吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试数学试题

2025-2026学年上学期 东北师大附中 数学科试卷 高三年级第三次摸底考试 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条 形码。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内， 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 己知集合A={x|x2-x≤O},B={x|x>m},若A∩B=0,则实数m的取值范围是 A.≤0 B.m<0 C.m≥1 D.>1 2. 已知a>-1,则4a+1,的最小值为 a+1 A.-2 B.0 C.2 D.4 3.己知向量a=(1,2),b=(x,x2),则“x=2”是“4//b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 在正方体ABCD-AB,C,D中，E为棱CC,的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切 值为 v2 1. C. 5 D. 2 2 2 5.已知tana=√2，则cos2a-2sin2au= A, B.- 3 3 D 3 数学试题 6.设，是数列{a,}的前n项和，且a=1,S,=(2S,+S,,则g= A.、1 2 B.-2 3 C.、3 D.-2 4 7. 已知函数)=smac+V5cosx-5(@>0在0引上有且仅有三个零点，则o的 取值范围是 D.43) 8. 已知平面内两个非零向量m,n满足引m=√2，且m-n与n的夹角为135°，则mn的最 大值为 A. +1 B.√2+1 C. +2 D.V2+2 2 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=(1+i)1-2),则 A.z的虚部为-1 B.Iz=10 C.z=-3-i D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限 0.在四面体ABCD中，BC=3,其余各棱长均为2，则该四面体的 A.表面积为25+3√万 B.体积为V 2 C.外接球的半径为2W2 D.内切球的半径为3V21-4) 3 5 第1页（共2页） 1已知函数f(x)及其导函数∫'(x)的定义域均为R,记g(x)='(x).若f(O)=1, f(x)+∫(x+2)=6,g(2x+1)为偶函数，则下列结论中正确的有 A.f(x+4)=f(x) B.8(-x)=g(x) C.g(2)=0 D.觉0=6080 /=1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知函数f(x)=x+ax2+2025,若f'(-2)=5,则f'(2)= 13.已知函数f(x)=log2(x2-2ax)在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围为 11 14.设8，是数列a,}的前m项和，，+(-1少ra,=2-2n∈N,则 (1)a4=_ :(2）S2025=_ 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=xlnx+x2-2.x+2. (1)求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)若f(x)2恒成立，求实数k的取值范围. 16、(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1=4,b=2,a1=2an+bn+2,b+1=2b,+an-2. (1)求证：数列{an+bn}是等比数列，数列{an一bn}是等差数列： 2 (2)求数列 4 的前n项和Sn. 数学试题 第 17.（15分)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3, ∠BAD+∠BCD=t. D (1)求∠BAD: (2)若P为边BC上一点，且△PCD的面积为√5， 求△ABP的外接圆半径， P 18.(17分)如图，在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,∠BAD=90°， AB=2CD=4,PA.LCD.在锐角△PAD中，AD=PD=3√2. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)在棱PD上是否存在一点E;使PB11平面4CE?若存在，求出PS的值：若不存在， ED 请说明理由； (3)若直线AC与平面PCD所成的角为30°，求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. B 19.(17分)已知a>0,函数f(x)=ea sinx(x∈[0，to∞)，记xn为f(x)的从小到大的第 n(n∈N)个极值点. (1)当a=1时，求xn: (2)证明：(i)数列{f(x)}是等比数列： (i)若a≥ ,则对一切n∈N”，,xnf(xn)川恒成立. √e2-1 2页（共2页） 2025-2026学年上学期高三年级第三次摸底考试数学科参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C A B D B 二、多选题 9 10 11 ABD BD ACD 三、填空题 12．； 13．； 14．（1）；（2）． 四、解答题 15．解：（1）由已知可得，所以， 又，所以在处的切线方程为，即． -----5分 （2）因为的定义域为，所以由，得， -----6分 设，则， -----8分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以． -----12分 因此实数的取值范围是． -----13分 16．（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． -----4分 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． -----8分 （2）解：由（1）可得，， 所以． -----9分 ① ② ①②得， 所以． -----15分 17．解：（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 两式作差得， -----5分 解得，又，所以． -----7分 （2）（法一）由（1）知，所以，且， 所以，解得． -----9分 易知为等边三角形，所以 ． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，则， -----12分 所以，即． 设的外接圆半径为，由正弦定理得， -----14分 解得，所以的外接圆半径为． -----15分 （法二）因为，所以， -----9分 可得，且． -----10分 ， 易知，即， -----12分 所以， -----14分 即． -----15分 18．（1）证明：在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 所以，由已知，又，故平面， 又平面，所以平面平面． -----4分 （2）解：连接，连接． 若平面，因为平面，平面平面，故， 又，，则， 故为三等分点（靠近点），即． 当时，，故， 又平面，平面，所以平面． -----8分 （3）解：如图，以为原点，分别以,方向为轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则,,,，所以，． 不妨设，则，-----9分 所以． 设平面的法向量为， 则 可取． 因为与平面所成角为，则， 解得，故，则，所以，，可取． -----12分 设平面的法向量为，则 可取． -----15分 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． -----17分 19．（1）解：． 令，由，得． 又在单调递增，在单调递减， 所以． -----4分 （2）证明：（i），其中． 令，由，得．又在单调递增， 在单调递减，所以． ，， 且，， 故数列是首项为，公比为的等比数列． -----8分 （ii）欲证，即证． ，且， 只需证． ，故只需证，即证． -----10分 构造，，当单调递减， 当单调递增，故，故， 则只需证，即证，故当时，成立． -----14分 当时，，此时，又， 故，于是，故． 所以时，，故成立， 即成立； -----15分 当时，，故，． -----16分 综上当，则对一切，恒成立． -----17分 ( 第 3 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $