3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系——空间中的角 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦用向量法研究空间线线、线面角，以建筑设计实例导入，链接空间向量与位置关系，构建知识支架，引导从定义出发探究度量关系。 特色在于从定义深化理解，通过图示分析几何关系（数学思维），对比向量法与几何法（数学眼光），结合阳马、正三棱柱实例及检测题，总结“三步曲”（数学语言），助力学生提升空间观念与推理能力，为教师提供清晰教学流程与重难点突破策略。

用向量方法研究立体几何中的度量关系——空间中的角 【教学目标】 1． 从定义出发研究空间中角的度量方法（线线、线面），通过比较向量法和几何法的异同，感悟向量在研究几何问题中的工具作用； 2． 从具体问题出发，归纳总结一般情况，体会从特殊到一般的研究方法； 3． 学生能够独立用向量法求解线线、线面的夹角问题。 【教学重难点】 重点：研究直线与平面夹角的向量方法的形成过程。 难点：向量法背后的几何关系的论证与概括。 【课前准备】 学生预习课本130-131页内容，完成课前任务单，教师课前了解任务单完成情况，调整课堂教学侧重点。 【教学过程】 1、 课题导入 实例引入：生活中的空间图形无处不在，这些点线面之间的位置关系和度量关系，需要我们来计算。（在建筑设计时要计算，美观，稳定，安全。） 知识链接：最近我们学习了空间向量，并用向量法研究了立体几何中的特殊位置关系（平行、垂直），今天我们开始来研究空间中的一些度量关系，不平行也不垂直的普通的夹角问题。 通过课前任务单，我们已经明确了本节课的学习目标， 目标呈现： 1． 从定义出发研究空间中直线与直线的夹角，会用向量法求线线夹角； 2．从定义出发研究空间中直线与平面的夹角，会用向量法求线面夹角。 二、新知探究 （一）两条直线的夹角 1.回顾定义，深化理解 两条直线夹角的定义： 当两条直线与相交时， ； 当两条直线平行时，规定它们的夹角为： ； 当两条直线与异面时， ； 2.思考探究，得出结论 根据定义画图分析，两条直线与的夹角与它们的方向向量，的夹角有什么关系？ 图示分析： 结论：直线与的夹角与两个方向向量的夹角 ， （与的取值范围不同。） 也就是说： ； ； 故： 。 3.结论应用 例8改编：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB=2,BC=1,AA′=5.求AC′与A′D夹角的余弦值。 （思考：用不同的方法解决） 提问： 你认为这两种方法哪种比较好，为什么？ 总结：几何法与向量法的优劣。选择恰当的方式解决立体几何问题。 目标一检测： 1.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.阳马中，若平面，且，求异面直线与所成角的余弦值。 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建系如图， 不妨设，则，，，，， ，，设异面直线与所成角为，. 故异面直线与所成角的余弦值为. 总结：向量法求两直线夹角的步骤。 （2） 直线与平面的夹角 1.回顾定义，深化理解 直线与平面夹角的定义： 2.思考探究，得出结论 根据定义画图分析，直线与平面的夹角和直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 图示分析： 结论： 直线与平面的夹角和直线的方向向量与平面的法向量的夹角的关系是： ； ； 故： 。 3.结论应用 例9改编：如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，底面边长为1，BB′=2，求直线AB′与侧面ACC′A′夹角的正弦值。 总结方法： 可类比刚才线线夹角的求法来总结。 目标二检测： 2.在三棱锥中，，，两两互相垂直，E为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值。 解析：因为，，两两互相垂直，分别以，， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 由可设，则， 因此，，，，， 显然，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，；所以，设直线与平面所成的角为，所以。 （只给了距离关系，所以要设距离的具体长度以确定点的坐标。有学生设a,x等也可以，引导设数字1等更简单。） （用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”总结： 1.化为向量问题；2.进行向量运算；3.回到图形问题。） 三、课堂小结 内容： 1.从定义出发研究空间中直线与直线的夹角，会用向量法求线线夹角； 2． 从定义出发研究空间中直线与平面的夹角，会用向量法求线面夹角。 3． 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： 思想：从特殊到一般，向量法/坐标法。 四、作业布置 1.正式作业：课本P141：11，17 2.课后作业： 必做题：课本P132：练习； 选做题：本节练习册. 3.思考：我们已经研究了向量法求线线夹角和线面夹角，那么如何用向量法求面面夹角呢？ 五、板书设计 课题............ 学习目标： 一、线线夹角 检测1 检测2（题目提前写） 1.............. 图例及结论 ............①（总结 ............ 2.............. 二、线面夹角 ............② 步骤） ............ 图例及结论 ............③ ............ 1 学科网（北京）股份有限公司 $