4.2.1等差数列的概念（第二课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《4.2.1等差数列的概念（第二课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及性质，能运用等差数列知识解决简单的数学问题和实际问题，体会函数与方程、数形结合等数学思想. 课标分析 本节课是等差数列概念的延伸，课标要求学生在掌握等差数列定义和通项公式的基础上，深化对通项公式应用的理解，探索并运用等差数列的核心性质，提升数学应用能力.通过实际问题的解决，让学生感受等差数列在生活中的应用价值，培养数学建模和逻辑推理素养，符合高中数学“注重知识应用、强化素养培育”的课标理念. 2、 教材分析 本节课选自人教A版高中数学高二教材，是等差数列章节的第二课时.前一课时已学习等差数列的定义、等差中项及通项公式，本节课通过例题探究，聚焦通项公式的综合应用、等差数列的性质（下标和相等的两项和相等）以及实际问题中的等差数列建模，是对前一课时知识的巩固与拓展.教材通过“合作探究”“追问”等形式，引导学生自主发现性质、解决问题，既衔接了函数与方程思想，又为后续等差数列前n项和的学习奠定基础，在数列章节中起到承上启下的作用. 3、 学情分析 高二学生已掌握等差数列的基本定义和通项公式，具备一定的代数运算、逻辑推理能力，能够运用累加法推导通项公式，对函数与方程思想有初步认识.但学生在性质探究的严谨性、实际问题抽象建模方面仍存在不足，对于“下标和相等的两项和相等”这一性质的推导和灵活运用可能存在困难，需要通过例题引导、小组探究逐步突破.同时，学生对实际应用类问题的兴趣较高，可借助实际情境激发学习主动性. 4、 教学目标/核心素养目标 教学目标 1. 熟练运用等差数列通项公式解决相关计算问题，掌握等差数列“下标和相等的两项和相等”的性质. 2. 能将实际问题抽象为等差数列模型，求解简单实际问题. 3. 体会函数与方程、数形结合、建模等数学思想，提升逻辑推理和数学应用能力. 核心素养目标 1. 数学抽象：将实际问题抽象为等差数列模型，理解等差数列性质的本质. 2. 逻辑推理：推导等差数列性质，严谨证明相关结论，培养推理能力. 3. 数学运算：熟练进行通项公式计算、不等式求解等运算，提升运算准确性. 4. 数学建模：运用等差数列知识解决设备折旧实际问题，体会建模过程. 5、 教学重难点及课时安排 教学重点 1. 等差数列通项公式的综合应用. 2. 等差数列“下标和相等的两项和相等”性质的推导与运用. 教学难点 1. 实际问题中等差数列模型的构建. 2. 灵活运用等差数列性质解决问题，体会数学思想的综合运用. 六、教学过程 环节一：检查预习 环节二：复习旧知 环节三：合作探究 1. 构造新等差数列问题（7分钟）： 提出问题：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列. 引导探究： 新数列的首项与原数列的首项有什么关系？（） 原数列中，在与之间插入3个数后，对应新数列的第几项？（第5项，即） 设的公差为，根据等差数列通项公式，，代入已知值可求吗？（，解得） 得出结论：新数列的通项公式为. 延伸提问：若在相邻两项间插入（）个数，新数列的公差是多少？（引导学生推导：原数列相邻两项间隔变为项，故） 进一步探究：是不是数列的项？若是，它是的第几项？ 解法1：先求，再令，解得，，，故是的第8项. 解法2：分析原数列项在新数列中的位置：对应，对应，对应，…，下标构成首项为1、公差为4的等差数列，通项.令，解得，结论一致. 1. 等差数列的性质探究（8分钟）： 提出问题：已知等差数列的通项公式为，计算，，的值，观察有什么规律？ 学生计算：，，；，，；，，. 发现规律：和相等的两项，它们的下标和相等（）. 推广到一般：若是等差数列，对任意正整数，，，，若，则. 引导证明：由通项公式，，，故；同理.因，故. 追问拓展：若，则性质变为（），这说明什么？（等差中项的推广：等差数列中任意一项是其前后等距离两项的等差中项） 辨析思考：等差数列中能否有？（举例验证：设，，，不相等；从性质看，，故不满足下标和相等条件，因此不一定相等） 环节四：学以致用 例3 某公司购置了一台价值为180万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5％，设备将报废．请确定d的取值范围（精确到0.1）． 分析：该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即： an－an－1＝－d. 所以{an}为公差为－d的等差数列. 10年之内（含10年），该设备的价值不小于9万元；10年后，该设备的价值需小于9万元．利用{an}的通项公式列不等式求解． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得 an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝180－d， 所以an＝180－d＋(n－1)(－d)＝180－nd. 根据题意， 有 a10＝180－10d≥9， a11＝180－11d≤9. 解得15.6≤d≤17.1 . 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题当中去，这也是用数学方法解决实际问题的一般过程. . 小试牛刀： 1. 基础练习（5分钟）： 例1：已知等差数列中，，，求. 解：设公差为，则，解得，故. 例2：在等差数列中，若，求的值. 解：由性质，，故，，. 学生独立完成，教师巡视，重点纠正“公差计算错误” “性质应用不熟练”等问题. 1. 综合练习（7分钟）： 例3：已知等差数列中，，，求数列的通项公式及. 解：设公差为，则，，由得，解得，.通项公式，. 例4：判断下列说法正确的是（ ） A. 若等差数列中，，则 B. 若，，成等差数列，则，，不成等差数列 C. 等差数列中，若，，则是最大项 D. 若等差数列的公差，则数列是常数列 答案：ACD 解析：A选项，由性质，故，，正确；B选项，，，故成等差数列，错误；C选项，公差，数列递减，故是最大项，正确；D选项，时，，为常数列，正确. 例5：已知等差数列中，，，求. 解：设公差为，则，. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容：等差数列通项公式的综合应用、“下标和相等的两项和相等”的性质、构造新等差数列的问题解法. 1. 教师补充完善：强调性质的适用条件、构造新数列时项的位置对应关系，梳理函数与方程思想、数形结合思想在本节课的应用，帮助学生构建知识网络. 环节六：布置作业 1. 布置作业： 书面作业：完成课本第18页练习第4题；已知等差数列中，，，求；等差数列中，，，且，求（答案：）. 拓展作业：寻找生活中可利用等差数列解决的实际问题（如堆放物品的层数与数量、定期存款的利息计算等），记录问题及解决方案. 1. 预习引导：预习下一课“等差数列的前n项和”，思考如何计算等差数列的前n项和，尝试推导求和公式，为后续学习做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过温故知新、探究推导、练习巩固的流程，重点突破了等差数列性质和构造新数列的难点。教学中注重引导学生从具体实例出发，通过类比、推理抽象出一般结论，强化了逻辑推理素养的培养。但在实际教学中，部分学生对构造新数列时“项的位置对应”理解不够透彻，后续需增加针对性练习；同时，应进一步加强性质应用的变式训练，让学生灵活掌握不同情境下的解题方法。此外，需关注学生运算的严谨性，及时纠正计算错误，培养良好的运算习惯，确保核心素养在教学中有效落地。 学科网（北京）股份有限公司 $