第二章一元二次方程单元测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 单元测试题 一、单选题 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 4．某校图书馆的图书数量逐年增加．已知该校图书馆年月份有图书万册，截至年月份图书数量增加到万册、则这两年该校图书馆图书数量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 5．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2026 C．2027 D．2028 6．方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（  ） A． B．且 C． D．且 8．商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（    ） A．100元 B．200元 C．300元 D．400元 9．如图是某停车场的平面示意图，停车场长为米，宽为米． 停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为平方米． 求车道的宽度． 设停车场内车道的宽度为 x 米，根据题意所列方程为（ ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 13．某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 14．每年秋冬季都是流感的高发季，有3人患了流感，经过两轮传染后共有243人患流感，每轮传染平均一个人传染 人． 15．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 18．下面是小昊同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得．…第一步 移项，合并同类项，得．…第二步 系数化为1，得．…第三步 任务： (1)小昊的解法从第_______步开始出现错误； (2)此题的正确结果是_______． (3)用因式分解法解方程：． 19．体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 20．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次方程 单元测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A C A B B D C 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得k的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；先将方程化为一般形式，再计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 即， ∴，，， 判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设年平均增长率为，根据两年增长模型，列出方程求解即可． 【详解】解：设这两年该校图书馆图书数量的年平均增长率为， 解得，（增长率不能为负，舍去）， 故年平均增长率为． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义． 利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵m是方程的实数根， ∴，   即， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，通过移项得到标准形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式，将方程化为标准形式后确定系数． 【详解】解：将方程移项，得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查一元二次方程的判别式；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零，且判别式大于零，即可求解 【详解】∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 二次项系数 ，即 ， 且判别式 ， ， ∴ ， ， ∴ 的取值范围是 且 ， 故选 B 8．B 【分析】本题考查“一元二次方程的应用”，根据题意列出方程是解题关键． 设降价x元，根据题意，分别用x表示销售量和售价，根据利润（售价进价）销售量，列方程求解即可． 【详解】设每台冰箱降价x元，则售价为元， 由题意，得每天的销售量为（台）， 由题意，可列方程， 整理得， 解得或， ∵要让消费者得到更多实惠，即降价幅度尽可能大， ∴应降价200元， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键．将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的性质．①由可得是根，故判别式非负；②由有两不等实根得，从而的判别式恒大于0；③c是根时，只有当才有；④由根的定义直接推导等式成立． 【详解】解：①∵当时，， ∴是方程的根， 故判别式，①正确； ②∵方程有两不等实根， ∴判别式，即， 则方程的判别式， 故有两不等实根，②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即， 若，则不一定为0，③错误； ④∵是根，∴， 则， 由，得， 即， ∴，④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 11．或 【分析】本题考查解一元二次方程．根据因式分解法求解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ． ∴或， 解得：或． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为 （其中 ）. 根据二次项系数不为零的条件求解即可. 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数， 解得：. 故答案为：. 13．方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 14．8 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 设每轮传染中平均一个人传染x人，则第一轮传染后，患病人数为人，第二轮传染后，患病人数为，根据题意，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，则第一轮传染后，患病人数为人，第二轮传染后，患病人数为，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：每轮传染平均一个人传染8人． 故答案为：8． 15．②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 16．(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解， （2）采用公式法求解． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ； （2）解： ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ，． 17．3 【分析】本题主要考查了列方程解决几何问题，解题的关键是找出等量关系． 假设后，的面积为，表示出，根据三角形的面积列出方程求解即可． 【详解】解：假设后，的面积为， 则，根据题意得， ∴， 解得，符合题意，（负值已舍）， ∴3秒后，的面积为． 18．(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：小昊的解法从第一步开始出现错误； （2）解： ∴或 ∴，； （3）解： ∴或 ∴，． 19．(1) (2)米 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意， 答：篮球场的宽的长为米． 20．(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $