1.1 二次函数 讲义 2025-2026学年 浙教版九年级上册数学

该初中数学二次函数讲义通过知识框架系统梳理了二次函数的概念、解析式形式及待定系数法，用对比表格呈现一般式、顶点式、两根式的特征与适用场景，以递进结构展示从特殊到一般的概念演变，突出a≠0的核心条件及三种解析式的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从概念辨析题（如判断二次函数的取值范围）到实际应用题（用铁丝围矩形求面积函数关系），培养抽象能力与模型意识。解答题强调待定系数法步骤，如已知三点坐标求解析式，引导学生通过推理意识构建方程，基础题巩固知识，综合题提升思维，助力教师精准教学与学生自主复习。

1.1 二次函数 讲义 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）. 要点： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 一、单选题 1．如果函数是二次函数，则的取值范围是（       ） A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数 2．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（       ） A． B． C． D． 3．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 4．下列结论正确的是（　   ） A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数 5．有一根长的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积与它的一边长之间的函数关系式为（             ） A． B． C． D． 6．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（   ） A．1或－1   B．1  C．－1    D．0 7．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．-11 B．-2 C．1 D．-5 8．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(       ) A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1) 9．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 10．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（   ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 二、填空题 11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___． 12．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____． 13．若点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 ____． 14．当常数m≠______时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m=___时，这个函数是一次函数． 15．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号） 16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式________． 17．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=___． 18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则这条抛物线的解析式为_______． 19．若抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），则k的值是_____． 20．已知，y与x的部分对此值如下表： x …… －2 －1 0 2 …… y …… －3 －4 －3 5 …… 则一元二次方程的解为__________． 三、解答题 21．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 22．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 23．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 24．已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式： （1）（0，-1），（1，-1），（2，3） （2）（0，0），（2，0），（-3，3） 25．已知点在函数(、为常数)的图像上，且当时，. (1)求、的值； (2)如果点与也在该函数图像上，求、的值. 26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣4 0 … （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点E（4，y）是该抛物线上的点，点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F，求点E和点F的坐标． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 二次函数 讲义 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）. 要点： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，，为常数，）； 2. 顶点式：（，，为常数，）； 3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 一、单选题 1．如果函数是二次函数，则的取值范围是（       ） A． B． C．＝﹣2 D．为全体实数 【答案】C 【提示】 根据二次函数定义可得m-2≠0，，再解即可． 【解答】 解：由题意得：m-2≠0，， 解得：m=-2， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】 根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析． 【解答】 解：A、是一次函数，故此选项错误； B、当时，是二次函数，故此选项错误； C、是二次函数，故此选项正确； D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确 【答案】C 【提示】 设y1＝k1x，y2＝k2x2，根据y＝y1﹣y2得到y＝k1x﹣k2x2，由此得到答案． 【解答】 解：设y1＝k1x，y2＝k2x2， 则y＝k1x﹣k2x2， 所以y是关于x的二次函数， 故选：C． 【点睛】 此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 4．下列结论正确的是（　   ） A．y=ax2是二次函数 B．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数的取值范围是非零实数 【答案】B 【提示】 根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题． 【解答】 解：A、应强调a是常数，a≠0，错误； B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确； C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误； D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误． 故选B． 【点睛】 本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义． 5．有一根长的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积与它的一边长之间的函数关系式为（             ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】 根据一边长为xcm，周长为60cm可得矩形的另一边长为（30－x）cm，然后根据矩形的面积公式列出函数关系式即可. 【解答】 解：根据一边长为xcm，周长为60cm可得矩形的另一边长为（30－x）cm，则S=x（30－x）． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键. 6．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（   ） A．1或－1   B．1  C．－1    D．0 【答案】C 【提示】 将（0,0）代入求出a的值，因为二次函数二次项系数不能为0，排除一个a的值即可. 【解答】 将（0,0）代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a=±1，∵a≠1，∴a=-1. 【点睛】 本题考查二次函数求常数项，解题的关键是将已知二次函数过的点代入，注意二次函数二次项系数不能为0. 7．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．-11 B．-2 C．1 D．-5 【答案】D 【提示】 由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案． 【解答】 解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称， 则错误应出现在x=-2或x=2时， 故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2， 故a=-3， 故y=-3x2+1， 当x=±2时，y=4a+1=-11， 故错误的数值为-5， 故选D． 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 8．二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(       ) A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1) 【答案】D 【提示】 将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可． 【解答】 ∵p+q=0， ∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)， ∵图象必经某点， ∴图像与p的值无关， ∴x-1=0，即x=1， 当x=1时，y=1， ∴它的图象必经过（1，1） 故选D. 【点睛】 本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解． 9．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 【答案】B 【提示】 根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案 【解答】 由题意， ∴a有四种选法：1、2、3、4， ∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4， ∴共有=100种， 故选：B 【点睛】 此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键． 10．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（   ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 【答案】B 【提示】 先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可 【解答】 ∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点， ∴， 解得：， 将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0， 得：﹣+4x+5+d＝0， 又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6， ∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0， 得：﹣36+4×6+5+d＝0， 解得：d＝7， 经验证d＝7时，△＞0，符合题意， ∴d＝7． 故选：B． 【点睛】 本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键． 二、填空题 11．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___． 【答案】     3     -5     1 【提示】 形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【解答】 解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 12．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为 _____． 【答案】-1 【提示】 若y＝+2x﹣3是二次函数式，则二次项系数不等于零，可得答案； 【解答】 解：由题意得：， 解得：m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题关键． 13．若点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，则2m2﹣6m+2029的值为 ____． 【答案】2025 【提示】 由于点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上，把该点代入二次函数即可得，整理可得；把2m2﹣6m+2029变形为，再把代入即可的出本题答案． 【解答】 解：∵ 点(m，0)在二次函数y＝x2﹣3x+2的图象上， ∴ 即； ∴2m2﹣6m+2029； 故应填2025． 【点睛】 本题主要考查了代数式整体代入求值的问题． 14．当常数m≠______时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m=___时，这个函数是一次函数． 【答案】     4，-2     4 【提示】 根据二次函数的定义可得当时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当且时，这个函数是一次函数． 【解答】 解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得 m2﹣2m﹣8≠0． 解得m≠4，m≠﹣2， 由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是一次函数，得 ， 解得m=4， 故答案为：4，﹣2；4． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义求参数，熟知相关定义是解本题的关键． 15．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号） 【答案】①②③④ 【提示】 根据二次函数的定义可得答案． 【解答】 解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x+200；④． 故答案为：①②③④． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式________． 【答案】y＝－x2＋2x＋2 【解答】 根据点A，B，C在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)代入 y＝ax2＋bx＋c得 解得，a＝－1，b＝2，c＝2. ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋2. 17．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，2）和（﹣1，﹣6）两点，则a+c=___． 【答案】﹣2 【解答】 试题分析：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：， ①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2． 18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则这条抛物线的解析式为_______． 【答案】 【提示】 根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0），设抛物线的解析式为，将（0，3）代入解析式即可得到a的值，再带回所设解析式化为一般式即可． 【解答】 根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0） 设抛物线的解析式为 将（0，3）代入解析式得 解得 解析式为 故答案为：． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤是解题的关键． 19．若抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k），则k的值是_____． 【答案】12 【提示】 由题意可知m2+4m+n2=-4①，m2-4m+n2=k②，由①得n2=-（m+2）2，根据非负数的性质得出n=0，m+2=0，求得m=-2，把m=-2，n=0代入②即可求得k的值． 【解答】 解：∵抛物线y=x2+4x+n2经过点（m，-4）和（-m，k）， ∴m2+4m+n2=-4①，m2-4m+n2=k②， 由①得n2=-（m+2）2， ∴n=0，m+2=0， ∴m=-2， 把m=-2，n=0代入②得k=12， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 20．已知，y与x的部分对此值如下表： x …… －2 －1 0 2 …… y …… －3 －4 －3 5 …… 则一元二次方程的解为__________． 【答案】， 【提示】 根据题意将，，代入，列出方程组，求出、、，再求解方程． 【解答】 解：依题意有：将，，代入， 得：， 解得：， ， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求解一元二次方程，解题的关键是利用待定系数法求解出解析式． 三、解答题 21．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 【答案】（1）k=2；（2）14 【提示】 （1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 【解答】 解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【点睛】 本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 22．已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）且． 【提示】 （1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题； 【解答】 （1）由题意得，，解得m=； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-. 【点睛】 本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念． 23．圆的半径是，假设半径增加时，圆的面积增加． （1）写出y与x之间的关系式； （2）当圆的半径分别增加时，圆的面积各增加多少？ 【答案】（1）；（2），， 【提示】 （1）根据圆的面积公式可得，再整理即可． （2）分别把，，2代入可得的值． 【解答】 解：（1）由题意得：； （2）当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】 本题主要考查了函数关系式，解题的关键是掌握圆的面积公式． 24．已知二次函数图像经过下列点，求二次函数的解析式： （1）（0，-1），（1，-1），（2，3） （2）（0，0），（2，0），（-3，3） 【答案】（1）；（2） 【提示】 （1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求解即可． （2）设二次函数的解析式为，然后代入（-3，3）用待定系数法即可求得． 【解答】 解：(1)设 把点（1，-1），（2，3）代入解析式得， ， 解得， ∴解析式为 (2)设 把点（-3，3）代入解析式得， ， 解得， ∴解析式为 【点睛】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25．已知点在函数(、为常数)的图像上，且当时，. (1)求、的值； (2)如果点与也在该函数图像上，求、的值. 【答案】(1)，；(2)；. 【提示】 （1）将点（2，7）、（，5）代入抛物线的解析式中，即可求得a、b的值； （2）可将已知两点的坐标代入（1）求得的解析式中，即可得到m、n的值． 【解答】 (1)依题意，得 解得，. (2)由(1)，知抛物线的解析式为； 将代入抛物线的解析式中，得，解得. 同理可求得. 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征. 26．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣4 0 … （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点E（4，y）是该抛物线上的点，点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F，求点E和点F的坐标． 【答案】(1)y＝(x+1)2﹣；(2)E点坐标为(4，8)，点F的坐标为(﹣6，8)． 【提示】 （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣ ），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣，然后把（0，﹣4）代入求出a即可； （2）计算当x＝4时对应的函数值得到E点坐标，然后利用对称的性质确定点F的坐标． 【解答】 (1)∵x＝﹣2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣)， 设抛物线解析式为y＝a(x+1)2﹣， 把(0，﹣4)代入得a(0+1)2﹣＝﹣4，解得a＝， ∴抛物线解析式为y＝ (x+1)2﹣； (2)当x＝4时，y＝ (4+1)2﹣＝8，则E点坐标为(4，8)， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 ∴点E关于抛物线的对称轴对称的点F的坐标为(﹣6，8)． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 )、 学科网（北京）股份有限公司 $