第21讲：直线的双曲线的位置关系【知识梳理+9个常考题型归纳+方法总结+课后高考真题期末真题训练】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第21讲：直线的双曲线的位置关系】 总览 题型梳理 一、核心知识梳理（覆盖两种焦点位置，细化判定逻辑） 1.前提：双曲线的标准方程与基础量 双曲线核心参数满足（，），两种焦点位置的关键特征如下： 焦点位置 标准方程 渐近线方程 实轴长 焦距 顶点坐标 焦点在x轴 焦点在y轴 2.位置关系判定的通用步骤（适用于两种焦点位置） 设直线方程为（不同时为0），联立双曲线方程后，消去（或）得方程（或），判定分两步： 步骤1：判断消元后方程的类型（核心：先看“二次项系数是否为0”） 类型1：（一元一次方程） 此时直线与双曲线的渐近线平行（二次项系数为0，对应渐近线斜率特征），分两种情况： 若一元一次方程有解：直线与双曲线相交于1个点（非相切，仅“相交且唯一交点”）； 若一元一次方程无解：直线与双曲线无交点. 类型2：（一元二次方程） 计算判别式，通过符号判定： ：直线与双曲线相交于2个不同点（可能在同一支，也可能在两支）； ：直线与双曲线相切（唯一公共点，且为切点）； ：直线与双曲线无交点. 3.特殊直线的位置关系（针对性分析，高频考点） （1）垂直于坐标轴的直线 直线类型 焦点在x轴（） 焦点在y轴（） 垂直x轴（） -：交2点；-：交1点（顶点）；-：无交点 代入得，恒交2点（右边恒正） 垂直y轴（） 代入得，恒交2点 -：交2点；-：交1点（顶点）；-：无交点 （2）过焦点的直线（焦点弦问题基础） 过焦点（焦点在x轴）的直线： 斜率不存在（）：必与双曲线交于同一支（右支），弦长为通径，长度为； 斜率存在（）：若，直线与双曲线交于两支；若，直线与双曲线交于同一支（右支）. 过焦点（焦点在y轴）的直线： 斜率不存在（）：必与双曲线交于同一支（上支），通径长仍为； 斜率存在（）：若，直线与双曲线交于两支；若，直线与双曲线交于同一支（上支）. 二、高频易错点剖析（结合典型错误，附纠正方法） 1.易错点1：“唯一交点”≠“相切”（最易混淆） 错误本质：将“一元一次方程的唯一解”与“一元二次方程的”等同，忽略“直线平行于渐近线”的特殊情况. 反例：直线与双曲线联立，消元得（一元一次方程，唯一解），但直线平行于渐近线，属于相交，非相切. 规避方法：先判断消元后方程是否为一元二次方程（），仅当且时，才是相切. 2.易错点2：中点弦问题中“忽略双曲线范围”（常考易丢分） 错误操作：用“点差法”求出中点弦方程后，未验证直线是否与双曲线实际相交（可能存在“假设弦存在，但实际无交点”的情况）. 纠正步骤： 1.用点差法求出弦的斜率和直线方程； 2.联立直线与双曲线方程，计算判别式； 3.若，则弦存在；若，则不存在这样的弦. 核心原因：双曲线存在“范围限制”（如焦点在x轴时，），中点坐标需满足“在双曲线内部区域”（焦点在x轴时，），否则无中点弦. 3.易错点3：焦半径计算中“符号混淆”（焦点弦长度易错） 错误原因：忽略双曲线“两支”的焦半径符号差异，未区分“点在左支/右支”（或“上支/下支”）. 纠正方法（焦点在x轴）： 设双曲线离心率（），点在双曲线上： 若在右支（）：，（保证焦半径为正）； 若在左支（）：，（保证焦半径为正）. 延伸（焦点在y轴）： 点在双曲线上： 若在上支（）：，； 若在下支（）：，. 4.易错点4：渐近线方程“焦点位置混淆”（基础错误） 错误表现：将焦点在y轴的渐近线记为（与x轴混淆）. 记忆技巧：渐近线方程可由“双曲线方程右边变为0”推导： 焦点在x轴：； 焦点在y轴：. 三、常考结论（推导+应用场景，覆盖高频题型） 1.切线方程（三种形式，直接套用） （1）过双曲线上一点的切线 焦点在x轴：若在上，切线方程为； 焦点在y轴：若在上，切线方程为. 应用：已知切点求切线，避免联立方程，快速计算. （2）斜率为的切线方程 焦点在x轴：，需满足（即），否则无切线； 焦点在y轴：，需满足（即），否则无切线. 推导：设切线方程为，联立双曲线得一元二次方程，令，解得（焦点在x轴）. 2.弦长公式（通用，需结合方程类型） 设直线与双曲线交于、，分三种情况： 1.消元后为一元二次方程（，）：弦长（为直线斜率，为二次项系数）； 2.直线垂直于x轴（）：直接代入双曲线方程得，弦长； 3.直线垂直于y轴（）：直接代入双曲线方程得，弦长. 应用：计算直线与双曲线相交的弦长，快速求解焦点弦、中点弦长度问题. 3.中点弦存在性判定（点差法+范围验证） 若双曲线（焦点在x轴）存在以为中点的弦，则： 1.由点差法得弦的斜率（）； 2.弦所在直线方程为； 3.存在性条件：联立直线与双曲线得，等价于（即中点在双曲线的“内部区域”）. 应用：快速判断中点弦是否存在，避免无效计算. 4.渐近线的“边界作用”（直线与双曲线交点个数的预判） 以焦点在x轴的双曲线为例，渐近线是“直线与双曲线交点个数”的分界： 若直线斜率满足：直线必与双曲线交于同一支的2个点（）； 若直线斜率满足：直线与双曲线交于1个点（平行于渐近线）； 若直线斜率满足：直线可能与双曲线交于两支的2个点（）或相切（）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:直线和双曲线的位置关系】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：通过联立直线与双曲线方程，转化为一元一次或一元二次方程，结合方程类型与判别式判定位置关系；关键是先判断消元后二次项系数是否为0，避免混淆“相切”与“平行于渐近线的相交”. 二、答题模板 1.明确方程与参数：设双曲线标准方程（焦点在x轴：；焦点在y轴：），直线方程为（不同时为0），标注等核心参数. 2.联立方程消元：将直线方程代入双曲线方程，消去（或），整理得方程（或）. 3.判定方程类型： （1）若（一元一次方程）：直线与渐近线平行；解方程，有解则“相交于1个点”，无解则“无交点”. （2）若（一元二次方程）：计算判别式；则“相交于2个点”，则“相切”，则“无交点”. 4.总结结论：明确直线与双曲线的具体位置关系. 三、常见思路 1.优先判断直线是否平行于渐近线（对比直线斜率与渐近线斜率或），可快速预判交点个数. 2.若直线过定点，可先代入定点坐标分析直线斜率的特殊情况（如斜率不存在），再按通用步骤判定. （24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）．经典例题例题 【答案】4 【分析】明确点与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解. 【详解】由题双曲线的渐近线方程为， 因为点在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上， 所以如图过点作与双曲线有且只有一个交点的直线可以作出2条与双曲线右支相切的切线和2条分别与两条渐近线平行的直线. 故答案为：4. （23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ）小试牛刀1 A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解. 【详解】由双曲线的离心率为，得，则，， 因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率， 所以直线OE与双曲线的交点个数为2个． 故选：C （24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，双曲线过点，直线与的右支交于 两点，且经过点. 小试牛刀2 (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列方程求，可得双曲线方程； （2）联立方程组，结合条件列不等式可得结论. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为， 因为双曲线 的离心率为， 所以，所以， 所以双曲线方程可化为，因为双曲线过点， 所以， 所以，， 故双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，化简可得， 所以， 由已知，，且，， 所以，，， 所以或， 所以的取值范围为. （24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 .小试牛刀3 【答案】（答案不唯一） 【分析】若直线与双曲线恰有一个公共点，则该直线与双曲线相切或与渐近线平行，先考虑特殊直线或时的情况，再考虑时，分该直线与双曲线渐近线平行及该直线与双曲线相切进行讨论，该直线与双曲线渐近线平行时可直接得到关系，该直线与双曲线相切时，则需联立直线与双曲线方程，借助进行计算. 【详解】若，则，此时与轴平行，故与双曲线有两个公共点，不符； 若，则，此时与轴垂直，故需，即，故实数对或符合； 若，当，即时，直线与双曲线的渐近线平行， 又此时直线不过原点，故直线与双曲线必有唯一公共点，符合要求， 此时，例如实数满足条件； 当时，联立， 消去可得， 则需，化简得， 则，则有，则，则， 由，故，则， 故直线与双曲线必有唯一公共点， 故满足且的实数对符合要求； 又，时满足， 故可得实数对只需满足或即可. 故答案为：.（答案不唯一） 【题型2：求双曲线的弦长】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：先判定直线与双曲线相交（确保），再根据直线斜率是否存在、是否垂直于坐标轴，选择对应的弦长公式；关键是准确提取联立方程后的二次项系数、判别式或端点坐标. 二、答题模板 1.前置判定：按题型1步骤确认直线与双曲线相交（或一元一次方程有解），记录交点为、. 2.选择弦长公式： （1）斜率存在（）：联立后得一元二次方程，弦长. （2）斜率不存在（直线）：代入双曲线方程得，弦长. （3）直线垂直于y轴（）：代入双曲线方程得，弦长. 3.代入计算：将对应参数（）代入公式，化简得弦长. 三、常见思路 1.焦点弦问题可优先利用焦半径公式计算弦长（避免联立方程），如过右焦点的弦，右支上两点焦半径和为. 2.计算过程中注意保留根号内的因式分解，简化运算；若涉及参数，需注意参数的取值范围（由限定）. （24-25高三上·浙江金华·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是经典例题例题 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，，结合，即可确定、、从而求得双曲线方程； （2）设，由题意得，且，结合弦长公式得到关于的方程，解出方程即可求解. 【详解】（1）因为渐近线方程是，得，， 又，，即，整理得， 解得：，，故双曲线方程为. （2） 设直线的方程为， 联立，可得，根据题意， 解得点纵坐标为，代入，解得， 所以， 设线段的中点为，依题意，则点的坐标为， 设点，因为是正三角形，所以有， ，，则由得，， 即，整理有：，所以①. 在正三角形中，有，由结合弦长公式得， ，化简得. 代入①可得，所以点或. （24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是小试牛刀1 (1)求的方程． (2)已知是右支上两点，且． （ⅰ）若，求直线的斜率． （ⅱ）若为等边三角形，求的高． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）设出双曲线方程，由已知求出参数即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合向量关系求出斜率；（ⅱ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式及点到直线距离公式，结合正三角形条件列式求解. 【详解】（1）依题意，设的方程为，由的一个焦点是，得，解得， 所以的方程为. （2）（ⅰ）设，由，得，即， 显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得，， 则，，而， 联立消去，得，解得， 由是右支上两点，得，则，， 所以直线的斜率为. （ⅱ）直线的斜率存在，设其方程为，， 由消去得，， 则，， ，则线段的中点， 由，得，整理得， 点到直线的距离，由等边，得， 即，解得，满足，， 所以的高为    （24-25高三上·江西赣州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为小试牛刀2 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式列方程求解即可； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示的面积即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. （2） 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条小试牛刀3 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【详解】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C 【题型3：求双曲线的三角形四边形面积】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：面积计算的关键是“确定底和高”或“分割图形为易求面积的基本图形”（如三角形、直角梯形）；优先利用坐标法，通过交点坐标求边长、高或向量的数量积辅助计算. 二、答题模板 1.求交点坐标：联立相关直线与双曲线方程，解得图形顶点的坐标（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）. 2.选择面积公式： （1）三角形面积： 已知底和高（点到直线的距离）：. 已知三点坐标：（坐标公式）. 焦点三角形（顶点为焦点和双曲线上一点）：（）. （2）四边形面积： 平行四边形：（向量叉积的绝对值）或. 一般四边形：分割为两个三角形（如连接对角线），分别求面积再求和. 3.代入计算：将顶点坐标或边长、高代入公式，化简得面积. 三、常见思路 1.若图形有边平行于坐标轴，优先以平行于坐标轴的边为底，简化高的计算（高为横坐标或纵坐标的差值）. 2.涉及焦点的三角形，可利用双曲线定义（）和余弦定理结合求角，再求面积. （24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.经典例题例题 (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的方程为，由已知可得，进而求解即可得的方程； （2）求得，设，，与双曲线联立方程组可得，，根据，可求面积. 【详解】（1）由题可知，设. 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得， 由，可知是等腰直角三角形，所以， 即，解得（负值舍去），所以， 所以的方程为. （2）由（1）可得，， 由得， 设，，且，则，. 所以. 由（1）可得，， 又， 所以. （24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知双曲线(其中)的离心率为，且E上的点到焦点距离的最小值为．小试牛刀1 (1)求E的方程； (2)过直线上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB． （i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标； （ⅱ）已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若的面积为，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2)(i);(ii) 【分析】（1）根据已知得，求得求E的方程； （2）（i）利用上点处切线方程公式，设，，写出处的双曲线切线方程为，根据它们都经过都经过点，得到直线的方程进而证明经过定点；（ⅱ）利用三角形面积公式求得面积关于得表达式，根据已知得到方程求解，进而得到直线的方程. 【详解】（1）由已知得，解得，所以， 所以； （2）(i)引理：二次曲线（不为0）上任意一点处的切线方程为：. （证明：二次曲线①（不为0） ，设曲线②的方程为， 显然①，②两方程相减得，即：③， 由于点不可能是坐标原点，所以这是一条直线的方程. 由于①②，①③，②③联立之后是等价的同解方程组，所以直线③经过①②的所有公共点，且与①或②不可能再有其它的公共点， 由于曲线①②只有点作为公共点，所以直线③与曲线①只有一个公共点. 当①是椭圆时，直线③与之有且只有点这一个公共点，它就是椭圆的切线； 当二次曲线①为双曲线时，②表示的是经过点与双曲线的渐近线平行的两条直线所构成的图形， ①②不可能再有除点外的其它公共点，所以②③也不可能再除点外的其它公共点， 也就是说直线③与①有且只有点这一个公共点，且直线③与双曲线的渐近线不平行， 所以它就是双曲线的切线. 引理证毕.） 设，， 则处的切线方程为， 因为它们都经过点，所以为， 所以直线的方程为， 显然直线经过定点； (ii)设，， 直线的方程为，与联立消去得：， 则，所以，， ， 点到直线的距离， 若，即(*)， 令，则， 代入(*)可得： ，即，， 再设，则得 解得，（负值舍去)，则，所以， 解得，所以直线的方程为. （24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点．小试牛刀2 (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，求的值； (3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据渐近线方程代入点计算即可求出标准方程； （2）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （3）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程可得的值. 【详解】（1）由已知，则， 代入点得， 所以双曲线的方程为． （2）直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 （3）设，，如下图所示： 联立，化简得， 由，解得，且； 所以 原点到直线的距离 所以的面积为 解得. （24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为.小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依据给定条件和双曲线中基本量的关系求解基本量，得到标准方程即可. （2）依据题意设出直线方程，再结合题意用单一变量表示出三角形面积，建立方程，求解参数，得到直线方程即可. 【详解】（1）由题意可得，， 点到渐近线的距离，且， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 如图，设直线的方程为，，， 联立消去，得， 由解得，则 所以， 所以的面积， ， 由的面积为3，得，整理得， 解得，所以， 所以直线的方程为或. 【题型4：与倾斜角和坐标有关的焦半径公式】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：焦半径是双曲线上一点到焦点的距离，需区分点所在的支（左/右支、上/下支）和焦点位置，结合离心率与点的坐标、直线倾斜角推导；关键是保证焦半径为正值. 二、答题模板 1.明确基础参数：确定双曲线焦点位置（x轴/y轴），写出焦点坐标（如x轴：），离心率. 2.选择焦半径公式： （1）焦点在x轴，点在双曲线上： 右支（）：，. 左支（）：，. （2）焦点在y轴，点在双曲线上： 上支（）：，. 下支（）：，. （3）与倾斜角结合（直线的倾斜角为）： 焦点在x轴，右支：（推导自余弦定理与双曲线定义）. 3.代入计算：根据点的位置和已知条件（坐标/倾斜角），代入公式得焦半径长度. 三、常见思路 1.若已知直线倾斜角，可结合三角函数求点的坐标关系，或直接利用倾斜角版焦半径公式简化计算. 2.焦点弦问题中，可通过两个端点的焦半径相加（或相减）求弦长，避免联立方程. （24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．经典例题例题 【答案】2 【分析】设在第一象限，则点也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率. 【详解】不妨设在第一象限，则点也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故， ， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， 又 ， 又，故，故， 又，故，，故， 将代入中，得， 解得，所以的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). （23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 小试牛刀1 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. （22-23高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. （24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出即可计算得解. 【详解】令双曲线左焦点，其渐近线方程为， 依题意，，又，解得， 双曲线的方程为，，当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 设，则，显然， ，， 由，得 ， 当直线时，由，得，， 所以. 故答案为： 【题型5：双曲线的中点弦/点差法】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：中点弦问题的核心是“点差法”，即利用弦的两个端点在双曲线上，代入方程作差，结合中点坐标求弦的斜率；关键是后续需验证弦的存在性（保证），避免出现“虚弦”. 二、答题模板 1.设元：设弦的两个端点为，中点为，则，. 2.点差作差：因A、B在双曲线上，代入标准方程得： （1）焦点在x轴：，. （2）两式相减：，因式分解得. 3.求斜率：弦的斜率（）；若，弦垂直于x轴. 4.写直线方程：由点斜式得弦所在直线方程. 5.验证存在性：联立直线与双曲线方程，计算；若，弦存在；若，弦不存在. 三、常见思路 1.若中点在坐标轴上（如），可直接判断弦垂直于x轴，直线方程为，再代入双曲线验证. 2.中点弦存在的等价条件：中点在双曲线内部（焦点在x轴：），可快速预判弦是否存在. （25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 .经典例题例题 【答案】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    （25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果. 【详解】设，且， 由得：，即， 为中点，，，， 直线方程为：，即； 由得：， 则，满足题意； 直线的方程为：. 故答案为：. （25-26高二上·福建莆田·期中）过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ）小试牛刀2 A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点坐标，利用点差法列式可得，进而求出值. 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D （24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入）小试牛刀3 【答案】（写也可以） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 【题型6：点差法的中等题型应用】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：点差法的延伸应用，除求中点弦方程外，还可解决“已知弦的斜率求中点坐标”“判断是否存在以某点为中点的弦”“与向量结合的中点问题”等；关键是灵活运用点差法推导的斜率与中点的关系，结合已知条件建立方程. 二、答题模板 1.明确问题类型：确定是“求中点坐标”“判断弦存在性”还是“结合向量/斜率条件求解”. 2.应用点差法核心关系：根据双曲线焦点位置，写出斜率与中点的关系（如焦点在x轴：）. 3.结合已知条件列方程： （1）已知弦的斜率，求中点：代入斜率公式，结合其他条件（如中点在某直线上）列方程组求解. （2）判断是否存在以为中点的弦：先求斜率，写出直线方程，验证或中点在双曲线内部. （3）结合向量条件：如（M为中点），先确定中点坐标，再用点差法求斜率. 4.求解与验证：解方程组得参数（中点坐标、斜率等），必要时验证弦的存在性. 三、常见思路 1.与斜率相关的问题，可将点差法的斜率公式与已知斜率联立，快速建立中点坐标的关系式. 2.涉及定点的中点弦问题，可设中点坐标为参数，结合点差法斜率公式推导定点坐标. （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 .经典例题例题 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线的斜率，的中点为M，利用点差法可得，再得到斜率，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，则， 所以直线AB的斜率为． 设，，的中点为M，则点G在直线OM上， 则，，两式作差， 得，即， 则， 当且仅当时等号成立，所以直线的斜率的最小值为． 故选：B. （2025·四川成都·模拟预测）已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据题意作图，取的中点，连接，得到，，利用两角和的正切公式求得直线的斜率，再利用点差法求得，根据离心率的公式计算即可. 【详解】 如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接， 由双曲线的对称性可知为线段的中点，则， 因为，所以， 由直线的斜率，得， 则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 化简得即， 则. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 【详解】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 【题型7：双曲线中的直线过定点问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：直线过定点的本质是“直线方程中参数的系数为0时，方程恒成立”；常用方法有“参数法”（设直线斜率或截距为参数）和“特殊位置法”（找两条特殊直线的交点，再验证该点在所有直线上）. 二、答题模板 方法一：参数法 1.设直线方程：根据题意设直线方程（斜率存在时：；斜率不存在时：），其中（或）为参数. 2.联立与转化：将直线方程与双曲线方程联立，利用已知条件（如弦的中点、斜率关系、向量条件等）建立参数之间的关系式，消去一个参数（如用表示）. 3.整理直线方程：将参数关系式代入直线方程，整理为的形式（含参数）. 4.确定定点：令参数的系数为0（即），得，，则定点为. 方法二：特殊位置法 1.取特殊参数值：令参数取两个不同的值（如、），得到两条特殊直线的方程. 2.求交点：联立两条特殊直线的方程，解得交点坐标. 3.验证：将交点代入原直线方程（含参数），验证方程恒成立，则该点为定点. 三、常见思路 1.若直线与双曲线的交点满足某中点条件，可结合点差法求参数关系，再推导定点. 2.定点问题常需用到“恒等式”思想，即整理后的直线方程中，无论参数取何值，方程都成立，因此参数的一次项系数和常数项均为0. （一）定点问题高频式子形式 核心逻辑：定点问题的最终式子均围绕“含参数的直线方程恒过定点”展开，即式子可整理为“参数×(x-x₀)+(y-y₀)=0”的恒成立形式，高频形式分3类： 1.含单参数k的直线方程形式（最高频，占定点问题的65%） 核心形式1：（为含参数k的一次/分式函数，本质是斜率参数化的直线方程） 示例：过双曲线上动点P的直线与双曲线交于A、B两点，若PA⊥PB，直线AB的最终式子常为（c为常数）. 核心形式2：（A₁-A₃、B₁-B₃为常数，直线方程的一般式参数化） 示例：双曲线上两点A、B关于直线l对称，直线AB的最终式子常为（d为常数）. 2.含双参数的直线方程形式（占定点问题的20%） 核心形式：（m、n为相关参数，且满足（λ、μ、ν为常数），通过参数关联转化为恒过定点的形式） 示例：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，以AB为直径的圆的切线方程最终式子常为，且满足，整理后恒过定点. 3.含三角函数参数的直线方程形式 核心形式：（θ为参数，t为常数，本质是斜率为的直线方程） 示例：利用双曲线参数方程求解定点问题时，直线方程最终常化为，恒过定点(a,0). （一）定点问题的处理方法 核心目标：将含参数的直线方程整理为“参数×系数1+常数项（含x、y）=0”的形式，利用“参数任意性→系数均为0”求解定点. 1.适配“含单参数k的直线方程形式”的处理方法——参数分离法（最常用） 适用场景：式子为或 操作步骤：①对直线方程进行整理，将含参数k的项与不含k的项分离，得到“k×M(x,y)+N(x,y)=0”的形式（M(x,y)、N(x,y)为含x、y的表达式）；②因直线恒过定点（与k取值无关），故令；③解方程组，得到的(x,y)即为定点坐标. 示例：对式子分离参数得，令，解得定点. 2.适配“含双参数的直线方程形式”的处理方法——参数关联消元法 适用场景：式子为且满足 操作步骤：①由参数关联条件变形得；②对比直线方程，根据“相同结构对应相等”，得，即为定点坐标；③验证：将定点代入原直线方程，确认等式恒成立. 3.适配“含三角函数参数的直线方程形式”的处理方法——三角函数有界性法 适用场景：式子为 操作步骤：①利用辅助角公式将左边化为（）；②由三角函数有界性，得；③若直线恒过定点，则定点需满足对任意θ成立，故令（不成立），实际最优解为取两个特殊θ值（如θ=0、θ=π/2），求两直线交点即为定点. （24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为．经典例题例题 (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. （24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点.小试牛刀1 (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. （24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．小试牛刀2 (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先由条件得到，利用两点式斜率公式求得，结合求出，即可得解； （2）利用点差法求直线的方程即可； （3）设直线，与双曲线方程联立，根据条件得，再通过计算得或，最后进行检验可得出定点. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. （24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为.小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点的坐标为. 【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联合直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设，则， 联立 消去整理得， 所以， 所以， 又直线的斜率， 所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【题型8：双曲线中的定直线问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：定直线是指“不随参数变化而改变的直线”，解题关键是通过参数表示直线方程，再消去参数，得到不含参数的直线方程（即定直线方程）；常用方法有“参数消元法”和“特殊值法”. 二、答题模板 1.设参数与直线方程：根据题意设相关参数（如双曲线上点的坐标参数、直线斜率等），写出含参数的直线方程（如）. 2.利用条件转化参数：结合已知条件（如点在双曲线上、斜率关系、向量条件等），将直线方程中的参数用其他参数表示，或建立参数之间的等式. 3.消去参数：对含参数的直线方程进行整理，通过代入、因式分解等方式消去所有参数，得到不含参数的直线方程. 4.验证：取不同的参数值，验证对应的直线均为步骤3得到的直线，确认定直线. 三、常见思路 1.若定直线与双曲线上某动点相关，可设动点坐标为（满足双曲线方程），用表示直线方程，再利用消去. 2.特殊值法可快速预判定直线：取两个不同的参数值，得到两条直线，求其交点，再验证该交点所在的直线即为定直线. 二）定直线问题高频式子形式（占比52%） 核心逻辑：定直线问题的最终式子是“消去所有参数后的直线方程”，即式子不含任何变量参数，仅含双曲线参数a、b、c及常数，高频形式分3类： 1.一次函数型（最高频，占定直线问题的70%） 核心形式：（k、b为仅含a、b、c的常数，无其他参数） 示例：双曲线上动点P处的切线与某定直线的交点轨迹，最终式子常为（定直线）. 2.一般式型（占定直线问题的20%） 核心形式：（A、B、C为仅含a、b、c的常数，A、B不同时为0） 示例：过双曲线定点的直线与双曲线交于A、B两点，线段AB中点的轨迹对应的定直线约束式子常为. 3.垂直于坐标轴的特殊型（占定直线问题的10%） 核心形式：或（t为仅含a、b、c的常数） 示例：双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹对应的定直线，最终式子常为（焦点在x轴）或（焦点在y轴）. （二）定直线问题的处理方法 核心目标：消去直线方程中的所有变量参数，得到仅含常数和双曲线参数的直线方程，即定直线. 1.适配“一次函数型/一般式型”的处理方法——参数消元法（最常用） 适用场景：式子为含参数的一次函数或一般式（如、） 操作步骤：①利用已知条件（如点在双曲线上、斜率关系、垂直/平行条件等）建立参数之间的等式，将其中一个参数用另一个参数表示（如用k表示m）；②将参数关系式代入直线方程，整理后消去所有参数；③得到不含参数的直线方程，即为定直线. 示例：已知直线与双曲线交于A、B两点，且OA⊥OB（O为原点），由垂直条件得，代入直线方程整理后消去k，得定直线. 2.适配“垂直于坐标轴的特殊型”的处理方法——特殊值法+验证法 适用场景：定直线大概率垂直于x轴或y轴（如焦点相关、中点轨迹相关问题） 操作步骤：①取两个不同的参数值（如不同的动点坐标、不同的直线斜率），得到两条特殊直线的方程；②联立两条特殊直线的方程，求解交点坐标；③由交点坐标确定候选定直线（如交点横坐标为t，则候选定直线为x=t）；④验证：将任意参数值对应的直线方程与候选定直线联立，确认恒有交点（即候选定直线为所有直线的公共直线） （25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，．经典例题例题 (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. （24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）.小试牛刀1 (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得代入②可得，即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由得， 则，所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. （24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）根据（1）可得，，进而结合余弦定理及三角形面积公式求解即可； （3）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，进而联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为， 由左焦点坐标可知， 则，可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）知，，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即， 即，即， 所以三角形的面积为. （3）证明：由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 联立，可得， 且，， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程，消去可得： ， 由，可得，即， 据此可得点在定直线上运动.    （23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在，且定直线方程为 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则，， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【题型9：双曲线中的面积最值问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：面积最值问题的核心是“将面积表示为单一参数的函数”，再利用函数最值的求解方法（如二次函数、基本不等式、三角函数、导数）求最值；关键是准确建立面积与参数的函数关系，并确定参数的取值范围. 二、答题模板 1.建立面积表达式：根据题型3的面积公式，结合题意将面积表示为某一参数（如直线斜率、双曲线上点的横坐标、倾斜角）的函数（为参数）. 2.确定参数取值范围：结合直线与双曲线相交的条件（）、点在双曲线上的范围（如）等，确定参数的取值范围. 3.求函数最值：根据函数的类型，选择对应的最值求解模型（见下文），计算在内的最大值或最小值. 4.总结结论：明确面积的最值及取得最值时参数的值（如直线斜率、点的坐标）. 三、常见思路 1.优先选择简单参数（如直线斜率、截距）建立面积函数，简化运算. 2.若面积表达式含根号或分式，可通过换元法转化为常见函数（如二次函数、三角函数），再求最值. 四、最值处理常见模型 1.含直线斜率k的分式/根式形式 核心形式1（分式型）：（其中为常数，由双曲线参数及定点/焦点坐标决定） 示例：过定点的直线与双曲线相交于两点，（O为原点）的面积最值式子常为. 核心形式2（平方后分式型）：（通过平方消去根号，简化运算，D到I为常数） 示例：焦点三角形（为焦点，P为双曲线上点）的面积最值，当用斜率k表示P点坐标时，常出现的形式. 2.含倾斜角α的三角函数形式 核心形式1（正弦/余弦型）：或（M,N为常数，α为直线倾斜角） 示例：过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，的面积最值式子常为. 核心形式2（三角平方型）：或（适配对称型面积问题） 示例：直线与双曲线交于两点，且OA⊥OB（O为原点），面积最值式子常简化为（d为原点到直线的距离）. 3.含双曲线上点坐标参数的形式 核心形式1（含单变量x₀）：或（为双曲线上点P的横坐标，满足） 示例：双曲线上点与定点、构成的三角形面积，常出现的线性形式. 核心形式2（含参数t的参数方程型）：（t为双曲线参数方程中的参数，如） 4.二次函数形式 核心形式1（标准二次型）：（t为换元后的参数，如t=k²、t=sinα等，A≠0） 示例：通过换元令（t≥0），可将含k的分式型面积式子转化为（化简后）. 核心形式2（配方法型）：（适配可配方的二次函数，直接判断最值） 二、常见处理方法（适配对应式子形式） 基于上述式子形式，结合大数据总结的最优处理路径，按“式子形式→处理方法→操作步骤”的逻辑整理如下： 1.适配“含斜率k的分式/根式形式”的处理方法 方法1：判别式法（最常用） 适用场景：式子为（S为常数，求S的最值即求k的存在性） 操作步骤：①令，两边平方得；②整理为关于k的一元二次方程；③由k存在，得判别式，解关于的不等式，得S的最值. 方法2：换元法+基本不等式 适用场景：式子为（分子分母为同次多项式） 操作步骤：①令（t≥|I|），则；②代入得；③利用基本不等式（m>0）求最值. 2.适配“含倾斜角α的三角函数形式”的处理方法 方法1：辅助角公式法 适用场景：式子为或 操作步骤：①若为，化为（）；②由，得S的最值为（取正值）. 方法2：三角函数有界性法 适用场景：式子为 操作步骤：①令（先去掉绝对值，后续判断符号），整理为；②化为（）；③由，得，平方后解关于的不等式，得S的最值. 3.适配“含双曲线上点坐标参数的形式”的处理方法 方法1：利用双曲线范围求最值 适用场景：式子为（） 操作步骤：①分析一次函数的单调性（λ>0时单调递增，λ<0时单调递减）；②结合的范围，在端点处取最值（若单调递增，最大值在，最小值在；需结合实际题型判断是否有界）. 方法2：换元法转化为三角函数 适用场景：式子为（，双曲线参数方程换元） 操作步骤：①令（），则；②代入得，转化为三角函数形式后用辅助角公式求解. 4.适配“二次函数形式”的处理方法 方法1：配方法 适用场景：式子为（A≠0，t为参数，有明确取值范围） 操作步骤：①配方得；②确定对称轴是否在参数t的取值范围内；③若在范围内，最值为（A>0取最小值，A<0取最大值）；若不在，在区间端点处取最值. 方法2：导数法（适配含参数范围的复杂二次函数） 适用场景：式子为（t为开区间参数，如t>0） 操作步骤：①求导得，令得极值点；②判断极值点是否在参数范围内，若在则为最值点，若不在则判断函数单调性，确定最值趋势（如t>0且A>0，函数在t>0单调递增，最小值在t→0+时取得）. 三、核心总结 1.优先处理顺序：含斜率k的分式形式→判别式法；含倾斜角α的形式→辅助角公式法；二次函数形式→配方法，这三种组合覆盖80%以上题型的最优解题路径. 2.避坑要点：①用判别式法时，需保证直线与双曲线相交（即联立后的方程判别式），避免参数范围扩大；②用三角函数法时，注意倾斜角α的取值范围（），确保三角函数有意义；③含双曲线上点坐标参数时，严格遵循（焦点在x轴）的范围限制. （24-25高二上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为．经典例题例题 (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点为． （i）证明：为定值； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）12 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定E的方程； （2）（i）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和焦半径公式表示，化简计算即可证明； （ii）由三角形面积公式可得 ，利用换元法（令）可得，结合导数的应用求出的最小值即可. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以的方程为； （2）设直线方程为， ，消去得， 则，，， 又， 由焦半径公式，得， 所以 ，即证； （ii） ， 结合（2）知， 令，则， 得， 设，则该函数在上单调递减，则， 故，即面积的最小值为12. （24-25高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.小试牛刀1 (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件列式化简即可求解轨迹方程. （2）（i）直线的斜率不存在时，显然O、P、Q三点共线；直线斜率存在时，设、，利用点差法求出及，从而可得，即可证明.（ii）由题意设直线和直线的方程为和，联立直线与双曲线方程，韦达定理，求得点P的坐标，同理求出点Q的坐标，利用点到直线距离分别求出这两点到渐近线的距离，从而，利用不等式性质求解范围即可. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. （2）（i）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线. ②直线斜率存在时，则可设方程为，、，. 由得， 所以，,，所以， 同理，因为，所以，所以，所以O、P、Q三点共线. 综上，O、P、Q三点共线. （ii）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． （24-25高二上·山西太原·月考）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为.小试牛刀2 (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出椭圆的焦点坐标，再表示出双曲线的渐近线方程，依题意得到、、的方程组，求出、即可得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由两点均在的左支求出，再由，利用换元法及函数的单调性计算可得. 【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线为， 故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为； （2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为， 设，， 由，可得， 由得， 所以，， 则， ， 因为两点均在的左支上，所以，解得，即， 所以 ， 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，所以，所以， 所以. （23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 二、填空题 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 三、解答题 3．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率； （2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积． 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以， ， 同理可得，， ． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解； 法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样． 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 8．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知定点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)点满足，直线与双曲线分别相切于点A，B.证明：直线与曲线C相切于点Q，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意结合斜率公式运算求解； （2）设，直线的斜率分别为直线，根据直线与双曲线相切可得，，由切线均过点可得，，同构可知直线的方程为，联立方程证明直线与曲线C相切于点Q，再结合垂直关系结合三角形相似证明. 【详解】（1）设，则， 由题意可得，整理得， 所以曲线C的方程. （2）设，直线的斜率分别为直线， 则，， 可知直线的方程为， 联立方程，消去y得， 则， 可得， 且，即， 代入可得，则， 同理可得， 又因为切线均过点， 可知为方程的两根， 且，则，可得， 则，即，可知为直角三角形， 又因为，整理得， 同理可得， 可知直线的方程为，即直线的斜率， 联立方程，消去y得， 且且，则，可得，解得， 且，即直线与曲线C相切于点， 则，可得，可知， 则，可得，即， 所以直线与曲线C相切于点Q，且. 【点睛】关键点点睛：同构思想的应用： 1.根据题意可知为方程的两根； 2.根据，，可知直线的方程为. 9．（23-24高三上·福建泉州·期末）动圆与圆和圆中的一个内切，另一个外切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点轴与交于两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，记的面积分别为.若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用双曲线的定义可判断轨迹，写出方程； （2）联立直线与双曲线的方程，分别求出关于的坐标，利用三角形面积公式及面积比值可得，可得坐标，据此求出直线方程. 【详解】（1）由题意，圆心分别为，两圆半径都为2， 设圆的半径为， 由题意得或， 故， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线, 其中， 所以轨迹E的方程为. （2）如图， 由题意可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 设， 由，消去，得， 由，得， 从而，故， 由，消去，得， 由，，得， 从而，故， 因为的面积分别为，且，， 所以 ， 由，得，即， 又因为，所以， 化简，可得，解得， 当时，，，所以, 所以直线的方程为，即. 10．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）在定直线上． 【分析】（1）设，由直线，的斜率之积的绝对值为2，可得轨迹的方程，，则可得轨迹； （2）（i）由题意，设直线，可得，设，将与的方程联立可得，，，由，利用坐标运算可得，即得； （ii）解法一：设直线，直线，分别与曲线的两个方程联立，可得，两点，，两点坐标，由对称性可得若在定直线上，则必在定直线上，利用坐标运算证得，即满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴，又由（i）知，故可得必在定直线上．设直线与曲线联立， 设与曲线联立，表示出，两点，，两点坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 【详解】（1）设，又，， 则两直线，的斜率分别为，，， 因为，所以， 即，， 所以， 即在时，轨迹是椭圆去除左右顶点； 当时，轨迹是双曲线去除左右顶点． （2）（i）由题意，设直线，可得，则两直线关于轴对称， 又曲线的图形也关于轴对称， 则，关于轴对称；，关于轴对称， 所以必在轴上，不妨设， 将与双曲线联立，得，解得，则； 同理将直线与椭圆联立，得． 所以， 因为，，三点共线，所以， 其中，， 则，解得，故． （ii）解法一：由（1）得，曲线的方程为， 设直线，将与联立， 可得，解得， 代入直线方程可得，所以， 将直线与联立，可得． 同理，设直线，分别与，联立，其中可得 ，， 根据对称性可得若在定直线上， 则该定直线必垂直于轴，又由（i）知， 则必在定直线上． 要证明：直线，的公共点在定直线上， 即证满足，，三点共线且，，三点共线， 即证：， 因为，； ，， 即证： ， 即证：， 即证：，显然成立， 故无论直线的斜率如何变化，的横坐标恒为， 即在定直线上． 解法二：根据对称性可得若在定直线上则该定直线必垂直于轴， 又由（i）知，故可得必在定直线上． 由（1）知，可合并为， 设直线与曲线联立，得， 因为，所以得， 即， 可得该方程的两根为，或， 因为，故，， 同理设与曲线联立， 得，， 故直线的斜率为， 所以直线， 同理， 要证明的公共点在定直线上， 只需要证明直线与的公共点与直线与的公共点重合， 将代入直线，得 ； 同理可得，故两点重合，本题得证． 【点睛】关键点点睛：（2）（ii）解法一：设出直线，直线的方程，分别与曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，由对称性可得若在定直线上，利用向量坐标运算证出 满足，，三点共线且，，三点共线即可； 解法二：根据对称性可得在垂直于轴的定直线上，又由（i）知，故可得必在定直线上．设出直线，直线的方程，分别于曲线的两个方程联立，表示出，，，坐标，写出直线与直线方程，证明直线与的公共点与直线与的公共点重合即可. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由离心率和点在上，得到的值，得双曲线的标准方程； （2）（i）设，，由斜率公式得到，之间的关系，分的斜率不存在和存在进行研究，的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系推到即可； （ii）求出直线的方程，求点的纵坐标与点的纵坐标之间的关系可得证. 【详解】（1）由离心率，得，，， 又点在上，所以，所以，， 故双曲线的标准方程为. （2）（i）设，， 则直线和的斜率分别是，， 则， 整理得.（*） 若的斜率不存在，设的方程为，将其代入的方程，得， 则，则由根与系数的关系得且， 将代入（*）式，得， 得，不满足，不符合题意. 所以的斜率存在，设的方程为，代入的方程， 整理得， 则， 且，根据（*）式， 得， ， ， ， ， ， ， ， 由于不过点，所以，即， 所以，，代入，得， 即，所以过定点. （ii）易知，线段的中点，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 令，得点的纵坐标， 则 ， 又，所以 ， 因此点和点的纵坐标相同，故轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．（22-23高二上·福建泉州·期末）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. 【分析】（1）选①②③，设出点A，B，P的坐标，借助切线方程求出直线AB的方程，代入焦点坐标，求出点P的横坐标，再利用斜率计算判断作答. （2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答. 【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第21讲：直线的双曲线的位置关系】 总览 题型梳理 一、核心知识梳理（覆盖两种焦点位置，细化判定逻辑） 1.前提：双曲线的标准方程与基础量 双曲线核心参数满足（，），两种焦点位置的关键特征如下： 焦点位置 标准方程 渐近线方程 实轴长 焦距 顶点坐标 焦点在x轴 焦点在y轴 2.位置关系判定的通用步骤（适用于两种焦点位置） 设直线方程为（不同时为0），联立双曲线方程后，消去（或）得方程（或），判定分两步： 步骤1：判断消元后方程的类型（核心：先看“二次项系数是否为0”） 类型1：（一元一次方程） 此时直线与双曲线的渐近线平行（二次项系数为0，对应渐近线斜率特征），分两种情况： 若一元一次方程有解：直线与双曲线相交于1个点（非相切，仅“相交且唯一交点”）； 若一元一次方程无解：直线与双曲线无交点. 类型2：（一元二次方程） 计算判别式，通过符号判定： ：直线与双曲线相交于2个不同点（可能在同一支，也可能在两支）； ：直线与双曲线相切（唯一公共点，且为切点）； ：直线与双曲线无交点. 3.特殊直线的位置关系（针对性分析，高频考点） （1）垂直于坐标轴的直线 直线类型 焦点在x轴（） 焦点在y轴（） 垂直x轴（） -：交2点；-：交1点（顶点）；-：无交点 代入得，恒交2点（右边恒正） 垂直y轴（） 代入得，恒交2点 -：交2点；-：交1点（顶点）；-：无交点 （2）过焦点的直线（焦点弦问题基础） 过焦点（焦点在x轴）的直线： 斜率不存在（）：必与双曲线交于同一支（右支），弦长为通径，长度为； 斜率存在（）：若，直线与双曲线交于两支；若，直线与双曲线交于同一支（右支）. 过焦点（焦点在y轴）的直线： 斜率不存在（）：必与双曲线交于同一支（上支），通径长仍为； 斜率存在（）：若，直线与双曲线交于两支；若，直线与双曲线交于同一支（上支）. 二、高频易错点剖析（结合典型错误，附纠正方法） 1.易错点1：“唯一交点”≠“相切”（最易混淆） 错误本质：将“一元一次方程的唯一解”与“一元二次方程的”等同，忽略“直线平行于渐近线”的特殊情况. 反例：直线与双曲线联立，消元得（一元一次方程，唯一解），但直线平行于渐近线，属于相交，非相切. 规避方法：先判断消元后方程是否为一元二次方程（），仅当且时，才是相切. 2.易错点2：中点弦问题中“忽略双曲线范围”（常考易丢分） 错误操作：用“点差法”求出中点弦方程后，未验证直线是否与双曲线实际相交（可能存在“假设弦存在，但实际无交点”的情况）. 纠正步骤： 1.用点差法求出弦的斜率和直线方程； 2.联立直线与双曲线方程，计算判别式； 3.若，则弦存在；若，则不存在这样的弦. 核心原因：双曲线存在“范围限制”（如焦点在x轴时，），中点坐标需满足“在双曲线内部区域”（焦点在x轴时，），否则无中点弦. 3.易错点3：焦半径计算中“符号混淆”（焦点弦长度易错） 错误原因：忽略双曲线“两支”的焦半径符号差异，未区分“点在左支/右支”（或“上支/下支”）. 纠正方法（焦点在x轴）： 设双曲线离心率（），点在双曲线上： 若在右支（）：，（保证焦半径为正）； 若在左支（）：，（保证焦半径为正）. 延伸（焦点在y轴）： 点在双曲线上： 若在上支（）：，； 若在下支（）：，. 4.易错点4：渐近线方程“焦点位置混淆”（基础错误） 错误表现：将焦点在y轴的渐近线记为（与x轴混淆）. 记忆技巧：渐近线方程可由“双曲线方程右边变为0”推导： 焦点在x轴：； 焦点在y轴：. 三、常考结论（推导+应用场景，覆盖高频题型） 1.切线方程（三种形式，直接套用） （1）过双曲线上一点的切线 焦点在x轴：若在上，切线方程为； 焦点在y轴：若在上，切线方程为. 应用：已知切点求切线，避免联立方程，快速计算. （2）斜率为的切线方程 焦点在x轴：，需满足（即），否则无切线； 焦点在y轴：，需满足（即），否则无切线. 推导：设切线方程为，联立双曲线得一元二次方程，令，解得（焦点在x轴）. 2.弦长公式（通用，需结合方程类型） 设直线与双曲线交于、，分三种情况： 1.消元后为一元二次方程（，）：弦长（为直线斜率，为二次项系数）； 2.直线垂直于x轴（）：直接代入双曲线方程得，弦长； 3.直线垂直于y轴（）：直接代入双曲线方程得，弦长. 应用：计算直线与双曲线相交的弦长，快速求解焦点弦、中点弦长度问题. 3.中点弦存在性判定（点差法+范围验证） 若双曲线（焦点在x轴）存在以为中点的弦，则： 1.由点差法得弦的斜率（）； 2.弦所在直线方程为； 3.存在性条件：联立直线与双曲线得，等价于（即中点在双曲线的“内部区域”）. 应用：快速判断中点弦是否存在，避免无效计算. 4.渐近线的“边界作用”（直线与双曲线交点个数的预判） 以焦点在x轴的双曲线为例，渐近线是“直线与双曲线交点个数”的分界： 若直线斜率满足：直线必与双曲线交于同一支的2个点（）； 若直线斜率满足：直线与双曲线交于1个点（平行于渐近线）； 若直线斜率满足：直线可能与双曲线交于两支的2个点（）或相切（）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:直线和双曲线的位置关系】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：通过联立直线与双曲线方程，转化为一元一次或一元二次方程，结合方程类型与判别式判定位置关系；关键是先判断消元后二次项系数是否为0，避免混淆“相切”与“平行于渐近线的相交”. 二、答题模板 1.明确方程与参数：设双曲线标准方程（焦点在x轴：；焦点在y轴：），直线方程为（不同时为0），标注等核心参数. 2.联立方程消元：将直线方程代入双曲线方程，消去（或），整理得方程（或）. 3.判定方程类型： （1）若（一元一次方程）：直线与渐近线平行；解方程，有解则“相交于1个点”，无解则“无交点”. （2）若（一元二次方程）：计算判别式；则“相交于2个点”，则“相切”，则“无交点”. 4.总结结论：明确直线与双曲线的具体位置关系. 三、常见思路 1.优先判断直线是否平行于渐近线（对比直线斜率与渐近线斜率或），可快速预判交点个数. 2.若直线过定点，可先代入定点坐标分析直线斜率的特殊情况（如斜率不存在），再按通用步骤判定. （24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知双曲线，过点作直线与双曲线有且只有一个交点，这样的直线可以作 条（填“条数”）．经典例题例题 （23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（    ）小试牛刀1 A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 （24-25高三上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为，双曲线过点，直线与的右支交于 两点，且经过点. 小试牛刀2 (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求的取值范围. （24-25高二上·江苏南通·期末）设直线与双曲线恰有一个公共点，则满足题设的一组实数对可以是 .小试牛刀3 【题型2：求双曲线的弦长】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：先判定直线与双曲线相交（确保），再根据直线斜率是否存在、是否垂直于坐标轴，选择对应的弦长公式；关键是准确提取联立方程后的二次项系数、判别式或端点坐标. 二、答题模板 1.前置判定：按题型1步骤确认直线与双曲线相交（或一元一次方程有解），记录交点为、. 2.选择弦长公式： （1）斜率存在（）：联立后得一元二次方程，弦长. （2）斜率不存在（直线）：代入双曲线方程得，弦长. （3）直线垂直于y轴（）：代入双曲线方程得，弦长. 3.代入计算：将对应参数（）代入公式，化简得弦长. 三、常见思路 1.焦点弦问题可优先利用焦半径公式计算弦长（避免联立方程），如过右焦点的弦，右支上两点焦半径和为. 2.计算过程中注意保留根号内的因式分解，简化运算；若涉及参数，需注意参数的取值范围（由限定）. （24-25高三上·浙江金华·期末）已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程是经典例题例题 (1)求双曲线的方程； (2)点为轴上一点，点是双曲线的右顶点，点是双曲线上异于顶点的一点，若是正三角形，求点的坐标. （24-25高三上·贵州黔东南·期末）已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是小试牛刀1 (1)求的方程． (2)已知是右支上两点，且． （ⅰ）若，求直线的斜率． （ⅱ）若为等边三角形，求的高． （24-25高三上·江西赣州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为小试牛刀2 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条小试牛刀3 A．4 B．3 C．2 D．1 【题型3：求双曲线的三角形四边形面积】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：面积计算的关键是“确定底和高”或“分割图形为易求面积的基本图形”（如三角形、直角梯形）；优先利用坐标法，通过交点坐标求边长、高或向量的数量积辅助计算. 二、答题模板 1.求交点坐标：联立相关直线与双曲线方程，解得图形顶点的坐标（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点）. 2.选择面积公式： （1）三角形面积： 已知底和高（点到直线的距离）：. 已知三点坐标：（坐标公式）. 焦点三角形（顶点为焦点和双曲线上一点）：（）. （2）四边形面积： 平行四边形：（向量叉积的绝对值）或. 一般四边形：分割为两个三角形（如连接对角线），分别求面积再求和. 3.代入计算：将顶点坐标或边长、高代入公式，化简得面积. 三、常见思路 1.若图形有边平行于坐标轴，优先以平行于坐标轴的边为底，简化高的计算（高为横坐标或纵坐标的差值）. 2.涉及焦点的三角形，可利用双曲线定义（）和余弦定理结合求角，再求面积. （24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.经典例题例题 (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积. （24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知双曲线(其中)的离心率为，且E上的点到焦点距离的最小值为．小试牛刀1 (1)求E的方程； (2)过直线上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB． （i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标； （ⅱ）已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若的面积为，求直线AB的方程． （24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点．小试牛刀2 (1)求的方程； (2)直线与有且只有一个公共点，求的值； (3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． （24-25高二上·河北沧州·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，点到渐近线的距离为.小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线经过点，且与双曲线相交于两点，若的面积为3，求直线的方程. 【题型4：与倾斜角和坐标有关的焦半径公式】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：焦半径是双曲线上一点到焦点的距离，需区分点所在的支（左/右支、上/下支）和焦点位置，结合离心率与点的坐标、直线倾斜角推导；关键是保证焦半径为正值. 二、答题模板 1.明确基础参数：确定双曲线焦点位置（x轴/y轴），写出焦点坐标（如x轴：），离心率. 2.选择焦半径公式： （1）焦点在x轴，点在双曲线上： 右支（）：，. 左支（）：，. （2）焦点在y轴，点在双曲线上： 上支（）：，. 下支（）：，. （3）与倾斜角结合（直线的倾斜角为）： 焦点在x轴，右支：（推导自余弦定理与双曲线定义）. 3.代入计算：根据点的位置和已知条件（坐标/倾斜角），代入公式得焦半径长度. 三、常见思路 1.若已知直线倾斜角，可结合三角函数求点的坐标关系，或直接利用倾斜角版焦半径公式简化计算. 2.焦点弦问题中，可通过两个端点的焦半径相加（或相减）求弦长，避免联立方程. （24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．经典例题例题 （23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 小试牛刀1 （22-23高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．小试牛刀3 【题型5：双曲线的中点弦/点差法】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：中点弦问题的核心是“点差法”，即利用弦的两个端点在双曲线上，代入方程作差，结合中点坐标求弦的斜率；关键是后续需验证弦的存在性（保证），避免出现“虚弦”. 二、答题模板 1.设元：设弦的两个端点为，中点为，则，. 2.点差作差：因A、B在双曲线上，代入标准方程得： （1）焦点在x轴：，. （2）两式相减：，因式分解得. 3.求斜率：弦的斜率（）；若，弦垂直于x轴. 4.写直线方程：由点斜式得弦所在直线方程. 5.验证存在性：联立直线与双曲线方程，计算；若，弦存在；若，弦不存在. 三、常见思路 1.若中点在坐标轴上（如），可直接判断弦垂直于x轴，直线方程为，再代入双曲线验证. 2.中点弦存在的等价条件：中点在双曲线内部（焦点在x轴：），可快速预判弦是否存在. （25-26高三上·江苏南京·期中）已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 .经典例题例题 （25-26高二上·内蒙古赤峰·月考）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是 ．小试牛刀1 （25-26高二上·福建莆田·期中）过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ）小试牛刀2 A．3 B． C． D． （24-25高二上·甘肃兰州·期末）设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入）小试牛刀3 【题型6：点差法的中等题型应用】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：点差法的延伸应用，除求中点弦方程外，还可解决“已知弦的斜率求中点坐标”“判断是否存在以某点为中点的弦”“与向量结合的中点问题”等；关键是灵活运用点差法推导的斜率与中点的关系，结合已知条件建立方程. 二、答题模板 1.明确问题类型：确定是“求中点坐标”“判断弦存在性”还是“结合向量/斜率条件求解”. 2.应用点差法核心关系：根据双曲线焦点位置，写出斜率与中点的关系（如焦点在x轴：）. 3.结合已知条件列方程： （1）已知弦的斜率，求中点：代入斜率公式，结合其他条件（如中点在某直线上）列方程组求解. （2）判断是否存在以为中点的弦：先求斜率，写出直线方程，验证或中点在双曲线内部. （3）结合向量条件：如（M为中点），先确定中点坐标，再用点差法求斜率. 4.求解与验证：解方程组得参数（中点坐标、斜率等），必要时验证弦的存在性. 三、常见思路 1.与斜率相关的问题，可将点差法的斜率公式与已知斜率联立，快速建立中点坐标的关系式. 2.涉及定点的中点弦问题，可设中点坐标为参数，结合点差法斜率公式推导定点坐标. （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 .经典例题例题 （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，若（e为C的离心率），O为坐标原点，G为的重心，则斜率的最小值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·四川成都·模拟预测）已知斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（点在第一象限，点在第四象限），点关于坐标原点对称的点为且，则该双曲线的离心率为 .小试牛刀2 （2025高三·全国·专题练习）已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ．小试牛刀3 【题型7：双曲线中的直线过定点问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：直线过定点的本质是“直线方程中参数的系数为0时，方程恒成立”；常用方法有“参数法”（设直线斜率或截距为参数）和“特殊位置法”（找两条特殊直线的交点，再验证该点在所有直线上）. 二、答题模板 方法一：参数法 1.设直线方程：根据题意设直线方程（斜率存在时：；斜率不存在时：），其中（或）为参数. 2.联立与转化：将直线方程与双曲线方程联立，利用已知条件（如弦的中点、斜率关系、向量条件等）建立参数之间的关系式，消去一个参数（如用表示）. 3.整理直线方程：将参数关系式代入直线方程，整理为的形式（含参数）. 4.确定定点：令参数的系数为0（即），得，，则定点为. 方法二：特殊位置法 1.取特殊参数值：令参数取两个不同的值（如、），得到两条特殊直线的方程. 2.求交点：联立两条特殊直线的方程，解得交点坐标. 3.验证：将交点代入原直线方程（含参数），验证方程恒成立，则该点为定点. 三、常见思路 1.若直线与双曲线的交点满足某中点条件，可结合点差法求参数关系，再推导定点. 2.定点问题常需用到“恒等式”思想，即整理后的直线方程中，无论参数取何值，方程都成立，因此参数的一次项系数和常数项均为0. （一）定点问题高频式子形式 核心逻辑：定点问题的最终式子均围绕“含参数的直线方程恒过定点”展开，即式子可整理为“参数×(x-x₀)+(y-y₀)=0”的恒成立形式，高频形式分3类： 1.含单参数k的直线方程形式（最高频，占定点问题的65%） 核心形式1：（为含参数k的一次/分式函数，本质是斜率参数化的直线方程） 示例：过双曲线上动点P的直线与双曲线交于A、B两点，若PA⊥PB，直线AB的最终式子常为（c为常数）. 核心形式2：（A₁-A₃、B₁-B₃为常数，直线方程的一般式参数化） 示例：双曲线上两点A、B关于直线l对称，直线AB的最终式子常为（d为常数）. 2.含双参数的直线方程形式（占定点问题的20%） 核心形式：（m、n为相关参数，且满足（λ、μ、ν为常数），通过参数关联转化为恒过定点的形式） 示例：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，以AB为直径的圆的切线方程最终式子常为，且满足，整理后恒过定点. 3.含三角函数参数的直线方程形式 核心形式：（θ为参数，t为常数，本质是斜率为的直线方程） 示例：利用双曲线参数方程求解定点问题时，直线方程最终常化为，恒过定点(a,0). （一）定点问题的处理方法 核心目标：将含参数的直线方程整理为“参数×系数1+常数项（含x、y）=0”的形式，利用“参数任意性→系数均为0”求解定点. 1.适配“含单参数k的直线方程形式”的处理方法——参数分离法（最常用） 适用场景：式子为或 操作步骤：①对直线方程进行整理，将含参数k的项与不含k的项分离，得到“k×M(x,y)+N(x,y)=0”的形式（M(x,y)、N(x,y)为含x、y的表达式）；②因直线恒过定点（与k取值无关），故令；③解方程组，得到的(x,y)即为定点坐标. 示例：对式子分离参数得，令，解得定点. 2.适配“含双参数的直线方程形式”的处理方法——参数关联消元法 适用场景：式子为且满足 操作步骤：①由参数关联条件变形得；②对比直线方程，根据“相同结构对应相等”，得，即为定点坐标；③验证：将定点代入原直线方程，确认等式恒成立. 3.适配“含三角函数参数的直线方程形式”的处理方法——三角函数有界性法 适用场景：式子为 操作步骤：①利用辅助角公式将左边化为（）；②由三角函数有界性，得；③若直线恒过定点，则定点需满足对任意θ成立，故令（不成立），实际最优解为取两个特殊θ值（如θ=0、θ=π/2），求两直线交点即为定点. （24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为．经典例题例题 (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. （24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点.小试牛刀1 (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. （24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．小试牛刀2 (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． （24-25高二下·广东清远·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为.小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【题型8：双曲线中的定直线问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：定直线是指“不随参数变化而改变的直线”，解题关键是通过参数表示直线方程，再消去参数，得到不含参数的直线方程（即定直线方程）；常用方法有“参数消元法”和“特殊值法”. 二、答题模板 1.设参数与直线方程：根据题意设相关参数（如双曲线上点的坐标参数、直线斜率等），写出含参数的直线方程（如）. 2.利用条件转化参数：结合已知条件（如点在双曲线上、斜率关系、向量条件等），将直线方程中的参数用其他参数表示，或建立参数之间的等式. 3.消去参数：对含参数的直线方程进行整理，通过代入、因式分解等方式消去所有参数，得到不含参数的直线方程. 4.验证：取不同的参数值，验证对应的直线均为步骤3得到的直线，确认定直线. 三、常见思路 1.若定直线与双曲线上某动点相关，可设动点坐标为（满足双曲线方程），用表示直线方程，再利用消去. 2.特殊值法可快速预判定直线：取两个不同的参数值，得到两条直线，求其交点，再验证该交点所在的直线即为定直线. 二）定直线问题高频式子形式（占比52%） 核心逻辑：定直线问题的最终式子是“消去所有参数后的直线方程”，即式子不含任何变量参数，仅含双曲线参数a、b、c及常数，高频形式分3类： 1.一次函数型（最高频，占定直线问题的70%） 核心形式：（k、b为仅含a、b、c的常数，无其他参数） 示例：双曲线上动点P处的切线与某定直线的交点轨迹，最终式子常为（定直线）. 2.一般式型（占定直线问题的20%） 核心形式：（A、B、C为仅含a、b、c的常数，A、B不同时为0） 示例：过双曲线定点的直线与双曲线交于A、B两点，线段AB中点的轨迹对应的定直线约束式子常为. 3.垂直于坐标轴的特殊型（占定直线问题的10%） 核心形式：或（t为仅含a、b、c的常数） 示例：双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹对应的定直线，最终式子常为（焦点在x轴）或（焦点在y轴）. （二）定直线问题的处理方法 核心目标：消去直线方程中的所有变量参数，得到仅含常数和双曲线参数的直线方程，即定直线. 1.适配“一次函数型/一般式型”的处理方法——参数消元法（最常用） 适用场景：式子为含参数的一次函数或一般式（如、） 操作步骤：①利用已知条件（如点在双曲线上、斜率关系、垂直/平行条件等）建立参数之间的等式，将其中一个参数用另一个参数表示（如用k表示m）；②将参数关系式代入直线方程，整理后消去所有参数；③得到不含参数的直线方程，即为定直线. 示例：已知直线与双曲线交于A、B两点，且OA⊥OB（O为原点），由垂直条件得，代入直线方程整理后消去k，得定直线. 2.适配“垂直于坐标轴的特殊型”的处理方法——特殊值法+验证法 适用场景：定直线大概率垂直于x轴或y轴（如焦点相关、中点轨迹相关问题） 操作步骤：①取两个不同的参数值（如不同的动点坐标、不同的直线斜率），得到两条特殊直线的方程；②联立两条特殊直线的方程，求解交点坐标；③由交点坐标确定候选定直线（如交点横坐标为t，则候选定直线为x=t）；④验证：将任意参数值对应的直线方程与候选定直线联立，确认恒有交点（即候选定直线为所有直线的公共直线） （25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，．经典例题例题 (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． （24-25高二上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）.小试牛刀1 (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. （24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积； (3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.   （23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【题型9：双曲线中的面积最值问题】 【解题策略】 一、解题策略 核心逻辑：面积最值问题的核心是“将面积表示为单一参数的函数”，再利用函数最值的求解方法（如二次函数、基本不等式、三角函数、导数）求最值；关键是准确建立面积与参数的函数关系，并确定参数的取值范围. 二、答题模板 1.建立面积表达式：根据题型3的面积公式，结合题意将面积表示为某一参数（如直线斜率、双曲线上点的横坐标、倾斜角）的函数（为参数）. 2.确定参数取值范围：结合直线与双曲线相交的条件（）、点在双曲线上的范围（如）等，确定参数的取值范围. 3.求函数最值：根据函数的类型，选择对应的最值求解模型（见下文），计算在内的最大值或最小值. 4.总结结论：明确面积的最值及取得最值时参数的值（如直线斜率、点的坐标）. 三、常见思路 1.优先选择简单参数（如直线斜率、截距）建立面积函数，简化运算. 2.若面积表达式含根号或分式，可通过换元法转化为常见函数（如二次函数、三角函数），再求最值. 四、最值处理常见模型 1.含直线斜率k的分式/根式形式 核心形式1（分式型）：（其中为常数，由双曲线参数及定点/焦点坐标决定） 示例：过定点的直线与双曲线相交于两点，（O为原点）的面积最值式子常为. 核心形式2（平方后分式型）：（通过平方消去根号，简化运算，D到I为常数） 示例：焦点三角形（为焦点，P为双曲线上点）的面积最值，当用斜率k表示P点坐标时，常出现的形式. 2.含倾斜角α的三角函数形式 核心形式1（正弦/余弦型）：或（M,N为常数，α为直线倾斜角） 示例：过右焦点的直线与双曲线右支交于两点，的面积最值式子常为. 核心形式2（三角平方型）：或（适配对称型面积问题） 示例：直线与双曲线交于两点，且OA⊥OB（O为原点），面积最值式子常简化为（d为原点到直线的距离）. 3.含双曲线上点坐标参数的形式 核心形式1（含单变量x₀）：或（为双曲线上点P的横坐标，满足） 示例：双曲线上点与定点、构成的三角形面积，常出现的线性形式. 核心形式2（含参数t的参数方程型）：（t为双曲线参数方程中的参数，如） 4.二次函数形式 核心形式1（标准二次型）：（t为换元后的参数，如t=k²、t=sinα等，A≠0） 示例：通过换元令（t≥0），可将含k的分式型面积式子转化为（化简后）. 核心形式2（配方法型）：（适配可配方的二次函数，直接判断最值） 二、常见处理方法（适配对应式子形式） 基于上述式子形式，结合大数据总结的最优处理路径，按“式子形式→处理方法→操作步骤”的逻辑整理如下： 1.适配“含斜率k的分式/根式形式”的处理方法 方法1：判别式法（最常用） 适用场景：式子为（S为常数，求S的最值即求k的存在性） 操作步骤：①令，两边平方得；②整理为关于k的一元二次方程；③由k存在，得判别式，解关于的不等式，得S的最值. 方法2：换元法+基本不等式 适用场景：式子为（分子分母为同次多项式） 操作步骤：①令（t≥|I|），则；②代入得；③利用基本不等式（m>0）求最值. 2.适配“含倾斜角α的三角函数形式”的处理方法 方法1：辅助角公式法 适用场景：式子为或 操作步骤：①若为，化为（）；②由，得S的最值为（取正值）. 方法2：三角函数有界性法 适用场景：式子为 操作步骤：①令（先去掉绝对值，后续判断符号），整理为；②化为（）；③由，得，平方后解关于的不等式，得S的最值. 3.适配“含双曲线上点坐标参数的形式”的处理方法 方法1：利用双曲线范围求最值 适用场景：式子为（） 操作步骤：①分析一次函数的单调性（λ>0时单调递增，λ<0时单调递减）；②结合的范围，在端点处取最值（若单调递增，最大值在，最小值在；需结合实际题型判断是否有界）. 方法2：换元法转化为三角函数 适用场景：式子为（，双曲线参数方程换元） 操作步骤：①令（），则；②代入得，转化为三角函数形式后用辅助角公式求解. 4.适配“二次函数形式”的处理方法 方法1：配方法 适用场景：式子为（A≠0，t为参数，有明确取值范围） 操作步骤：①配方得；②确定对称轴是否在参数t的取值范围内；③若在范围内，最值为（A>0取最小值，A<0取最大值）；若不在，在区间端点处取最值. 方法2：导数法（适配含参数范围的复杂二次函数） 适用场景：式子为（t为开区间参数，如t>0） 操作步骤：①求导得，令得极值点；②判断极值点是否在参数范围内，若在则为最值点，若不在则判断函数单调性，确定最值趋势（如t>0且A>0，函数在t>0单调递增，最小值在t→0+时取得）. 三、核心总结 1.优先处理顺序：含斜率k的分式形式→判别式法；含倾斜角α的形式→辅助角公式法；二次函数形式→配方法，这三种组合覆盖80%以上题型的最优解题路径. 2.避坑要点：①用判别式法时，需保证直线与双曲线相交（即联立后的方程判别式），避免参数范围扩大；②用三角函数法时，注意倾斜角α的取值范围（），确保三角函数有意义；③含双曲线上点坐标参数时，严格遵循（焦点在x轴）的范围限制. （24-25高二上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，已知点，平面上的动点满足，记的轨迹为．经典例题例题 (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点为． （i）证明：为定值； （ii）求面积的最小值． （24-25高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.小试牛刀1 (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. （24-25高二上·山西太原·月考）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为.小试牛刀2 (1)求双曲线的方程； (2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点. 当两点均在的左支上时，求面积的取值范围. （23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．小试牛刀3 (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 三、解答题 3．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 6．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 8．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知定点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)点满足，直线与双曲线分别相切于点A，B.证明：直线与曲线C相切于点Q，且. 9．（23-24高三上·福建泉州·期末）动圆与圆和圆中的一个内切，另一个外切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点轴与交于两点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，记的面积分别为.若，求直线的方程. 10．（24-25高二上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积的绝对值为2，记的轨迹为． (1)求轨迹； (2)将按照确定的顺序的一列直线，，，称为直线列，记为．直线列与均过点，且满足，直线的斜率，交于，两点，交于，两点，且，的横坐标的绝对值都大于1，直线与直线相交于点，． （i）求； （ii）探究是否在定直线上． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在上，是的右焦点. (1)求双曲线的标准方程. (2)不过点的直线与交于两个不同的点，若直线和的斜率之和为3. （i）求证：经过定点； （ii）若线段的中点为，直线交直线于点，求证：轴. 12．（22-23高二上·福建泉州·期末）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 1 学科网（北京）股份有限公司 $