27.1.2.2 垂径定理及其推论 课件-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦垂径定理及其推论，从圆的轴对称性切入，通过折叠圆形纸片引导学生直观发现垂直直径平分弦及弧，再以“已知-求证”形式过渡到逻辑证明，搭建从直观感知到推理验证的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光与思维，借助折叠操作培养几何直观，通过全等三角形推理发展推理能力，例题涵盖拱形门、坐标系等现实情境体现数学语言表达。总结五条件联系帮助知识结构化，学生提升直观与推理能力，教师可直接用丰富例题及考法分析优化教学。

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第27章　圆 27.1.2.2 垂径定理及其推论 通过之前的学习我们知道了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． O 怎样证明圆是轴对称图形呢？ 27.1.2.2 垂径定理及其推论 教学过程 幻灯片1：情境激趣，提出问题（5分钟） 生活情境：展示一张破损的圆形古钱币图片，提问：“考古学家发现一枚破损的圆形古币，只残留一部分圆弧，如何根据这部分残片确定古币的圆心和半径，从而复原古币？” 旧知衔接：回顾上节课内容——圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。今天我们将利用圆的对称性，探究一条特殊的直线（垂直于弦的直径）与弦及弧之间的关系，解决这类实际问题。 设计意图：以考古复原古币的实际问题激发学生兴趣，通过圆的对称性铺垫，自然引出本节课探究的核心——垂直于弦的直径的性质。 幻灯片2：动手实验，探究性质（10分钟） 实验准备：每位同学准备一张圆形纸片（标注圆心O）、直尺、圆规、铅笔，完成以下操作： 1. 在⊙O中任意画一条弦AB，用圆规画出AB的中点M； 2. 过点M画直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，标记CD与AB的交点M，以及CD与⊙O的交点C、D； 3. 将圆形纸片沿直径CD对折，观察弦AB被对折后的两部分是否重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD是否重合。 小组讨论：对折后你发现了哪些等量关系？垂直于弦的直径CD对弦AB和所对的弧分别产生了什么影响？ 实验结论：对折后弦AB的两部分完全重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD也完全重合，说明CD平分AB，平分⌒AB和⌒ADB。 幻灯片3：推理论证，得出定理（15分钟） 定理推导：结合实验现象，用几何推理证明结论： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。 求证：AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。 证明过程： 1. 连接OA、OB，∵OA＝OB（圆的半径相等），∴△OAB是等腰三角形； 2. ∵CD⊥AB，根据等腰三角形“三线合一”性质，AE＝BE； 3. ∵CD是直径，且CD⊥AB，将△OAB沿CD对折，点A与点B重合，故⌒AC与⌒BC重合，⌒AD与⌒BD重合； 4. ∴⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理解读：定理的条件包含两个核心要素——“直径”和“垂直于弦”，结论包含三个要素——“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”，可简化记忆为“知二推三”。 符号表示：在⊙O中，若CD是直径，CD⊥AB于E，则AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。 幻灯片4：探究推论，拓展延伸（15分钟） 反向思考：若将垂径定理的条件和结论互换，比如“直径平分弦（不是直径）”，那么这条直径是否垂直于弦且平分弦所对的弧？ 推论推导：已知在⊙O中，CD是直径，AB是弦（非直径），CD平分AB于E，求证：CD⊥AB，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。（学生模仿定理证明过程，自主推导，教师引导） 核心推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 易错强调：推论中“弦不是直径”是重要前提，若弦是直径，平分直径的直径不一定垂直于该弦（如两条互相平分的直径，夹角可任意）。 推论拓展：师生共同梳理，得出其他等价表述： 1. 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； 2. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 方法总结：垂径定理及其推论的本质是利用圆的对称性，核心是“圆心到弦的距离”“半径”“弦长的一半”构成直角三角形，为后续计算奠定基础。 幻灯片5：典例解析，掌握应用（15分钟） 例题1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。 解题步骤： 1. 过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理，OC平分AB，故AC＝AB/2＝4cm； 2. 在Rt△OAC中，OC＝3cm（圆心到弦的距离），AC＝4cm，OA为半径r； 3. 由勾股定理得OA²＝AC²＋OC²→r²＝4²＋3²＝25→r＝5cm； 4. 答：⊙O的半径为5cm。 例题2：解决开篇问题——如何根据圆形残片确定圆心和半径？ 解决方案： 1. 在残片的圆弧上任意取三点A、B、C； 2. 连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O； 3. 连接OA（或OB、OC），OA的长度即为圆的半径。 方法提炼：涉及弦长、半径、圆心到弦的距离的计算，常通过“作垂线构直角三角形”，利用垂径定理和勾股定理求解，即“弦长一半²＋圆心距²＝半径²”。 幻灯片6：变式练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：在⊙O中，直径CD＝10cm，弦AB⊥CD于E，若OE＝3cm，求弦AB的长。（答案：8cm） 易错辨析：判断下列说法是否正确： 1. 垂直于弦的直线平分弦所对的弧；（错误，需“直线过圆心”） 2. 平分弦的直径垂直于弦；（错误，弦需“不是直径”） 3. 弦的垂直平分线必过圆心。（正确，符合推论） 提升练习：在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，若AE＝BE，且∠CEB＝90°，CD＝10cm，求圆心O到AB的距离。（提示：连接OA、OB，利用垂径定理，答案：5cm） 幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟） 核心回顾： 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（知二推三）； 2. 关键推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦及弧； 3. 核心方法：作垂线构造直角三角形，用勾股定理计算弦长、半径等。 作业布置： 1. 基础题：①教材习题，已知⊙O半径为5cm，弦AB＝6cm，求圆心O到AB的距离；②用直尺和圆规作一个圆，使它经过已知三点（非共线），并说明理由； 2. 提升题：在⊙O中，弦AB＝10cm，CD是直径，CD⊥AB于E，若DE＝2cm，求⊙O的半径； 3. 拓展题：收集生活中应用垂径定理的实例，如管道检修、隧道设计等，简要说明原理。 情景导入 新课探究 在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB , 垂足为点 P , 再将纸片沿着直径 CD 对折, 你发现了什么？ 对折后 , AP与 BP、 与 分别重合，即它们都是相等的. 如何来证明呢？ A P B D C O （A） 探究新知 求证：AP = BP , = , = . 已知：AB是⊙O的一条弦 , CD为直径 , CD⊥AB. A P B D C O 探究新知 证明 连结 CA、CB、OA、OB , 则 OA = OB , 即△AOB是等腰三角形. ∵ CD⊥AB , ∴ AP = BP . 又∵ CP = CP , ∴ Rt△APC ≌ Rt△BPC , ∴ AC = BC . ∴ = （在同一个圆中,如果弦相等, 那么它们所对的弧相等）. 由此易得 = A P B D C O 探究新知 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 探究新知 由上面的证明可知，如果⊙O的直径 CD 垂直于弦 AB , 垂足为 P ,那么点 A 、B 是关于 CD 所在直线的对称点，则AP =BP . 把⊙O沿 CD对折时， 与 重合，即 = . A P B D C O 探究新知 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 , 并且平分这条弦所对的两条弧; 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 不是直径 为什么强调这里的弦不是直径？ 探究新知 N O A B M C D 一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立． 探究新知 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形。 a d r A P B D O C b a + b = r 在a，b，r，d中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量． 探究新知 返回 1. 下列说法正确的是(　　) A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的弦平分这条直径 D. 过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧 D 考试考法 11 返回 2. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D. 若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 B 考试考法 12 3. [2025咸阳模拟]如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2 m，门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧， 考试考法 13 【点拨】如图，连结AD，设圆弧的圆心是O，连结OE交AD于点H，连结OA，OD，则OE⊥AD，AH＝DH. 易知AD＝2 m， 考试考法 14 【答案】B 返回 考试考法 15 4. AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________. 1或7 考试考法 16 【点拨】如图所示，连结OA，OC. 过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F. ∵AB∥CD，∴EF⊥CD. ∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5. ∵OE⊥AB，OF⊥CD， 考试考法 17 如图①，当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF－OE＝1；如图②，当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7. 综上，AB与CD之间的距离为1或7. 返回 考试考法 18 5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________. (2，6) 考试考法 19 【点拨】 ∵四边形OCDB是平行四边形，B(16，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝16. 如图，过点C作CE⊥OA于点E. 过点M作MF⊥CD于点F， 返回 考试考法 20 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F(点E在点F的左侧). (1)当⊙C经过点A时，求CP的长； (2)连结AP，CE，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长. 考试考法 21 考试考法 22 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. 当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形. 又∵CP＝CE，∴四边形APCE是菱形，∴PA＝CP. 设PA＝CP＝x，则PH＝4－x. 在Rt△APH中，由勾股定理得AH2＋PH2＝PA2，即32＋(4－x)2＝x2， 考试考法 23 返回 考试考法 24 课堂小结 CD是直径， AB是弦， CD⊥AB ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 垂径定理 D O A B P C ∟ AP ＝ BP ＝ ＝ 五个条件中的任意2个条件都可以推出其他3个结论。 课堂小结 谢谢观看！ E是的中点，则点E到门框底BC的距离是(　　) A. (2＋)m B. (1＋)m C. m D. (2＋)m ∴AH＝AD＝×2＝1(m). ∵＝，∴∠AOH＝∠AOD＝×90°＝45°. ∴△OAH是等腰直角三角形， ∴AH＝OH＝1 m，∴OA＝AH＝ m. 又∵OE＝OA，∴OE＝ m. ∴EH＝OE－OH＝(－1) m. ∵AB＝2 m， ∴点E到门框底BC的距离是2＋－1＝(＋1)m. 故选B. ∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3. ∴OF＝＝4，OE＝＝3. 则CF＝CD＝8. ∵A(20，0)，∴OM＝OA＝10，∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝10－8＝2. 连结MC，则MC＝OA＝10，在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6，∴点C的坐标为(2，6). 【解】(1)如图，连结AC. ∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴BH＝＝＝4，∴CH＝BC－BH＝4，∴CA＝＝5，∴当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5. 解得x＝，即⊙C的半径为. 如图，作CM⊥EF于M，则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF. 在Rt△CEM中，由勾股定理得ME＝＝＝，∴EF＝2ME＝. $