期末复习02一元二次方程与实际问题期末冲刺通关讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版九年级年级数学上册

期末复习02一元二次方程与实际问题期末通关讲义 期末必备知识 点梳理 1.解题核心流程 2.八大核心应用题型 3.教材探究案例深度解析 4.易错点与规避技巧 5.解题技巧与拓展 常考 题型 精讲 精炼 1.一元二次方程应用:传播类问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:图形相关问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程类问题 8.一元二次方程应用:行程类问题 9.一元二次方程应用:图标信息问题 10.一元二次应用之其他综合问题 11.一元二次方程应用:握手.循环赛问题 期末 备考 压轴 通关 压轴题(9) 【知识点01.解题核心流程】 解题核心步骤（审题 — 设元 — 列方程 — 求解 — 检验 — 作答） 1.审题：明确已知量、未知量，找出核心等量关系（如增长率问题中的终值公式、面积问题中的面积公式等）。 2.设元：直接设未知数（求什么设什么）或间接设未知数（复杂问题中设中间量更简便），注意单位统一。 3.列方程：用含未知数的代数式表示等量关系中的各量，列出一元二次方程，整理为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 4.求解：根据方程特点选合适解法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法），优先选简便方法（如因式分解法）。 5.检验：检验方程的根是否满足原方程，更要结合实际意义（如人数、长度、时间等不能为负，也不能超出实际范围），舍去不合题意的根。 6.作答：规范书写答案，注明单位。 【知识点02.八大核心应用题型】 （一）传播问题（含分支问题） 1.核心模型 *传染模型：初始传染源a个，每轮 1 个传染源传染x人，n轮后总感染人数y=a(1+x)n。 *分支模型：主干长出x个支干，每个支干再长x个小分支，总数（主干 + 支干 + 小分支）=1+x+x2。 2.示例 *传染问题：1 人患流感，两轮后共 121 人患病，列方程(1+x)2=121，解得x=10（x=−12舍去）。 *分支问题：月季主干、支干、小分支共 73 个，列方程1+x+x2=73，解得x=8（x=−9舍去）。 3.关键注意：每轮传染源数量会更新，分支问题中主干不参与二次分支。 (二）平均变化率问题（增长率 / 降低率） 1.核心公式：初始量a，平均变化率x，n次变化后终值b，则a(1±x)n=b（增长用 “+”，降低用 “−”）。 2.相关衍生公式 *增长额 = 终值 - 初始量；下降额 = 初始量 - 终值。 *增长率 = 增长额 / 初始量 ×100%；降低率 = 下降额 / 初始量 ×100%。 3.示例：甲药品成本 5000 元，两年后降至 3000 元，求年平均降低率。列方程5000(1−x)2=3000，解得x≈22.5%（x>1舍去）。 4.关键注意：n为变化次数（如 “两年” 对应n=2）；降低率x<1，增长率x>0 (三）商品销售利润问题 1.核心公式 *单件利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销售量。 *售价 = 标价 × 折扣；销售量 = 基础销量 ± 价格变化量 × 单位销量变化率（涨价减销量，降价增销量）。 2.示例：商品进价 30 元，标价 50 元，每涨价 1 元销量减 2 件，要获利润 2000 元。设涨价x元，列方程(50+x−30)(500−2x)=2000，整理求解后检验价格合理性。 3.关键注意：区分 “单件利润” 与 “总利润”；销量与价格的变化关系需准确对应。 (四）几何图形面积问题 1.常见类型与模型 图形类型 核心公式 常用方法 示例 矩形 长 × 宽 = 面积 割补法、平移法 矩形花坛四周修等宽小路，面积 176㎡，设路宽x，列方程(20+2x)(15+2x)−20×15=176 直角三角形 底高=面积 结合勾股定理 两直角边差 3，面积 20，设短边x，列方程x(x+3)=20 靠墙围图形 篱笆总长 = 长 + 2× 宽（长靠墙） 分析边长数量 用 30m 篱笆围矩形，长靠墙，面积 100㎡，设宽x，列方程x(30−2x)=100 折叠问题 折叠前后对应边、角相等 勾股定理建模 矩形纸长 10、宽 8，折叠后顶点落在对边，设折痕相关边长x，用勾股定理列方程 2.关键注意：不规则图形先转化为规则图形；注意边长的实际取值范围（如边长＞0）。 （五）数字问题（含连续数问题） 1.数字表示方法 *两位数：10a+b（a为十位数字，1≤a≤9；b为个位数字，0≤b≤9）。 *三位数：100a+10b+c（a为百位数字，1≤a≤9；b、c为十位、个位数字，0≤b,c≤9）。 2.连续数模型 *连续整数：x，x+1，x+2，… *连续偶数：x，x+2，x+4，…（x为偶数）。 *连续奇数：x，x+2，x+4，…（x为奇数）。 3.示例：两个连续偶数积为 168，设较小偶数为x，列方程x(x+2)=168，解得x=12或x=−14，对应两组偶数。 4.关键注意：首位数字不为 0；连续数的间隔需准确（偶数、奇数间隔 2）。 （六）比赛与握手问题（双循环 / 单循环） 1.核心模型 *单循环（每两队赛 1 场，如握手）：n个队 / 人，总场次S=。 *双循环（每两队赛 2 场，如互赠礼物）：n个队 / 人，总场次 / 礼物数S=n(n−1)。 2.示例：n人聚会，共握手 45 次，列方程=45，解得n=10（n=−9舍去）。 3.关键注意：区分单循环与双循环，避免重复计算。 （七）几何动态问题（动点 / 折叠） 1.核心思路：根据运动或折叠性质（如折叠前后全等，动点路程 = 速度 × 时间），结合勾股定理、面积公式等列方程。 2.示例：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发以 2cm/s 向B运动，点Q从B出发以 3cm/s 向C运动，t秒后△PBQ面积为 8，列方程(6−2t)×3t=8，求解并检验t的取值范围（0<t<3）。 3.注意：分析临界状态（如动点到达端点），避免漏解或多解。 （八）成本与降价 / 涨价问题（延伸题型） 1.核心公式：成本降低后价格 = 原成本 ×降低率；售价上涨后价格 = 原售价 ×增长率。 2.示例：手机原价 3600 元，两次降价后为 2500 元，求平均降价率。列方程3600(1−x)2=2500，解得x≈16.7%（x>1舍去）。 3.关键注意：成本降低率与降价额的区别，前者是相对变化，后者是绝对变化。 【知识点03.教材探究案例深度解析】 探究编号 核心问题 模型构建 解题关键 探究 1 流感传染问题 传染模型(1+x)2=121 明确每轮传染源更新，舍去负根 探究 2 药品成本降低率 降低率模型5000(1−x)2=3000，6000(1−y)2=3600 比较降低率与降低额的差异 探究 3 矩形温室面积问题 面积模型(2x−4)(x−2)=288（设宽为x，长为2x，扣除通道） 准确表示实际种植面积的长和宽 探究 4 商品利润问题 利润模型(x−30)[600−10(x−40)]=10000 正确建立销量与售价的反比例关系 【知识点04.易错点与规避技巧】 错点 具体表现 规避技巧 等量关系错误 传播问题漏算轮次，利润问题混淆单件与总利润 审题时圈画核心公式，熟记各题型模型 单位不统一 长度用米和厘米混用，面积单位错误 审题时统一单位（如都化为厘米），作答时规范标注 忽略实际意义 保留负根、零根或超出范围的根 解完方程后，对照实际背景逐一检验，不符合的直接舍去 解方程方法不当 复杂方程用配方法，计算繁琐出错 优先因式分解法，其次公式法，配方法仅用于求最值 设元不合理 复杂问题直接设元，导致列方程困难 灵活用间接设元或辅助设元，简化数量关系 【知识点05.解题技巧与拓展】 1.模型优先：遇到实际问题，先判断题型，匹配对应模型（如增长率问题直接用a(1±x)n=b），提高解题效率。 2.方程整理：列方程后先整理为一般形式，便于判断解法，同时避免计算错误。 3.最值求解：利润、面积等问题求最值时，可通过配方法将方程化为顶点式，结合实际意义确定最值。 4.多解分析：几何问题（如折叠、动点）可能有多个解，需全面分析，避免遗漏。 【题型1.一元二次方程应用:传播类问题】 【典例】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【跟踪训练1】在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学，根据“经过两节课全班49人恰好都会做这个实验了”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个人一节课教会6名同学． 【跟踪训练2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】(1) (2)会超过 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． （2）解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 【题型2.一元二次方程应用:增长率问题】 【典例】交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，根据一元二次方程与增长率的计算方法列式求解即可． 【详解】解：九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同， ∴设该品牌头盔销售量的月增长率为， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为． 【跟踪训练1】随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据平均增长率列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 【跟踪训练2】新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1) (2)万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可． （2）通过1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程得： ， ∴或（舍）， 答：月平均增长率为． （2）∵该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同， ∴4月份该品牌新能源汽车的销售量为（万辆）， 答：4月份该品牌新能源汽车的销售量大约为万辆． 【题型3.一元二次方程应用:图形相关问题】 【典例】为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，由题意得：，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 【跟踪训练1】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 【答案】m 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，运算的结果要根据题意取舍是解题的关键． 根据题意，设的长为，根据矩形的面积为列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设的长为，则的长为， 依题意得， 解得，， 在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是和， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ． 【跟踪训练2】数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1)①见解析；② (2)1，3，3，1， 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意作图如下： ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 【题型4.一元二次方程应用:数字问题】 【典例】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，请列一元二次方程求x的值． 【答案】 【分析】本题考查了日历表中的数字规律及一元二次方程的建立与求解，解题的关键是根据日历中相邻数字的排列特点（同一列相邻数差7，同一行相邻数差1），确定圈出的6个数中最大数与最小数的数量关系，再结合“最大数与最小数的积为225”列方程求解． 先观察日历中圈出的6个数的规律（如示例：最小数8，最大数24，两者相差16），得出“最大数与最小数的差为16”，即最小数为；再根据“最大数与最小数的积为225”列出一元二次方程；将方程整理为一般形式后求解，结合日历数字为正整数的实际意义，舍去不合理的解，得到的值． 【详解】解：∵最大数与最小数的积为225， ∴列方程得． 整理方程：． 因式分解得， 解得，． ∵日历中的数字为正整数，不符合实际意义，舍去． ∴的值为25． 【跟踪训练1】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 【跟踪训练2】小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 【题型5.一元二次方程应用:营销类问题】 【典例】“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】3元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 【跟踪训练1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【答案】(1) (2)该品牌头盔的实际售价应定为50元个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用月销售量（售价，即可用含的代数式表示出月销售量； （2）利用月销售利润每个的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：当售价为元个时，月销售量为个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元个． 【跟踪训练2】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可； （2）根据题意可知利润为，根据获得利润8000元，列出方程，解方程即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个， ∴， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴， ∴． 即，其中． （2）根据题意，得， 解得， ， ； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 的对称轴为直线， ， ， 当时，随的增大而增大， 时，取得最大值， ， 解得． 【题型6.一元二次方程应用:动态几何问题】 【典例】,如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 【跟踪训练1】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【跟踪训练2】如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过4s或6s，的面积为24cm2 (2)不会，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设运动时间为t秒，则，，，根据题意得，解方程即可； （2）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得或， ∵当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止， ∴，即， ∴经过4s或6s，的面积为24cm2． （2）解：不会，理由如下： ， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 【题型7.一元二次方程应用:工程类问题】 【典例】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【跟踪训练1】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【跟踪训练2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【题型8.一元二次方程应用:行程类问题】 【典例】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【跟踪训练1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【跟踪训练2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 【题型9.一元二次方程应用:图表信息问题】 【典例】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 【跟踪训练1】乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【跟踪训练2】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【详解】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【题型10.一元二次方程应用:其他综合问题】 【典例】优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】(1)； ； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； ∴，； （2）解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 【跟踪训练1】随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)应该再增加3个工厂． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设应该再增加m个工厂，根据每季度生产汽车27万辆，列一元二次列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售额的平均年增长率为x； 解得：（舍），， （2）解：设应该再增加m个工厂， （舍）， 答：应该再增加3个工厂． 【跟踪训练2】若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】(1) (2)无解 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法进行解方程，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先根据关于的一元二次方程的“关联值”为1，进行列式计算，得；再分别代入，进行计算，即可作答． （3）根据，得因为为整数，关于的一元二次方程的两根均为整数，再把数值代入进行化简，然后分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． （2）解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； （3）证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【题型11.一元二次方程应用:握手.循环赛问题】 【典例】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值．. 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 【跟踪训练1】九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 【跟踪训练2】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 1．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 2．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 3．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 4．