专题18.5 整数指数幂（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

本初中数学讲义聚焦整数指数幂核心知识点，从负整数指数幂的定义及证明入手，系统梳理整数指数幂的运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方等），并延伸至科学记数法表示较小数的方法，构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固基础，分层设计负整数指数幂计算、式子有无意义求值等题型，培养运算能力与推理意识。结合花粉直径等实例，引导学生用数学眼光观察现实，用科学记数法精准表达，课中助力教师分层教学，课后辅助学生查漏补缺。

专题18.5 整数指数幂 教学目标 1. 掌握并区分整数指数幂的所有计算，并能够在整数指数幂的计算中熟练应用。 2. 掌握科学记数法表示较小的数的方法，并能够熟练的表示较小的数。 教学重难点 1. 重点 （1） 整数指数幂的计算； （2） 科学记数法表示较小的数。 2. 难点 （1）负整数指数幂的计算； （2）利用整数指数幂的计算求值以及根据式子有无意义求值。 知识点01 整数指数幂 1. 负整数指数幂： 一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 。即： 。（a≠0）证明： = 。 写成分数的形式计算： 即： = = 。 ∴= 2. 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂 （指数均为整数，底数不为0） 运算法则 逆运算 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 【即学即练1】 1．﹣3﹣2＝　 　 ，（﹣3）﹣2＝　 　 ，（）﹣2＝　 　 ． 【即学即练2】 2．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． （1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2． 【即学即练3】 3．若（x﹣1）0﹣2（2x﹣6）﹣2有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜3 C．x≠1或x≠3 D．x≠1且x≠3 【即学即练4】 4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值． 知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其中a的取值范围为 ，n为正整数。 n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。 方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。 【即学即练1】 5．人体一根头发的直径约为0.000052米，将数字0.000052用科学记数法表示为（　　） A．0.52×10﹣4 B．52×10﹣6 C．5.2×10﹣6 D．5.2×10﹣5 题型01 负整数指数幂的计算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 【变式2】计算：（）﹣1＝ 　 ． 【变式3】将代数式表示成只含有正整数指数幂的形式为　 　 ． 【变式4】已知a﹣1﹣b﹣1＝3，化简　 　 ． 题型02 利用整数指数幂的计算求值 【典例1】已知，则m+2n的值＝　 　． 【变式1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　 　． 【变式2】已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值． 【变式3】已知|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，求a﹣2b﹣5的值． 题型03 根据式子有无意义求值 【典例1】若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 【变式1】若（x﹣2）0+（6﹣2x）﹣1有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．2＜x＜3 D．x≠2且x≠3 【变式2】若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3 【变式3】若（x+1）0无意义，则整式x2﹣x的值为　 　 ． 题型04 比较大小 【典例1】已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【变式1】已知，那么a，b，c的大小关系（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【变式2】若，则它们的大小关系是（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b 【变式3】若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c，d，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 题型05 用科学记数法表示较小的数 【典例1】用科学记数法表示0.0000456，正确的是（　　） A．4.56×10﹣5 B．45.6×10﹣6 C．4.56×105 D．0.456×10﹣4 【变式1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.000028m这个数用科学记数法表示是（　　） A．0.28×10﹣5 B．2.8×10﹣5 C．2.8×10﹣6 D．﹣2.8×105 【变式2】通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6 【变式3】某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（　　） A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10 C．18×10 D．1.8×10﹣10 1．下列计算正确的是（　　） A．00＝1 B．（﹣2）0＝﹣1 C．30＝1 D．（﹣1）0＝0 2．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（　　） A．1.4×10﹣8 B．1.4×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9 3．下列计算结果中值最小的是（　　） A．（﹣2）3 B．﹣（+2） C．﹣|3| D． 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣2）﹣3与23 B．（﹣2）﹣2与2﹣2 C．33与（）3 D．（﹣3）﹣3与（）3 5．若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d 6．若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2 7．若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 8．若，则（x+2）2023的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024 9．若a＝22033，，则a2b等于（　　） A．21000 B．22011 C．2﹣1011 D．（）1000 10．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例： 指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 … 新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 … 根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log28＝4，③log32．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11． 　 　 ． 12．计算：（﹣2a﹣2b3）÷（a3b﹣1）3＝ 　 ． 13．若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2025）2＝0，则m﹣1+n0＝ ． 14．利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为　 　 ． 15．将（3m3n﹣3）3•（﹣mn﹣3）﹣2的结果化为只含有正整数指数幂的形式为　 ． 16．（1）； （2）． 17．一块正方体铁块的棱长为0.2m． （1）这块正方体铁块的体积是多少m3（用科学记数法表示）？ （2）如果有一种小正方体铁块的棱长为2×10﹣2m，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以紧密的摆成棱长为0.2m的大正方体铁块？ 18．（1）计算（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）． （2）已知m2﹣5m﹣1＝0，求的值． 19．已知（|x|﹣4）x+1＝1，求整数x的值 小红与小明交流如下： 小红：因为a0＝1（a≠0）， 所以x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以x＝﹣1． 小明：因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 20．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在an＝b中，a、b、n三者的关系． 同学甲：在an＝b中，已知a、n，求b，这是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的n次方． 如：（﹣2）3＝﹣8，则﹣8是﹣2的3次方． 同学乙：在an＝b中，已知b、n，求a，这是我们学过的开方运算，其中a叫做b的n次方根， 如：（±2）2＝4，则±2是4的二次方根（即平方根）； （﹣2）3＝﹣8，则﹣2是﹣8的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于 　 　 ，﹣32的五次方根等于 　 　 ； 同学丙：老师，在an＝b中，如果已知a和b，那么如何求n呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知a、b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若an＝b（a＞0，a≠1），则n叫做以a为底b的对数，记作：n＝logab． 例如：23＝8，则3叫做以2为底8的对数，记作log28＝3． 结合上面的学习，请你计算： （2）log327＝　 　 ，　 　 ； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么loga（M•N）＝logaM+logaN． （3）请利用上述性质计算：log57+log5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.5 整数指数幂 教学目标 1. 掌握并区分整数指数幂的所有计算，并能够在整数指数幂的计算中熟练应用。 2. 掌握科学记数法表示较小的数的方法，并能够熟练的表示较小的数。 教学重难点 1. 重点 （1） 整数指数幂的计算； （2） 科学记数法表示较小的数。 2. 难点 （1）负整数指数幂的计算； （2）利用整数指数幂的计算求值以及根据式子有无意义求值。 知识点01 整数指数幂 1. 负整数指数幂： 一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 。（a≠0）证明： = 。 写成分数的形式计算： 即： = = 。 ∴= 2. 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂 （指数均为整数，底数不为0） 运算法则 逆运算 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 【即学即练1】 1．﹣3﹣2＝　　 ，（﹣3）﹣2＝　　 ，（）﹣2＝　9　 ． 【答案】；；9． 【解答】解：﹣3﹣2，（﹣3）﹣2，（）﹣2＝9， 故答案为：；；9． 【即学即练2】 2．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． （1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3， ＝a6b3c﹣3， ； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2， ＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2）， ＝8a4b6c﹣6， ． 【即学即练3】 3．若（x﹣1）0﹣2（2x﹣6）﹣2有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜3 C．x≠1或x≠3 D．x≠1且x≠3 【答案】D 【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，且2x﹣6≠0， 解得：x≠1且x≠3， 故选：D． 【即学即练4】 4．已知10﹣2α＝3，，求106α+2β的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵10﹣2α3，10﹣β， ∴102α，10β＝5， ∴106α+2β＝（102α）3•（10β）2， ＝（）3×52， 25， ． 知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其中a的取值范围为 1≤|a|＜10 ，n为正整数。 n的确定方法：方法1：左边起到第一个不为0的数字前的所有0的个数，包括小数点前面的那个0。 方法2：小数点向右移动到第一位非0数字后，小数点移动了几位n的值就是几。 【即学即练1】 5．人体一根头发的直径约为0.000052米，将数字0.000052用科学记数法表示为（　　） A．0.52×10﹣4 B．52×10﹣6 C．5.2×10﹣6 D．5.2×10﹣5 【答案】D． 【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5． 故选：D． 题型01 负整数指数幂的计算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， 故选：D． 【变式1】计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 【答案】C 【解答】解：（﹣3）﹣3， 故选：C． 【变式2】计算：（）﹣1＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（）﹣1 ． 故答案为：． 【变式3】将代数式表示成只含有正整数指数幂的形式为　　 ． 【答案】． 【解答】解：代数式表示成只含有正整数指数幂的形式为：． 故答案为：． 【变式4】已知a﹣1﹣b﹣1＝3，化简　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵a﹣1﹣b﹣1＝3， ∴， ∴b﹣a＝3ab， ∴a﹣b＝﹣3ab， ∴原式 ＝5． 故答案为：5． 题型02 利用整数指数幂的计算求值 【典例1】已知，则m+2n的值＝　﹣3　． 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴3m⋅32n＝3﹣3， ∴3m+2n＝3﹣3， ∴m+2n＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【变式1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　． 【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝， y﹣n＝（yn）﹣1＝． （x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝， 故答案为：． 【变式2】已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值． 【分析】根据负整数指数幂的性质及完全平方公式对原式进行化简，然后代入即可得出答案． 【解答】解：由已知，， ∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3． 【变式3】已知|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0，求a﹣2b﹣5的值． 【分析】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出a，b的值，再利用负整数指数幂的性质代入计算得出答案． 【解答】解：∵|b﹣2|+（a+b﹣1）2＝0， ∴b﹣2＝0，a+b﹣1＝0， 解得：b＝2，a＝﹣1， ∴a﹣2b﹣5＝（﹣1）﹣2×2﹣5 ＝1× ＝． 题型03 根据式子有无意义求值 【典例1】若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 【答案】C 【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0， 解得：x． 故选：C． 【变式1】若（x﹣2）0+（6﹣2x）﹣1有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．2＜x＜3 D．x≠2且x≠3 【答案】D 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0且6﹣2x≠0， 解得：x≠2且x≠3， 故选：D． 【变式2】若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义， ∴， 解得x≠4且x≠3． 故选：D． 【变式3】若（x+1）0无意义，则整式x2﹣x的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意可知，x+1＝0， ∴x＝﹣1， ∴x2﹣x＝（﹣1）2﹣（﹣1）＝1+1＝2． 故答案为：2． 题型04 比较大小 【典例1】已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【答案】D 【解答】解：根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则可得： ，b＝（﹣3）2＝9，c＝90＝1， ∴a＝b＞c， 故选：D． 【变式1】已知，那么a，b，c的大小关系（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【答案】D 【解答】解：a＝1，，c＝2， ∴c＞a＞b， 故选：D． 【变式2】若，则它们的大小关系是（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b 【答案】A 【解答】解：∵，b＝﹣32＝﹣9，，， ∴它们的大小关系是：b＜a＜d＜c， 故选：A． 【变式3】若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c，d，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 【答案】A 【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2，c9，d1， ∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c． 故选：A． 题型05 用科学记数法表示较小的数 【典例1】用科学记数法表示0.0000456，正确的是（　　） A．4.56×10﹣5 B．45.6×10﹣6 C．4.56×105 D．0.456×10﹣4 【答案】A． 【解答】解：0.0000456＝4.56×10﹣5． 故选：A． 【变式1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.000028m这个数用科学记数法表示是（　　） A．0.28×10﹣5 B．2.8×10﹣5 C．2.8×10﹣6 D．﹣2.8×105 【答案】B． 【解答】解：0.000028＝2.8×10﹣5． 故选：B． 【变式2】通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6 【答案】C 【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5． 故选：C． 【变式3】某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（　　） A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10 C．18×10 D．1.8×10﹣10 【答案】D． 【解答】解：0.00000000018＝1.8×10﹣10． 故选：D． 1．下列计算正确的是（　　） A．00＝1 B．（﹣2）0＝﹣1 C．30＝1 D．（﹣1）0＝0 【答案】C 【解答】解：A、00＝1，因为0的0次幂无意义，所以该等式不成立，不符合题意； B、（﹣2）0＝1≠﹣1，原计算错误，不符合题意； C、30＝1，正确，符合题意； D、（﹣1）0＝1≠0，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 2．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（　　） A．1.4×10﹣8 B．1.4×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9 【答案】B． 【解答】解：0.00000014＝1.4×10﹣7． 故选：B． 3．下列计算结果中值最小的是（　　） A．（﹣2）3 B．﹣（+2） C．﹣|3| D． 【答案】A． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，﹣（+2）＝﹣2，﹣|3|＝﹣3，9， ∴﹣8＜﹣3＜﹣2＜9， ∴（﹣2）3＜﹣|3|＜﹣（+2）， ∴最小的数是：（﹣2）3． 故选：A． 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．（﹣2）﹣3与23 B．（﹣2）﹣2与2﹣2 C．33与（）3 D．（﹣3）﹣3与（）3 【答案】D 【解答】解：A．（﹣2）﹣3与23＝8，两数不是相反数，故此选项不合题意； B．（﹣2）﹣2与2﹣2，两数不是相反数，故此选项不合题意； C．33＝27与（）3，两数不是相反数，故此选项不合题意； D．（﹣3）﹣3与（）3，两数是互为相反数，故此选项符合题意； 故选：D． 5．若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d 【答案】B 【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2，4，1， ∵﹣41＜4， ∴a＜b＜d＜c． 故选：B． 6．若（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜2 C．x≠3或x≠2 D．x≠3且x≠2 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣3）0﹣2（3x﹣6）﹣2有意义， ∴， 解得：x≠3且x≠2． 故选：D． 7．若等式（x﹣2）2x＝1，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣2）2x＝1， ∴x＝0时，原式＝1， 当x﹣2＝1时，x＝3，此时（x﹣2）2x＝16＝1， 当x﹣2＝﹣1时，x＝1，此时（x﹣2）2x＝（﹣1）﹣2＝1， 综上所述：x的值为3或1或0． 故选：D． 8．若，则（x+2）2023的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2022 D．2024 【答案】B 【解答】解：由题意可知：2x+1＝﹣1， ∴x＝﹣1， ∴原式＝（﹣1+2）2023＝1， 故选：B． 9．若a＝22033，，则a2b等于（　　） A．21000 B．22011 C．2﹣1011 D．（）1000 【答案】A 【解答】解：∵a＝22033，， ∴a2＝（22033）2＝24066，b＝（2﹣3）1022＝2﹣3066， ∴a2b＝24066×2﹣3066＝24066﹣3066＝21000． 故选：A． 10．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算对应关系的一组实例： 指数运算 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 … 新运算 log22＝1 log24＝2 log28＝3 … log33＝1 log39＝2 log327＝3 … 根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log28＝4，③log32．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：由题意得： ①∵24＝16， ∴log216＝4， 故①正确； ②∵23＝8， ∴log28＝3， 故②不正确； ③∵3﹣2， ∴log32， 故③正确； 所以，正确的是①③， 故选：B． 11． 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：原式＝﹣1+4＝3． 故答案为：3． 12．计算：（﹣2a﹣2b3）÷（a3b﹣1）3＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（﹣2a﹣2b3）÷（a9b﹣3） ＝﹣2a﹣2﹣9b3﹣（﹣3） ＝﹣2a﹣11b6 ． 故答案为：． 13．若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2025）2＝0，则m﹣1+n0＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2025）2＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣2025＝0， ∴m＝2，n＝2025， ∴m﹣1+n0＝2﹣1+20250． 故答案为：． 14．利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为　2（m+n）﹣1．　 ． 【答案】2（m+n）﹣1． 【解答】解：由题意可得：， ∴利用负整数指数幂将写成不含分母的形式为2（m+n）﹣1， 故答案为：2（m+n）﹣1． 15．将（3m3n﹣3）3•（﹣mn﹣3）﹣2的结果化为只含有正整数指数幂的形式为　27m7（）3 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（3m3n﹣3）3•（﹣mn﹣3）﹣2 ＝27m9n﹣9•（m﹣2n6） ＝27m7（）3． 故答案为：27m7（）3． 16．（1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）1． 【解答】解：（1）原式＝﹣2+4﹣2÷1 ＝﹣2+4﹣2 ＝0； （2）原式 ＝1． 17．一块正方体铁块的棱长为0.2m． （1）这块正方体铁块的体积是多少m3（用科学记数法表示）？ （2）如果有一种小正方体铁块的棱长为2×10﹣2m，那么需要多少块这样的小正方体铁块才可以紧密的摆成棱长为0.2m的大正方体铁块？ 【答案】（1）8×10﹣3立方米；（2）1000块． 【解答】解：（1）根据题意可知，0.23＝0.008＝8×10﹣3（立方米）， 答：这块正方体铁块的体积是8×10﹣3立方米； （2）（2×10﹣2）3＝23×10﹣6＝8×10﹣6（立方米）， 8×10﹣3÷（8×10﹣6）＝1×103＝1000（个）， 答：需要1000块这样的小正方体铁块． 18．（1）计算（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1）． （2）已知m2﹣5m﹣1＝0，求的值． 【答案】（1）；（2）27． 【解答】解：（1）（x﹣2﹣y﹣2）÷（x﹣1+y﹣1） ； （2）∵m2﹣5m﹣1＝0， ∴m2﹣5m＝1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．已知（|x|﹣4）x+1＝1，求整数x的值 小红与小明交流如下： 小红：因为a0＝1（a≠0）， 所以x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以x＝﹣1． 小明：因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为a0＝1（a≠0）， 所以x+1＝0且|x|﹣4≠0，所以x＝﹣1． 因为1n＝1，所以|x|﹣4＝1，所以x＝±5 当|x|﹣4＝﹣1， 解得：x＝±3，此时（|x|﹣4）x+1＝（﹣1）4或（﹣1）﹣2其结果都为1， 综上所述：x的值可以为：﹣1，±3，±5． 20．【实践与探究】 【类比学习】在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学一起探讨：在an＝b中，a、b、n三者的关系． 同学甲：在an＝b中，已知a、n，求b，这是我们学过的乘方运算，其中b叫做a的n次方． 如：（﹣2）3＝﹣8，则﹣8是﹣2的3次方． 同学乙：在an＝b中，已知b、n，求a，这是我们学过的开方运算，其中a叫做b的n次方根， 如：（±2）2＝4，则±2是4的二次方根（即平方根）； （﹣2）3＝﹣8，则﹣2是﹣8的三次方根（即立方根）． 老师：两位同学说的很好，那么请大家类比平方根、立方根的定义计算： （1）81的四次方根等于 　±3　 ，﹣32的五次方根等于 　﹣2　 ； 同学丙：老师，在an＝b中，如果已知a和b，那么如何求n呢？又是一种什么运算呢？ 老师：这个问题问的好，已知a、b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算． 这种运算的定义是：若an＝b（a＞0，a≠1），则n叫做以a为底b的对数，记作：n＝logab． 例如：23＝8，则3叫做以2为底8的对数，记作log28＝3． 结合上面的学习，请你计算： （2）log327＝　3　 ，　﹣6　 ； 随后，老师和同学们又一起探究出对数运算的一条性质：如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么loga（M•N）＝logaM+logaN． （3）请利用上述性质计算：log57+log5． 【答案】（1）±3，﹣2；（2）3，﹣6；（3）． 【解答】解：（1）∵（±3）4＝81， ∴81的四次方根等于±3， ∵（﹣2）5＝﹣32， ∴﹣32的五次方根等于﹣2； 故答案为：±3，﹣2； （2）∵33＝27， ∴log327＝3， ∵， ∴； 故答案为：3，﹣6； （3）∵loga（M•N）＝logaM+logaN， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $