18.4 整数指数幂 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案围绕“整数指数幂”展开，涵盖负整数指数幂的意义、整数指数幂的性质及科学记数法表示小于1的正数。通过复习正整数指数幂和0指数幂引入，以合作探究构建负整数指数幂概念，再推广性质并应用于科学记数法，形成旧知到新知的学习支架。 特色在于以问题链引导合作探究，助力学生自主推理构建知识，例题练习层层递进提升运算能力。科学记数法结合微米、纳米等生活实例，培养用数学语言表达现实世界的应用意识，有效发展学生的推理意识与运算能力。

18.4 整数指数幂（1） 一、学习目标 1.了解负整数指数幂的意义。 2.了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算。 学习重点：负整数指数幂的意义。 学习难点：熟练运用整数指数幂的性质进行计算。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？ 当 n是正整数时， 问题2：你还记得0指数幂的意义吗？当 n=0时，为什么这样规定？ （二）合作探究 思考1：如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 由分式的约分可知，当a≠0时， ① 推广 由①②两式，我们想到如果规定 (a≠0)，就能使am÷an=am-n这条性质也适用于像a3÷a5这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式， 数学中规定：一般地，当n是正整数时， 这就是说，a-n(a≠0)是an的 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数． (今后，如无特别说明，本书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.) 归纳：当 n是正整数时， 当 n是0时， 当n是负整数时， 【及时巩固】 思考2 引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质am·an=am+n（m，n是正整数）能否推广到m，n是任意整数的情形？ 我们从特殊情形入手进行研究．例如， 即 即 即 归纳 am·an=am+n（m，n是整数） 探究 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用． 【例题学习】 例1 计算： （1）； （2）； （3）； （4）. （四）巩固练习 1.填空: （1） 30 = ， 3−2 = ； （2）(−3)0= ， (−3)−2= ； （3） b0 = ， b−2 = . 2.计算：（1）x2y−3·(x−1y)3 （2）(2ab2c−3)−2÷ (a−2b)3. 3.填空： （1）若 (a−3)−2有意义，则a的取值范围为　　　； （2）1÷a−1=　　；a2·a−2=　　； (−ab−1)−2=　　． 18.4 整数指数幂（2） 一、学习目标 1.熟悉负整数指数幂的意义。 2.掌握整数指数幂的性质并能运用它进行计算。 学习重点：负整数指数幂的意义。 学习难点：熟练运用整数指数幂的性质进行计算。 二、学习过程 （一）课前诊断 1．下列运算结果是正数的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算： （二）探究新知 探究 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．大家试着验证看看 1.验证幂的乘方 2.验证同底数幂的除法 3验证积的乘方 4.验证分式的乘方 探究2.整数指数幂的五条性质的关系 总结 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， 因此 即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法 特别地， ，所以， 即商的乘方可以转化为积的乘方 整数指数幂的性质可归纳为三条 1. 2. 3. （三）巩固练习 二、填空题 1填空： （1） （2） （3） （4） 2计算= 3计算： 4计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1) (2) 18.4 整数指数幂（3 ） 一、学习目标 1.会利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示小于1 的正数。 2.通过新旧知识对比，体会类比迁移与化繁为简的数学思想。 学习重点：用科学记数法表示小于1 的正数。 学习难点：在用科学记数法表示小于1 的正数时，准确判断10的指数。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1课前检测 1．下列计算：①；②；③；④ ，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列运算错误的是（） A． B． C． D． 3．计算： 问题2 已知光速约为300 000 000 m/s，太阳半径约为696 000 km.请将这两个数字用科学记数法表示. （二）合作探究 探究0.1= = ； 0.01= = 0.001= = 0.000 1= = 0.000 01= = 0.00···01= = 科学记数法一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10−n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．这种形式更便于比较数的大小和运算. 例如自然科学和生活中经常用到的分（d）、厘（c）、毫（m）、微 （μ）、纳（n）等国际单位制词头，其中微对应10−6，纳对应10−9．微米（μm）、纳米（nm ）都是长度单位， 1 μm＝ m，1 nm＝ m． 思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m 个0呢？ 0.000 000 001 23= 如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是 ；如果有m个0，10的指数是 （三）典例分析 例1 用科学记数法表示下列数： 0.000 01， 0.000 025 7， 0.000 000 025 7. 例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20 nm．通常一根头发丝的直径约为70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ （四）巩固练习 1．用科学记数法表示下列数： 0.000 000 001， 0.001 2， 0.000 000 345， 0.000 000 010 8. 2．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约是毫米，用科学记数法表示为（  ） A．毫米 B．毫米 C．厘米 D．毫米 3．小聪在用科学记数法记录一个较小的数时，多数了2个零，结果错误地记成了，正确的结果应是（   ） A． B． C． D． 4．已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 5．中子是组成原子核的粒子之一，中子整体不显电性．中子的静止质量为，半径约为飞米（1飞米米），则飞米用科学记数法表示为 6．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 7.计算： （1）(2×10−6)×(3.2×103) ； （2）(2×10−6)2÷(10−4)3． （五）归纳总结 学科网（北京）股份有限公司 $