A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． (1)任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； (2)任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； (3)任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 【答案】(1)A超市：，B水果店： (2)当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算 (3)A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元 【分析】本题考查了函数解析式的求解，方案选择问题及一元二次方程的利润问题． （1）A超市不打折，售价固定，付款金额与购买成正比例关系，直接得； B水果店3千克及以内按原价销售，故，超过3千克时，用表格中（付款11.1元）计算超过部分单价：（元/千克），得超过部分函数； （2）分三种情况讨论：购买量千克时，A超市单价更低；购买量千克时，比较A超市和B水果店的大小，通过解不等式得出分界点； （3）设售价为m元，计算降价金额与销售量增加量的关系，利用利润公式（售价-成本）×销售量=112，建立一元二次方程，解方程得两个解，根据“减少库存”要求选择较低售价即可． 【详解】（1）解：由题意知，A超市的购买量与付款金额之间的函数解析式为， B水果店：当时，西瓜售价为3元/千克，此时， 当时，前3千克按3元/千克付款，付款金额为：（元）， 超过3千克的部分为千克，这部分单价为：（元/千克）， ∴超过3千克部分的付款金额为元， ∴总付款金额为：， 综上，B水果店y与x的函数解析式为． （2）解：当时，， ∴选择A超市更合算， 当时，若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上所述，当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算． （3）解：设A超市将售价定为每千克m元， 由题意得：，解得：，， ∵尽可能减少库存， ∴， ∴A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元． 5．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 6．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 7．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 8．五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到． (1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？ (2)求B产品逐年递减的百分数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由A产品三年总销售额为万元时达成目标及这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到列式计算即可得到三年C产品的销售额． （2）设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，根据A产品三年总销售额为万元，C产品三年的销售额为万元，列出方程组，解得，根据B产品年销售额为万元，B产品销售额从年开始逐年递减百分数为，在年只需售出5万元列等量关系即可； 【详解】（1）解：（万元） 答：这三年用于C产品的销售额达到万元． （2）解：设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，B产品逐年递减的百分数为， 由题意知： ， 整理得：，解得：， 由题意知： ，即：， 整理得：， 解得：，（舍） 答：B产品逐年递减的百分数为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出对应的方程是解决本题的关键． 9．如图，点P是平行四边形内一点，，连接    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若的面积与的面积的比是，且，求平行四边形的面积； (3)如图3，在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，通过证明是等腰直角三角形，可得； （2）过点P作，交于M，交于N．根据，可求出，设，，由“AAS”可证，可得，由勾股定理可求的长，即可求解； (3) 过点P作于E交于F，在上截取一点T，使得．设，利用勾股定理以及全等三角形的性质，构建方程求出a，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴； （2）如图，过点P作，交于M，交于N．    ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点P作于E交于F，在上截取一点T，使得，连接．    设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 整理得，， ∴， 解得：，． 当时，， ∴此时不合题意舍去， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02一元二次方程与实际问题期末通关讲义 期末必备知识 点梳理 1.解题核心流程 2.八大核心应用题型 3.教材探究案例深度解析 4.易错点与规避技巧 5.解题技巧与拓展 常考 题型 精讲 精炼 1.一元二次方程应用:传播类问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:图形相关问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程类问题 8.一元二次方程应用:行程类问题 9.一元二次方程应用:图标信息问题 10.一元二次应用之其他综合问题 11.一元二次方程应用:握手.循环赛问题 期末 备考 压轴 通关 压轴题(9) 【知识点01.解题核心流程】 解题核心步骤（审题 — 设元 — 列方程 — 求解 — 检验 — 作答） 1.审题：明确已知量、未知量，找出核心等量关系（如增长率问题中的终值公式、面积问题中的面积公式等）。 2.设元：直接设未知数（求什么设什么）或间接设未知数（复杂问题中设中间量更简便），注意单位统一。 3.列方程：用含未知数的代数式表示等量关系中的各量，列出一元二次方程，整理为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 4.求解：根据方程特点选合适解法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法），优先选简便方法（如因式分解法）。 5.检验：检验方程的根是否满足原方程，更要结合实际意义（如人数、长度、时间等不能为负，也不能超出实际范围），舍去不合题意的根。 6.作答：规范书写答案，注明单位。 【知识点02.八大核心应用题型】 （一）传播问题（含分支问题） 1.核心模型 *传染模型：初始传染源a个，每轮 1 个传染源传染x人，n轮后总感染人数y=a(1+x)n。 *分支模型：主干长出x个支干，每个支干再长x个小分支，总数（主干 + 支干 + 小分支）=1+x+x2。 2.示例 *传染问题：1 人患流感，两轮后共 121 人患病，列方程(1+x)2=121，解得x=10（x=−12舍去）。 *分支问题：月季主干、支干、小分支共 73 个，列方程1+x+x2=73，解得x=8（x=−9舍去）。 3.关键注意：每轮传染源数量会更新，分支问题中主干不参与二次分支。 (二）平均变化率问题（增长率 / 降低率） 1.核心公式：初始量a，平均变化率x，n次变化后终值b，则a(1±x)n=b（增长用 “+”，降低用 “−”）。 2.相关衍生公式 *增长额 = 终值 - 初始量；下降额 = 初始量 - 终值。 *增长率 = 增长额 / 初始量 ×100%；降低率 = 下降额 / 初始量 ×100%。 3.示例：甲药品成本 5000 元，两年后降至 3000 元，求年平均降低率。列方程5000(1−x)2=3000，解得x≈22.5%（x>1舍去）。 4.关键注意：n为变化次数（如 “两年” 对应n=2）；降低率x<1，增长率x>0 (三）商品销售利润问题 1.核心公式 *单件利润 = 售价 - 进价；总利润 = 单件利润 × 销售量。 *售价 = 标价 × 折扣；销售量 = 基础销量 ± 价格变化量 × 单位销量变化率（涨价减销量，降价增销量）。 2.示例：商品进价 30 元，标价 50 元，每涨价 1 元销量减 2 件，要获利润 2000 元。设涨价x元，列方程(50+x−30)(500−2x)=2000，整理求解后检验价格合理性。 3.关键注意：区分 “单件利润” 与 “总利润”；销量与价格的变化关系需准确对应。 (四）几何图形面积问题 1.常见类型与模型 图形类型 核心公式 常用方法 示例 矩形 长 × 宽 = 面积 割补法、平移法 矩形花坛四周修等宽小路，面积 176㎡，设路宽x，列方程(20+2x)(15+2x)−20×15=176 直角三角形 底高=面积 结合勾股定理 两直角边差 3，面积 20，设短边x，列方程x(x+3)=20 靠墙围图形 篱笆总长 = 长 + 2× 宽（长靠墙） 分析边长数量 用 30m 篱笆围矩形，长靠墙，面积 100㎡，设宽x，列方程x(30−2x)=100 折叠问题 折叠前后对应边、角相等 勾股定理建模 矩形纸长 10、宽 8，折叠后顶点落在对边，设折痕相关边长x，用勾股定理列方程 2.关键注意：不规则图形先转化为规则图形；注意边长的实际取值范围（如边长＞0）。 （五）数字问题（含连续数问题） 1.数字表示方法 *两位数：10a+b（a为十位数字，1≤a≤9；b为个位数字，0≤b≤9）。 *三位数：100a+10b+c（a为百位数字，1≤a≤9；b、c为十位、个位数字，0≤b,c≤9）。 2.连续数模型 *连续整数：x，x+1，x+2，… *连续偶数：x，x+2，x+4，…（x为偶数）。 *连续奇数：x，x+2，x+4，…（x为奇数）。 3.示例：两个连续偶数积为 168，设较小偶数为x，列方程x(x+2)=168，解得x=12或x=−14，对应两组偶数。 4.关键注意：首位数字不为 0；连续数的间隔需准确（偶数、奇数间隔 2）。 （六）比赛与握手问题（双循环 / 单循环） 1.核心模型 *单循环（每两队赛 1 场，如握手）：n个队 / 人，总场次S=。 *双循环（每两队赛 2 场，如互赠礼物）：n个队 / 人，总场次 / 礼物数S=n(n−1)。 2.示例：n人聚会，共握手 45 次，列方程=45，解得n=10（n=−9舍去）。 3.关键注意：区分单循环与双循环，避免重复计算。 （七）几何动态问题（动点 / 折叠） 1.核心思路：根据运动或折叠性质（如折叠前后全等，动点路程 = 速度 × 时间），结合勾股定理、面积公式等列方程。 2.示例：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发以 2cm/s 向B运动，点Q从B出发以 3cm/s 向C运动，t秒后△PBQ面积为 8，列方程(6−2t)×3t=8，求解并检验t的取值范围（0<t<3）。 3.注意：分析临界状态（如动点到达端点），避免漏解或多解。 （八）成本与降价 / 涨价问题（延伸题型） 1.核心公式：成本降低后价格 = 原成本 ×降低率；售价上涨后价格 = 原售价 ×增长率。 2.示例：手机原价 3600 元，两次降价后为 2500 元，求平均降价率。列方程3600(1−x)2=2500，解得x≈16.7%（x>1舍去）。 3.关键注意：成本降低率与降价额的区别，前者是相对变化，后者是绝对变化。 【知识点03.教材探究案例深度解析】 探究编号 核心问题 模型构建 解题关键 探究 1 流感传染问题 传染模型(1+x)2=121 明确每轮传染源更新，舍去负根 探究 2 药品成本降低率 降低率模型5000(1−x)2=3000，6000(1−y)2=3600 比较降低率与降低额的差异 探究 3 矩形温室面积问题 面积模型(2x−4)(x−2)=288（设宽为x，长为2x，扣除通道） 准确表示实际种植面积的长和宽 探究 4 商品利润问题 利润模型(x−30)[600−10(x−40)]=10000 正确建立销量与售价的反比例关系 【知识点04.易错点与规避技巧】 错点 具体表现 规避技巧 等量关系错误 传播问题漏算轮次，利润问题混淆单件与总利润 审题时圈画核心公式，熟记各题型模型 单位不统一 长度用米和厘米混用，面积单位错误 审题时统一单位（如都化为厘米），作答时规范标注 忽略实际意义 保留负根、零根或超出范围的根 解完方程后，对照实际背景逐一检验，不符合的直接舍去 解方程方法不当 复杂方程用配方法，计算繁琐出错 优先因式分解法，其次公式法，配方法仅用于求最值 设元不合理 复杂问题直接设元，导致列方程困难 灵活用间接设元或辅助设元，简化数量关系 【知识点05.解题技巧与拓展】 1.模型优先：遇到实际问题，先判断题型，匹配对应模型（如增长率问题直接用a(1±x)n=b），提高解题效率。 2.方程整理：列方程后先整理为一般形式，便于判断解法，同时避免计算错误。 3.最值求解：利润、面积等问题求最值时，可通过配方法将方程化为顶点式，结合实际意义确定最值。 4.多解分析：几何问题（如折叠、动点）可能有多个解，需全面分析，避免遗漏。 【题型1.一元二次方程应用:传播类问题】 【典例】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【跟踪训练1】在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【跟踪训练2】某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. (1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【题型2.一元二次方程应用:增长率问题】 【典例】交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【跟踪训练1】随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 【跟踪训练2】新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【题型3.一元二次方程应用:图形相关问题】 【典例】为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【跟踪训练1】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角和（两边足够长），再用长的篱笆围成一个面积为矩形花园（篱笆只围、两边），在P处有一棵树与墙、的距离分别是和，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求的长． 【跟踪训练2】数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【题型4.一元二次方程应用:数字问题】 【典例】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数（如：8，14，15，16，17，24）．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，请列一元二次方程求x的值． 【跟踪训练1】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【跟踪训练2】小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【题型5.一元二次方程应用:营销类问题】 【典例】“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【跟踪训练1】自11月1日起，福建省电动自行车新规正式实施.其中明确规定，驾驶电动自行车搭载孩子时，孩子必须规范佩戴安全头盔，对违反规定的处以罚款.骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个. (1)当售价为x元/个时（），月销售量为_____个. (2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个? 【跟踪训练2】北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【题型6.一元二次方程应用:动态几何问题】 【典例】,如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【跟踪训练1】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练2】如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【题型7.一元二次方程应用:工程类问题】 【典例】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【跟踪训练1】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【跟踪训练2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【题型8.一元二次方程应用:行程类问题】 【典例】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【跟踪训练1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【跟踪训练2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【题型9.一元二次方程应用:图表信息问题】 【典例】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【跟踪训练1】乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【跟踪训练2】为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【题型10.一元二次方程应用:其他综合问题】 【典例】优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【跟踪训练1】随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某企业2021年新能源汽车的销售额为1亿，截止到年增长到亿．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是万辆季度，若每增加个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度． (1)求该企业2021年到2023年新能源汽车销售额的年平均增长率； (2)现该企业要保证每季度生产汽车万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【跟踪训练2】若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【题型11.一元二次方程应用:握手.循环赛问题】 【典例】九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值．. 【跟踪训练1】九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【跟踪训练2】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 1．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 2．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 3．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 4．A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． (1)任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； (2)任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； (3)任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 5．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 6．如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 8．五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到． (1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？ (2)求B产品逐年递减的百分数． 9．如图，点P是平行四边形内一点，，连接    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若的面积与的面积的比是，且，求平行四边形的面积； (3)如图3，在（1）的条件下，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $