27.2.1 点与圆的位置关系 课件- 2025-2026学年华东师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“点与圆的位置关系”核心内容，涵盖位置关系的三种类型及数量关系判定，过点画圆规律，三角形外接圆与外心等知识点。以“飞镖靶子”情境导入，从观察点与圆的位置到分析距离与半径关系，再探究过点画圆规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过飞镖情境培养数学眼光，引导学生从现实中发现数量关系，以“画圆试一试”活动发展推理意识，如探究三点定圆条件时，通过中垂线交点推理圆心位置。结合坐标计算、网格外心、5G基站覆盖等实例渗透模型意识，课堂小结系统梳理知识结构。既助学生提升抽象能力与应用意识，又为教师提供情境导入到应用拓展的完整教学支持。

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第27章　圆 27.2.1 点与圆的位置关系 新课导入 你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 情景导入 探究新知 问题1：观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系 A B C O 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外 27.2.1 点与圆的位置关系 教学过程 幻灯片1：情境导入，直观感知（5分钟） 生活观察：展示三张图片——①射击靶上的弹孔（有的在靶心内，有的在靶环上，有的在靶外）；②操场上画圆游戏，学生站在圆内、圆上、圆外不同位置；③车轮上的螺栓、轮轴中心与地面点的位置关系。 师问1：这些场景中，点（弹孔、学生、螺栓）与圆（靶面、游戏圆、车轮）的位置有几种不同情况？你能尝试分类吗？ 引出课题：点与圆的位置关系有明显的直观差异，这种差异背后蕴含着怎样的数学规律？今天我们就从数学角度探究点与圆的位置关系。 设计意图：用学生熟悉的生活场景建立“点与圆位置”的直观认知，通过分类提问激发探究欲，自然衔接课题。 幻灯片2：分类探究，明确位置关系（10分钟） 动手操作：请同学们在练习本上画一个半径为3cm的⊙O，再在圆内、圆上、圆外分别画点A、点B、点C，用刻度尺测量OA、OB、OC的长度，记录数据。 位置分类：结合画图和测量结果，师生共同总结点与圆的三种位置关系： 1. 点在圆内：点到圆心的距离小于圆的半径，如图中点A，测量得OA＝2cm＜3cm； 2. 点在圆上：点到圆心的距离等于圆的半径，如图中点B，测量得OB＝3cm＝3cm； 3. 点在圆外：点到圆心的距离大于圆的半径，如图中点C，测量得OC＝4cm＞3cm。 符号表示：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： - 点P在圆内 ⇨ d＜r； - 点P在圆上 ⇨ d＝r； - 点P在圆外 ⇨ d＞r。 即时判断：已知⊙O半径r＝5cm，点P到O的距离d＝3cm、5cm、6cm，分别判断点P与⊙O的位置关系（圆内、圆上、圆外），强化“距离与半径”的关联。 幻灯片3：深化理解，探究性质（15分钟） 思考1：平面内的点与圆的位置关系，由什么因素决定？（点到圆心的距离d与圆的半径r的数量关系） 思考2：“圆内的点”有无数个，它们的共同特征是什么？（所有点到圆心的距离都小于r）圆外的点呢？（都大于r） 性质总结： 1. 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合； 2. 圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合； 3. 圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合。 辨析讨论：“平面内，到圆心距离等于半径的点都在圆上，在圆上的点到圆心距离都等于半径”，这句话是否正确？（正确，体现圆的本质特征，是“点在圆上”的充要条件） 拓展提问：若两个点到圆心的距离相等，这两个点与圆的位置关系一定相同吗？（不一定，需结合r判断，如d＝4cm，r＝5cm时都在圆内；r＝3cm时都在圆外） 幻灯片4：三点共圆问题，确定圆的条件（15分钟） 问题探究：过平面内一点可以画多少个圆？过两点呢？过三点呢？ 小组合作：学生用圆规尝试画图，教师引导总结： 1. 过一点A：圆心可在平面内任意位置（除A外），半径为圆心到A的距离，故有无数个圆； 2. 过两点A、B：圆心需满足到A、B距离相等，即在线段AB的垂直平分线上，故有无数个圆，圆心都在AB的垂直平分线上； 3. 过三点A、B、C：分两种情况： 三点共线：AB、BC的垂直平分线平行，无交点，故不能作圆； 4. 三点不共线：AB、BC的垂直平分线相交于唯一一点O，OA＝OB＝OC，以O为圆心、OA为半径可作唯一圆。 核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 概念补充：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（三边垂直平分线的交点），这个三角形叫做圆的内接三角形。 画图示范：教师在黑板上画△ABC，用尺规作三边垂直平分线，确定外心O，画出外接圆，强调外心到三个顶点距离相等。 幻灯片5：典例解析，巩固应用（15分钟） 例题1：已知⊙O的半径为6cm，点P是⊙O所在平面内一点，且OP＝8cm。判断点P与⊙O的位置关系；若点Q到圆心O的距离为3cm，求PQ的最大距离和最小距离。 解题步骤： 1. 判断P的位置：r＝6cm，OP＝8cm＞6cm，故点P在⊙O外； 2. 分析Q的位置：OQ＝3cm＜6cm，点Q在⊙O内； 3. 求PQ最值：当P、O、Q三点共线时，PQ取得最值。最大距离为OP＋OQ＝8＋3＝11cm，最小距离为OP－OQ＝8－3＝5cm。 例题2：已知△ABC，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，求△ABC外接圆的半径。 解题步骤： 1. ∵∠A＝90°，根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，Rt△ABC的外心在斜边BC的中点上（直角三角形斜边中线等于斜边一半）； 2. 由勾股定理得BC＝√(AB²＋AC²)＝√(3²＋4²)＝5cm； 3. 外接圆半径r＝BC/2＝2.5cm。 方法总结：涉及点与圆位置的计算，紧扣d与r的关系；求三角形外接圆半径，直角三角形特殊（外心在斜边中点），非直角三角形需作三边垂直平分线找外心。 幻灯片6：实际应用，拓展提升（10分钟） 应用1：确定圆形井盖的圆心：施工中发现一个破损的圆形井盖残片，如何确定它的圆心和半径？（方法：在残片弧上取三点A、B、C，作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到任意一点的距离为半径） 应用2：台风预警：台风中心位于A港正南方向100km处，台风影响范围是半径为60km的圆形区域，A港是否会受到台风影响？若台风向北移动，移动多少千米后A港开始受影响？（提示：d＝100km＞60km，不受影响；移动距离为100－60＝40km） 即时练习：某农场要建一个圆形蓄水池，要求蓄水池中心到三个灌溉点A、B、C的距离相等，已知A、B、C不在同一直线上，如何确定蓄水池的位置？（作AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心） 幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟） 核心回顾： 1. 点与圆的三种位置关系：内（d＜r）、上（d＝r）、外（d＞r），核心是d与r的数量关系； 2. 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形外心是三边垂直平分线交点； 3. 特殊结论：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 作业布置： 1. 基础题：①已知⊙O半径r＝4cm，点P到O的距离d分别为3cm、4cm、5cm，判断点P位置；②画△ABC（非直角），作其外接圆； 2. 提升题：在Rt△ABC中，斜边BC＝10cm，求外接圆面积； 3. 拓展题：探究“经过四点可以作几个圆”，分四点共圆、三点共线等情况举例说明。 探究新知 A B C O r 问题2：设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系. OA < r OB = r OC > r 点与圆的位置关系有三种： 1.点在圆内； 2.点在圆上； 3.点在圆外. 探究新知 点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的数量关系决定的. 一般地，如果点P是圆所在平面内的一点，r表示半径，则点P到圆心的距离有： 探究新知 练 一 练 1.点A在以O为圆心，3cm为半径的☉O内，则点A到圆心O 的距离d的范围是____________.　 0≤d＜3cm 2.☉O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与☉O的位置关系是(　　). A.点P在☉O内 B.点P在☉O上 C.点P在☉O外 D.点P在☉O上或☉O外　 A 探究新知 试 一 试 如图所示，画出过点A的圆. A 过一点，可以画多少个圆？ 无数个 探究新知 试 一 试 如图所示，画出过两点A、B的圆. A B 过两点，可以画多少个圆？圆心在哪里？ 无数个.它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 思考 经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？ 平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？ 探究新知 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置. 归纳小结： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 如果A、B、C三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗？ 探究新知 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个． 1.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. 2.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 3.这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等. 探究新知 练 一 练 3.下列命题中，错误的命题是(　　). A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 等弧所对的圆周角相等 C. 经过三点一定可作圆 D. 若一个梯形内接于圆，则它是等腰梯形 C 探究新知 返回 1. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆有(　　) A. 1个 　　　B. 2个 C. 3个 　　　D. 4个 C 考试考法 13 返回 2. 在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3. 下列说法中不正确的是(　　) A. 当a>8时，点B在⊙A外 B. 当a<8时，点B在⊙A内 C. 当a<2时，点B在⊙A外 D. 当2<a<8时，点B在⊙A内 B 考试考法 14 返回 3. 如图，X，Y，Z是某社区内的三栋楼，XY＝40 m，YZ＝30 m，XZ＝50 m. 若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26 m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是(　　) A. X，Y，Z B. X，Z C. Y，Z D. Y A 考试考法 15 4. 如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是(　　) A. M点 B. N点 C. P点 D. Q点 考试考法 16 【答案】D 返回 考试考法 17 5. 已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，B(0，2)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为________时，过P，A，B三点不能作出一个圆. (2，－2) 考试考法 18 【点拨】由题意可知，当P，A，B三点共线时，过这三点不能作出一个圆. 设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A(1，0)，B(0，2)的坐标分别代入， 返回 考试考法 19 6. 点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是_____________________. 6. 5 cm或2. 5 cm 考试考法 20 【点拨】分为两种情况： ①当点在圆内时，如图①，∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，∴直径AB＝4＋9＝13(cm). ∴半径r＝6. 5 cm； ②当点在圆外时，如图②，∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，∴直径AB＝9－4＝5(cm). ∴半径r＝2. 5 cm. 综上所述，⊙O的半径为6. 5 cm或2. 5 cm. 返回 考试考法 21 7. 如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A，B，C(A，B，C均为格点)，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. (1)根据图中提供的信息，标出该圆弧所在 圆的圆心D，并连结AD，CD. 考试考法 22 (2)请在(1)的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为________；点(6，－2)在⊙D________(填“上”“内”或“外”)；∠ADC的度数为________. 上 90° 考试考法 23 ◆用数量关系判断点和圆的位置关系. ◆不在同一直线上的三点确定一个圆. ◆求解特殊三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径. ◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想. 课堂小结 谢谢观看！ 【点拨】由图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除A选项和B选项. ∵每个小正方形的边长为1，由勾股定理得BP＝CP＝≠PA，∴排除C选项，故选D. 得解得∴直线AB的表达式为y＝－2x＋2. 解方程组得∴当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. (1)圆心D，AD，CD如图所示. 2 $