18.4 整数指数幂（第1课时） 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦整数指数幂，通过回顾正整数指数幂运算性质及0指数幂，以“数的运算推广”类比搭建支架，引导学生从已知探究负整数指数幂的意义及运算性质。 其亮点在于融合数学史溯源与逻辑推理，通过幂符号演变培养抽象能力，由正整数指数幂性质推广验证整数指数幂性质发展推理意识，分层练习助力学生掌握运算，提升应用能力，为教师提供结构化资源，高效实施教学。

第十八章 分式 18.4 整数指数幂 （第1课时） 1．理解负整数指数幂的意义． 2．能熟练地运用整数指数幂的运算性质进行运算． 01 学习目标 a𝑚⋅a𝑛= ______(m，n是正整数) (am)n＝ ______(m，n是正整数) (ab)n＝ ______(n是正整数) am÷an＝ ______(a≠0，m，n是正整数，m＞n) ______ (n是正整数) 1 ．说一说正整数指数幂的运算性质． amn anbn a𝑚+𝑛 am-n 2．填空： 02 新知导入 随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？ 02 新知导入 4 下面，我们从追溯幂的符号的演变开始． 溯源：幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示． 03 新知讲解 an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以我将，，，…写成a -1，a -2，a -3，…．” 思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 03 新知讲解 由分式的约分可知，当a≠0时， ．① 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，则有 a3÷a5＝a3-5＝a -2．② 03 新知讲解 由①②两式，我们想到如果规定a-2＝ (a≠0)，就能使am÷an＝am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定： 一般地，当n是正整数时， . 这就是说，a -n(a≠0)是an的倒数． 03 新知讲解 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． 思考：引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an＝am＋n(m，n是正整数)①能否推广到m，n是任意整数的情形？ ，即； ，即； ，即． 一般地，am·an＝am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用． 03 新知讲解 探究：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质 (am)n＝amn(m，n是正整数)，② (ab)n＝anbn(n是正整数)，③ am÷an＝am-n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)，④ (n是正整数)⑤ 进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂． 03 新知讲解 例：计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 03 新知讲解 整数指数幂的计算方法 （1）利用负整数指数幂的意义，首先把负整数指数幂都转化为正整数指数幂，然后用分式的乘除计算． （2）先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步，再写成正整数指数幂的形式． 03 新知讲解 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， ， ， 因此， 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方． 03 新知讲解 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为： （1） (m，n是整数)； （2） (m，n是整数)； （3） (n是整数)． 03 新知讲解 【知识技能类练习】必做题： 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． C 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． C 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 3．计算： (1)；(2) 解：（1）原式； （2）原式． 04 课堂练习 【知识技能类练习】选做题： 4．计算，把结果化为只含有正整数指数幂的形式为 ． 04 课堂练习 【综合拓展类练习】 5．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； 3 04 课堂练习 【综合拓展类练习】 (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 解：（3）∵，∴，∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 04 课堂练习 整数指数幂 整数指数幂的运算性质 负整数指数幂 05 课堂小结 【知识技能类作业】必做题： 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2．若，则的值为（  ） A．8 B． C．−8 D． B 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．计算：(1)； (2)． 解：（1） 。 ； （2） ； 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4．将分式表示成不含有分母的形式： ． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5．先化简，再求值：，其中 解：原式 ， 其中， 将代入原式得． 06 作业布置 $