福建省同安第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

同安一中2025-2026学年上学期期中考试高三数学参考答案 一、单选题BDBA ABAD 二、多选题 9.BC 10.ACD 11.AC 三、填空题 12.9 13.21-2 14.10 四、解答题 15.解：(1)因为asinB+V3bcos4=0,所以由正弦定理得sin AsinB+√3 sin BcosA=0,.2分 因为sinB≠0，所以sinA+√5cosA=0,即sinA=-V3cosA,4分 由上式可知0s4≠0，所以4-5，即anA=-5, 5分 COsA 因为A∈(0，π)，所以A= 2π 3’6分 2》在△1Bc中，4=交，a=261e=V5. 则由余弦定理得2=b+c2-2 bc cos2亚， 3,8分 得4=(b+c)2-2bc+bc,.9分 得4=5-bc,得bc=1,.10分 b 4 由正弦定理得，sin B sinc sin A sin25,12分 3 得in8sinC=力.Q、3 44 16 …13分 V53 16.解：(1)设AD中点为O,连接PO,CO, D B 因为四边形ABCD为菱形，ADC=子所以a1CD为正三角形，…1分 又△PAD为正三角形，则PO⊥AD,CO⊥AD,·3分 因为AC=23,所以PO=CO=3,…4分 所以PO+CO2=PC2,即PO⊥CO,…5分 因为CO∩AD=O,CO,ADc平面ABCD,所以PO⊥平面 P ABCD,…6分 因为POC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…7分 (2)由(1)可知OC,OD,OP两两垂直， 以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示 坐标系，…8分 B 则P(0,0,3),B3,-25,0),C(3,0,0),PB=(3.-25,-3)； PC=(3,0,-3),…9分 易知平面PAD的一个法向量i=(1,0,0),…11分 设平面PBC的法向量i=(x,,), m-PB=3x1-23y-3z1=0 则 ,可得平面PBC的一个法向量i=(1,0,1),…14分 m.PC=3x1-3z1=0 设平面PBC与平面PAD的夹角为B, 则c0s日= 成1√2 成1x√22' …15分 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为 2 17.解：(1)由双曲线C的实轴长为4，得a=2,…1分 由双曲线c的离心率为之，得Y2+V5 ,得b=1,…2分 所议双曲线C的方程为名少=1…3分 y=k-2 (2)(i)设A(,y),B2,y,)，由 2-4=4消去y得 1-4k2)x2+16-20=0,…4分 1-4k2≠0 △=256k2-80(4k2-1)>0 由A,B都在双曲线C的右支上，得+6=14依>0 16 ,…7分 20 5=1->0 解得！sk<5 2 2 所以k的取值范围是5k<5…8分 2 2 )保题这，0-》，万历=化+习化，+2网历卡智…0分 则，+0y+2X,+2)=,+店x5=Q+)XX,-20+)40,解得k=1,…12分 1-4k23 16 而，k<5 则k=1,{ +x,=3 2 2 20，…13分 2 3 所以△a的积sa号oPI气H馬名G+)4g言…15分 18.解(1)事件“X1=1即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球：…1分 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， .224 则PX=)=3号g…3分 (2)依题意可知X2的所有可能取值为0,1,2,3，…4分 0yx==子舌x==古…6公 1.11 x=0=风x=0店号 ,…7分 x=0=x=后引心g=层引-+号 2244,4432 ，…8分 ==x=到意9分 PX:=2)=1-PX,=0-PK,=D-PK,=)=1 81 +P(X,=3)×1 =4×4+4×41_41 …10分 9999981 所以X,的分布列如下表： X. 0 1 2 3 4 32 41 4 81 8 81 4 +20- 3 所以E(X2)=0× 81+1× +38181-9 .…12分 (3)依题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,3， x-0=x=rf-Px=-.13分 xn-x-4+x-G子x-目到 =Px=0+PK=D+号P区=2)…14分 9 Px2-Px存引0x=传号rx=1 -号P0x-+号P0x=2》.=,15分 x==rx=3后-片，=.16分 :P(X=0)+P(X,=1)+P(X=2)+P(X=3)=1, E(Xa+)=0×P(XH=0)+1×P(XH=1)+2×P(Xa1=2)+3×P(XaH=3) 代入化简可得：BK)=P(X=0)+P(K.=)+PX-2)+2Px,-3). BCX-[PX.-0+PX-0+PX-2)+PX-)}X=+子X-2)+PX=) =1+30xPX,=0+1xPX=0+2xPX。=2)+3xPX,=3训 =1+号X,).…17分 19.【解】(1)因为f(四=csn,所以∫()=e(sinx+cos)…1分 经计算得f(r)=0,f(π)=-e”…3分 所以函数f(四在x=π处的切线方程为y-0=-e(K-),也即ex+y-e=04分 (2)因为x∈(0，π)，所以sinx>0,故由f(x)≥(x+b)sinx得e*≥ax+b.…5分 设g(x)=e-ax-b,则g'(x)=e-a. ①当a≤0时，则g'(x)>0,所以g(x)在x∈(0，π)上单调递增 从而g(0)=1-b≥0，解得b≤1，此时，a+b≤1.…6分 ②当0<a≤1时，g'(x)>0在(0，)上恒成立，g(x)单调递增， 则需g(0)≥0，即b≤1，此时a+b≤a+1≤2；…7分 当1<a<e时，则0<x<na时，g'(x)<0,g(x)单调递减： lna<x<π时，g'(x)>0,g(x)单调递增 所以g(ha)=a-alna-b≥0，变形可得b≤a-alna. 此时，a+b≤2a-alna.…8分 设h(a=2a-alha,ae(1,e),则(a)=1-na 当1<a<e时，h(a)>0,h(a)为增函数： 当e<a<e时，h(a<0,h(a)为减函数 所以[h(a]nx=h(e)=e,即a+b≤e,当且仅当a=e,b=0时取等号. 综合可知a+b的最大值为e.…9分 ③当a≥e时，g(x)在(0，π)上单调递减， 从而g(π)=e"-am-b20,解得b≤e-am. 此时a+b≤e"+(1-π)a≤e"+(1-π)e"=(2-π)e<0.…10分 综上，a+b的最大值为e. (3)证明：设p(x)=e*sinx-sinx-x2, '(x)=(sinx+cosx)e*-cosx-2x, m(x)=(sinx+cosx)e*-cosx-2x,m (x)=2e'cosx+sinx-2, 设n(x)=2 COSx+sinx-2,则n'(x)=2e(cosx-sinx)+cos.x,…11分 而n(x)的导数-4 e'sinx-sinx<0, 所以1(x)在(0，)上单调递减…12分 因为n'(0)=3>0,1(m)=-2e"-1<0, 所以存在唯一x∈(0，)，使得1'(5)=0 当x∈(0，x)时、n'(x)>0,m'(x)单调递增，当x∈(，π)时，1(x)<0,m(x)单调递减 又因为m(0)=0,m'(s)>0,m()=-2e"-2<0. 所以存在唯一x2∈(0，)，使得m'(x2)=0.…13分 当x∈(0，x2)时，m(x)即p'(x)单调递增，当x∈(x2,π)时，p(x)单调递减， 又因为p(0)=0,p(x)>0,p(π)=-e"+1-2<0, 所以存在唯一x∈(0，π)，使得p(x)=0.…14分 当xe(0,x)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，当x∈(x,π)时，p(x)<0,p(x)单调递减，… 15分 又因为p(0)=0,p(x)>0,p(π)=-π2<0， 所以存在唯一x,∈(0，)，使得p(x)=0,…16分 即方程f(x)=sinx+x2在x∈(0，π)上有唯一实数解.…17分同安一中2025心2026学年第一学期高三（上)期中考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分：在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={x|x2-2x≤0}，B=1,2,3,4,则(CRA)∩B=() A.{4 B.{3,4 C.{2,3,4} D.{1,2,3} 2.已知复数=满足i=-2+3i,其中i为虚数单位，则二在复平面内对应点的坐标为() A.(3,-2) B.(-3,-2) C.（-3,2) D.(3,2) 3.已知双曲线C关于原点对称，其中一个焦点的坐标为(5,0)，一条渐近线方程为y= 3, 则C的实轴长为() A.3 B.6 C.4 D.8 4.已知函数f(x)=2x+3,g(x)=2x+logx,h(x)=2x+x3的零点分别为a,b,c,则() A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<b<a 5.已知tano+ 1=7,则sim2a=（）. tan o A.月 C.4 1 D.14 6.已知向量a=(L,sim),b=(cos8,V3),其中6∈R,则a-b]的最大值是() A.4 B.3 C.2 D.1 7.已知点P为直线1：2x+y+2=0上的一个动点，A,B为圆M:x2+y2-2x-2y-2=0上任 意两个不重合的点，记cos∠APB的最小值为m,sin∠APB的最大值为n,则m+n=() B c.5-25 D.5-V5 5 5 8.若实数x,y满足log2x+l0g,3=1ogy+1og2,则下列结论不可能成立的是() A.1<x<y2B.1<y<x2 C.0<y2<x<1 D.0<y<x2<1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 试卷第1页，共3页 9.甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出 球放入乙箱中，以A,A,分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一 球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是() A4=月 B.P因A)=号 c.4)a D.P剧=8 10.已知抛物线C:y2=2x(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线C于A,B两点，过 A,B分别作I的垂线，垂足分别为A,B,则() A.FA'⊥FB B.若AF=3BF,则直线AB的斜率为√F C.A,O,B'三点共线（其中O为坐标原点）D.A'BP=4AF刚BF 11.外接圆半径为√2的△ABC满足2sinA+3 cos B cosC=4,则下列选项正确的是() A.B=C B.A=8 C.△ABC的面积是16 25 D.△ABC的周长是4W2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线 上 12.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为(x,),(x2,2),,（x,ys),经验回归方程 为=3x+a,若立x=16,2g=24,则a= =1 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,4=1,a1= a,n为奇数， 2a,n为偶数， 则S2n= 14.已知R,g是双曲线C等长=1a>0b>的左、右焦点，AB为双曲线C上的两点， 若FB=3FA,且以RE为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知asin B+√3 bcosA=0. (1)求角A: (2)若a=2,b+c=√5，求sin BsinC的值. 试卷第2页，共3页 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=S,△PAD为正三角形， AC=213,PC=32 B- (I)证明：平面PADL平面ABCD: (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值， 17.(本小题满分15分) 已知双脂线C:等茶-1a>00s0)的离心率为5，实轴长为年 (1)求双曲线C的方程： (2)若直线1：y=x-2(k>0)与C的右支交于A,B两点，O为坐标原点 (i)求k的取值范围： ()若直线1与y轴交于点，且AP-9求△0MB的面积 试卷第3页，共3页 18.(本小题满分17分) 现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样 的2个红球和1个黑球现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作， 如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为X. (1)求P(X=1): (2)求X,的概率分布列并求出E(X,): B)证明：E(XH)=1+E(x)(u≥2，neN) 3 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e*sinx, (1)求函数f(x)在x=π处的切线方程； (2)当x∈(0，π)时，f(x)≥(+b)sinx,求a+b的最大值； (3)证明：方程f(x)=sinx+x2在x∈(0，π)上有唯一实数解.