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°，根据∠AOC与∠AOD互补，求出∠AOD＝180°﹣136°＝44°，再根据ON是∠AOD的平分线．可得∠AON＝∠AOD＝22°． （3）根据OM是∠AOC的平分线．得出∠AOC＝2，根据∠AOC与∠AOD互补，可求∠AOD＝180°﹣，根据ON是∠AOD的平分线．得出∠AON＝∠AOD＝． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴． 又 BOC =180°， ∴∠AOD＝∠BOC． 故答案为：BOC； AOD；BOC； （2）解：∵OM是∠AOC的平分线． ∴∠AOC＝2∠MOC＝2×68°＝136°， ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣136°＝44°， ∵ON是∠AOD的平分线． ∴∠AON＝∠AOD＝22°． （3）解：∵OM是∠AOC的平分线． ∴∠AOC＝2， ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°﹣， ∵ON是∠AOD的平分线． ∴∠AON＝∠AOD＝． 【点睛】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【详解】（1）解：， . , . （2）是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3）平分， ， 的余角的度数为. 题型3 余角、补角有关的计算 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，与余角、补角有关的计算．通过计算每个角的度数，并转换为度分秒形式，然后比较大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的余角为， ∴， ∵的补角为， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 21．（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②图中互补的角有5对；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，根据角平分线的性质，可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴与互余，故①正确； ∴与互补， 又，所以，与互补， ，所以，与互补， ，所以，与互补， ∵，所以，与互补， 所以，图中互补的角有5对，故②正确； ∴．故③正确； ∴，故④正确． 故选：D． 22．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】根据题意得和的度数相等，解出n的值，求出的度数，再根据互为补角的两个角的和为，即可求出的度数． 本题考查了余角和补角的计算，关键是知道一个角与另外两个角互为补角，则这两个角相等． 【详解】∵是的补角，是的补角， ∴， 解得， ， 。 故答案为： 23．（2023七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了余角，补角的定义，根据余角，补角的定义逐项判断即可求． 【详解】解：∵， ∴是的余角，故①正确； ∵和互补， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误，不合题意； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：3 24．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 【答案】（1）与互补，理由见解析；（2）猜想成立，理由见解析 【分析】本题考查的是余角及补角的定义，掌握补角的定义是解题关键， （1）根据和都是直角求出，，进而求出结论； （2）根据和都是直角求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）与互补，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）猜想成立，理由如下： ∵和都是直角， ∴. ∵， ∴， ∴与互补． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，若． (1)求出及其补角的度数． (2)判断与是否互补，并说明理由． (3)若，则与是否互补？请说明理由． 【答案】(1)， (2)与互补．理由见解析 (3)与不一定互补．理由见解析 【分析】(1)根据角的和差关系可求出度数，进而可求出补角的度数；（2）先求出度数，根据角平分线的定义分别求出，再求出度数即可得到结论；（3）方法与（2）相同即可得出成立与否的结论． 【详解】（1）解：， 其补角的度数为． （2）解：与互补．理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 与互补． （3）解：与不一定互补．理由如下： ∵平分，平分， ， ， ， 的大小不确定， 与不一定互补． 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 【答案】(1)和互余 (2)和互余，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又， ， ∴和互余； （3）解：的补角是， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴的补角是． 29．（24-25七年级下·广东佛山·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 30．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质解答即可； （3）分两种情况，根据平角等于180°求出即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即所在射线是的平分线； （3）解：∵， ∴可设，则， 如图，若在外部， ∵， ∴， 解得， 即， ∴； 如图，若在内部，此时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的度数为或． 31．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)南偏东 (2)详见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义、平角的定义，得出，进而推出，由已知，通过等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 即的方向是南偏东； （2）平分，平分， ，， ， ， 又，， ． 32．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，见解析 (2)，见解析 (3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小 (4)或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键． （1）由，平分得，进而得，据此可得出结论； （2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论； （3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况； （4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系； ②当在的外部时，由可得出与的关系． 【详解】（1）解：平分，理由如下： 依题意得：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由如下： 依题意得：， ∴，， ∴． （3）解：依题意得：， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小． （4）解：或，理由如下： 依题意得：， ①当在的内部时，如图： ， ∴； ②当在的外部时，如图： ． 33．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧． (1)如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是　 　，其依据是：　 　． (2)如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　 　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论） (3)如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论） 【答案】(1)，同角的余角相等 (2)图见解析， (3)或或 【分析】（1）根据同角的余角相等解决问题即可． （2）根据，求出，即可． （3）分两种情形：当时，根据求解，如图中，当时，根据，求解即可，如图中，当时，，求解即可． ． 【详解】（1）解：如图1中， ， ， （同角的余角相等）， 故答案为：同角的余角相等． （2）解：如图2中，如图，射线即为所求． ，， ， 平分， ， 平分， ， ， ． （3）解：如图中，当时， ． 如图中，当时， ． 如图中，当时， ． 综上所述，满足条件的的值为或或． 拓展思维创新练 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 35．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即． 36．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2) (3) (4)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由A，O，B三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据A、O、B三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）算出运动停止时间，点，，A三点共线的时间，需要分类讨论，在点C，O，A三点共线前和点C，O，A三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：∵， 设，， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点共线， ∴， ∴， 解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由： ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； 故答案为： ； （4）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为， 则， ∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 37．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 【答案】(1)是的“分补线”，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角等，理解“分补线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分补线”的定义，分和，根据，建立方程，解方程，进一步求解即可； 【详解】（1）解：是的“分补线，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是的“分补线； （2）解：①当与重合时， ∵平分， ∴， ∵为的“分补线”， ∴， ∴， ②设 ∵平分，为的“分补线”， ∴， ∴ 又∵为的“分补线”，则在的内部， 如图所示， 当 ∴ ∵ ∴ 即 解得： ∵为的“分补线”， 当， ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，或 中考真题 38．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 39．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和为的两个角互为补角，计算即可． 本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】。 则的补角为． 故选：D． 40．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    【答案】/20度 【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键． 41．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 目标检测练 一、单选题 42．（24-25七年级上·福建南平·期末）下列四个角中，最有可能与角互余的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握互余的两个角的度数之和为． 根据互余的两个角的度数之和为结合图形可得出答案． 【详解】解：∵， ∴与角互余的角为 A．此角接近等于，可能与互余，故本选项正确； B．此角大于小于，不可能与互余，故本选项错误； C．此角接近等于，不可能与互余，故本选项错误； D．此角为钝角，不可能与互余，故本选项错误； 故选：A． 43．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查补角，解答的关键是明确互补的两角之和为．利用补角的定义进行求解即可． 【详解】解：， 的补角为：． 故选：C． 44．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 45．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 46．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 47．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 二、填空题 48．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，互补是反映了两个角之间的关系，即和是，掌握补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义，的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角， 故答案为：． 49．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 50．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）若，，且，则可知，其理由是根据 ． 【答案】等角的补角相等 【分析】此题考查了补角性质．根据等角的补角相等进行解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴（等角的补角相等）， 故答案为：等角的补角相等 51．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角的和差，互为余角的性质，数形结合是解题的关键．根据同角的余角相等即可求解 ． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 52．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 53．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键． 由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 54．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 【答案】(1)； (2)同角的余角相等（或等量代换）． 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义及判定，互余、互补的概念及计算，理解图示，掌握角度的和差即，互余、互补的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角相等即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由垂直的定义，平角为，得到，，再根据同角的余角相等得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴，， ∴（同角的余角相等（或等量代换））， ∴平分（角平分线的定义）． 55．（24-25七年级上·福建福州·期末）若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查互余的概念及计算，掌握互余的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据余角的计算即可； （2）根据题意，列方程求解即可． 【详解】（1）解：这个锐角的余角为； （2）解：根据题意，得， 解得， 故这个锐角的度数为． 56．（23-24七年级上·河北承德·期中）如图，，平分，且，求度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和求一个角的余角，题目较为简单，先利用角平分线的定义求出，再求其余角即可，运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】∵平分，且 ∴， ∵， ∴， 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 58．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 59．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，互余互补的计算，数形结合，找准各个角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：； （2）解：是直线上一点， ， 平分， ， 是直角， ； ； （3）解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． 60．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)；猜想，理由见解析 【分析】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义即可求解； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得，进而得到，即可说明； （3）根据，，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴也是的平分线； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第 1 页，共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.3 余角和补角 题型目录 题型分类练 1 题型1 求一个角的余角 1 题型2 求一个角的补角 3 题型3 余角、补角有关的计算 5 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 6 拓展思维创新练 9 中考真题 10 目标检测练 11 题型分类练 题型1 求一个角的余角 1．（25-26七年级上·河南周口·期中）已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（    ） A．2对 B．4对 C．3对 D．5对 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列图形中，与互为余角的是 （    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）一个角比它的余角少，则这个角的度数是 ． 7．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，长方形中，点在边上．将沿折叠，点恰好落在边上的点处． （1）用等式表示线段，，之间的数量关系： ； （2）设，用含的代数式表示： ． 8．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知和两个角，且，，按题目要求完成下列两题： (1)求出的余角的度数； (2)求出的2倍与的的差． 9．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线相交于点O，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 题型2 求一个角的补角 11．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（　　） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于互补的下列说法中：①，则，，互补；②若是的补角，则是的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 15．（25-26七年级上·福建福州·月考）如图是用一副三角板拼成的图形，则图中 ． 16．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 17．（24-25七年级上·北京东城·期末）如图，点O在直线上，．若，，求的补角的度数． 18．（24-25七年级上·天津·期末）如图，O为直线AB上一点，与互补，OM，ON分别是，的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补， ∴． 又___________=180°， ∴∠_________=∠_________． (2)若，求的度数． (3)若，则 （用表示）． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 题型3 余角、补角有关的计算 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·广东湛江·期末）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②图中互补的角有5对；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知是的补角．是的补角，若，则的度数为 ． 23．（2023七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 24．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 25．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，若． (1)求出及其补角的度数． (2)判断与是否互补，并说明理由． (3)若，则与是否互补？请说明理由． 题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知A、O、E三点在同一条直线上，，且和互为余角． (1)和∠3互余吗？ (2)和有什么关系？为什么？ (3)的补角是哪个角？为什么？ 29．（24-25七年级下·广东佛山·月考）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 30．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？ (3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 31．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 32．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由； (3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化； (4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 33．（23-24六年级下·上海普陀·期末）已知O是直线MN上一点，∠MOA＝40°，∠AOB＝90°，∠COD与∠AOB都在直线MN的上方，且射线OC在射线OD的左侧． (1)如图1，射线OC在∠AOB的内部，如果∠COD＝90°，那么图中与∠AOC相等的角是　 　，其依据是：　 　． (2)如图2，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP，如果∠COD＝60°，且OC平分∠AOP，那么∠DON＝　 　°；（保留作图痕迹，不要求写出作法和结论） (3)如果∠COD＝60°，设∠AOC＝m°（0＜m＜80，且m≠30），用含m的式子表示∠BOD的度数．（直接写出结论） 拓展思维创新练 34．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 35．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 36．（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 37．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 中考真题 38．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·甘肃·中考真题）若，则的补角为（　　） A． B． C． D． 40．（2023·四川乐山·中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．    41．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 目标检测练 一、单选题 42．（24-25七年级上·福建南平·期末）下列四个角中，最有可能与角互余的角是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（   ） A． B． C． D．或 44．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 48．（25-26七年级上·全国·月考）若，则的补角的度数为 ． 49．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 50．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）若，，且，则可知，其理由是根据 ． 51．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 52．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 53．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 54．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，平分． (1)当时，求的度数； (2)小红遇到这样一道题目：“若，试说明平分．”请你将它补充完整： ∵平分， ∴______（角平分线的定义）， ∵， ∴______（垂直的定义）， ∴______，____________， ∴（_______）， ∴平分（角平分线的定义）． 55．（24-25七年级上·福建福州·期末）若一个锐角的度数为，且这个锐角比它的余角小． (1)这个锐角的余角为______（用含的式子表示）； (2)求这个锐角的度数． 56．（23-24七年级上·河北承德·期中）如图，，平分，且，求度数． 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 58．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 59．（24-25七年级上·安徽六安·期末）已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 60．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）． 【操作探究】 (1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，_____，_____； (2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； (3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系． 试卷第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $