原创题1

1. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，以AC为斜边向外作Rt△ACD，∠ADC=90°。 图1 图2 (1)如图1，AD=3，CD=2。连接BD，求BD的长度； (2)如图2，延长CD至点E，使DE=AD，连接BE交AD于F，连接AE。试猜想线段AE,AF,CD三条边之间的数量关系，并证明你的猜想； 2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，且tan∠CAO=1。 图1 图2 (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP交AC于点Q，以BC为边向左作∠BCG=45°交抛物线与点G，交x轴于点F，过抛物线顶点D作DE⫽CG，交x轴于点E，连接EG，AB，BG，BG交y轴于点H。点M为CG上一动点，点N为DE上一动点，且MN⊥CG。当取得最大值时，将点H关于BP对称得点H’，求此时P点坐标及PM+MN+NH’的最小值； (3) 如图2，在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)关于原点对称得y’，新抛物线与原抛物线在第四象限内交于点Y，过点A作直线在第二象限内交新抛物线于点X，连接XY，点Z为新抛物线上一动点，若90°+∠ACG=∠BCO+∠XYZ+∠AFG，请直接写出所有可能的答案及其中一种情况的解答过程。 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E为AC上一点，连接BE。 图1 图2 (1) 如图1，连接AD，DE，若点E为AC中点，且tan∠BCA=，CE=1，求BE的长； (2) 如图2，AB=AC，点F为BE上一点，连接AF，DF。将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连接EG，点H为GE中点，连接DH，请用等式表示DH，BF，BE的数量关系并证明。 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx－3(a≠0)交点A(－2,0)和点B于x轴，连接BC，抛物线的对称轴x对=－1。 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为抛物线上直线BC下方一动点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，点M为线段OC上一动点，点N为线段OB上一动点,连接QM，MN。当线段PQ的值最大时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接AP，将抛物线沿射线AP方向平移5个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线y'的对称轴交x轴于点D，连接PD，点H为新抛物线y'上一点且满足2∠DPH+∠OBC=180°－∠CAB，请直接写出所有符合题意的点的坐标并写出其中一种情况的解答过程。 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $