26.2.3 求二次函数的表达式 课件-2025-2026学年 华东师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“求二次函数的表达式”，通过回顾一次函数两点确定、反比例函数一点确定的条件，引导学生思考二次函数所需条件，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合建筑屋顶抛物线等实际情境，通过顶点式、一般式例题及多样化练习题，运用抽象能力和推理意识，引导学生用数学思维解决问题。课堂小结清晰归纳方法，学生能系统掌握待定系数法，教师可高效教学，提升学生应用意识。

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章　二次函数 26.2.3 求二次函数的表达式 知道图象上两点的坐标，可以确定一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的关系式. 知道图象上一点的坐标，可以确定反比例函数 y = （k ≠ 0）的关系式. 如果要确定二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的关系式，需要知道几个条件呢？ 求二次函数的表达式 教学过程 幻灯片1：情境导入，明确目标（5分钟） 问题情境：展示某游乐园“蹦极”项目的高度随时间变化的曲线，提问：“这条曲线可以用二次函数表示，若已知曲线上几个关键点的坐标，我们如何确定这个二次函数的表达式，从而精准计算出蹦极者的最高高度和落地时间呢？” 回顾旧知：二次函数有三种常见形式：①一般式y＝ax²＋bx＋c（a≠0）；②顶点式y＝a(x-h)²＋k（a≠0），其中(h,k)是顶点坐标；③交点式y＝a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是图象与x轴交点的横坐标。 本节课目标：掌握根据不同已知条件，选择合适形式求二次函数表达式的方法，体会“待定系数法”的核心思想。 设计意图：用生活化问题激发需求，回顾函数形式为后续“选形式”铺垫，明确本节课核心任务。 幻灯片2：探究一：已知三点坐标，用一般式求解（15分钟） 问题1：已知二次函数图象经过点A(0,1)、B(1,3)、C(2,3)，求该函数的表达式。 思考引导：已知三个不共线的点，哪种形式适用？（一般式，因一般式含三个待定系数a、b、c，需三个方程求解） 示范解题： 1. 设表达式：设二次函数的一般式为y＝ax²＋bx＋c（a≠0）； 2. 代点列方程：将三点坐标代入得： 代入(0,1)：c＝1； 3. 代入(1,3)：a＋b＋c＝3； 4. 代入(2,3)：4a＋2b＋c＝3。 5. 解方程组：将c＝1代入后两式，得{a＋b＝2，4a＋2b＝2}，解得a＝-1，b＝3； 6. 写表达式：将a、b、c的值代入，得y＝-x²＋3x＋1。 方法总结：已知三点（或两组x、y对应值），用“一般式”求解，步骤为“设—代—解—写”，核心是利用待定系数法列方程组。 即时练习：已知函数过(1,0)、(2,-1)、(0,3)，求表达式，学生独立完成，教师巡视指导，强调解方程的准确性。 幻灯片3：探究二：已知顶点和一点，用顶点式求解（15分钟） 问题2：已知二次函数的顶点坐标为(2,4)，且经过点(0,0)，求该函数的表达式。 思考引导：已知顶点，哪种形式更简便？（顶点式，因顶点式直接包含顶点坐标(h,k)，仅需确定a的值） 示范解题： 1. 设表达式：∵顶点为(2,4)，∴设顶点式为y＝a(x-2)²＋4（a≠0）； 2. 代点求a：将(0,0)代入得0＝a(0-2)²＋4→4a＋4＝0→a＝-1； 3. 写表达式：将a＝-1代入，得y＝-(x-2)²＋4，可整理为一般式y＝-x²＋4x。 变式提问：若已知二次函数的对称轴为x＝1，且经过(0,2)、(2,0)两点，该如何设表达式？（引导：对称轴x＝1即h＝1，设顶点式y＝a(x-1)²＋k，再代两点求a、k） 方法总结：已知顶点坐标、对称轴或最值时，优先用“顶点式”，可减少待定系数数量，简化计算。 即时练习：已知函数顶点(-1,-2)，过点(1,2)，求表达式，学生完成后分享解题过程。 幻灯片4：探究三：已知与x轴交点和一点，用交点式求解（15分钟） 问题3：已知二次函数图象与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)，且经过点C(0,3)，求该函数的表达式。 思考引导：已知图象与x轴的两个交点，哪种形式最快捷？（交点式，因交点式直接体现交点横坐标x₁、x₂） 示范解题： 1. 设表达式：∵与x轴交于(-1,0)、(3,0)，∴设交点式为y＝a(x＋1)(x-3)（a≠0）； 2. 代点求a：将(0,3)代入得3＝a(0＋1)(0-3)→-3a＝3→a＝-1； 3. 写表达式：将a＝-1代入，得y＝-(x＋1)(x-3)，整理为一般式y＝-x²＋2x＋3。 易错提醒：交点式中，x₁、x₂是交点的横坐标，故括号内为(x-x₁)，当x₁为负数时，注意符号变化（如x₁＝-1，括号内为x - (-1)＝x＋1）。 方法总结：已知二次函数与x轴的两个交点坐标，用“交点式”求解最简便，若需一般式，可后续整理。 即时练习：函数与x轴交于(2,0)、(4,0)，过(1,3)，求表达式，教师重点纠正符号错误。 幻灯片5：归纳方法，选择最优形式（10分钟） 师生共梳：根据已知条件选择二次函数形式的“决策表”： 已知条件 优先选择的函数形式 待定系数数量 三个不共线的点坐标 一般式y＝ax²＋bx＋c 3个（a、b、c） 顶点坐标（或对称轴、最值）＋一个点 顶点式y＝a(x-h)²＋k 1个（a）或2个（a、k） 与x轴两个交点坐标＋一个点 交点式y＝a(x-x₁)(x-x₂) 1个（a） 核心思想：无论选择哪种形式，都遵循“待定系数法”，即“设表达式—代已知条件—解方程（组）—写表达式”，最终可根据需求将表达式整理为一般式。 变式练习：已知二次函数过(1,1)、(3,1)，且最大值为3，选择合适形式求表达式（引导：两点纵坐标相同，对称轴为x＝2，设顶点式y＝a(x-2)²＋3）。 幻灯片6：课堂总结，布置分层作业（5分钟） 课堂小结： 1. 三种形式的适用场景：“三点用一般，顶点用顶点，交点用交点”； 2. 解题关键：根据已知条件灵活选择函数形式，减少计算量； 3. 易错点：顶点式中h的符号、交点式中x₁/x₂的符号，以及解方程时的符号问题。 作业布置： 1. 基础题：①已知(0,2)、(1,3)、(2,6)，求一般式；②已知顶点(1,2)，过(0,1)，求顶点式并整理为一般式； 2. 提升题：已知函数与x轴交于(1,0)，顶点(2,1)，求表达式（提示：可设顶点式或交点式）； 3. 拓展题：某抛物线过(0,0)、(1,2)、(2,3)，判断该抛物线是否过点(3,2)，并说明理由。 情景导入 问题2 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数表达式，然后根据这个函数表达式画出图形. 探究新知 解:如图所示，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 О 作 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为: 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 问题2 y = ax2（a < 0） （1） 探究新知 如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽 AB 为 4 m，拱高 CO 为 0.8 m. 施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？ 问题2 y = ax2（a < 0） （1） 因为 y 轴垂直平分 AB，并交 AB 于点 C，所以 CB = = 2（m），又CO = 0.8 m，所以点 B 的坐标为（2，-0.8）. 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入（1）得 -0.8 = a×22，所以 a = -0.2，因此，所求函数关系式是 y = -0.2x2. 探究新知 y = -0.2x2. 你能根据这个函数表达式，画出模板的轮廓线吗？ 探究新知 一个二次函数的图象经过点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 图象顶点坐标为（h，k）的二次函数表达式有怎样的形式？ 二次函数顶点式 y=a(x-h)2+k 探究新知 一个二次函数的图象经过点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 设所求二次函数的表达式为 y = a( x – 8 )2 + 9， 由这个函数的图象经过点（0, 1），可得 a = . 因此，所求二次函数的表达式为 y = ( x – 8 )2 + 9. 探究新知 已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤: 第一步：设解析式为 y = a(x - h)2 + k. 第二步：将已知点坐标代入求 a 值得出解析式. 归纳 探究新知 一个二次函数的图象经过点 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式. 设所求二次函数的表达式为 y = ax 2 + bx + c， 由这个函数的图象经过点（0, 1），可得 c = 1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得 4a + 2b + 1 = 4， 9a + 3b + 1 = 10. 解这个方程组，得 因此，所求二次函数的表达式为 y = 探究新知 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 归纳 任意两点的连线不与y轴平行 探究新知 返回 1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，4)，B(1，－2)和C(2，－6)，则这条抛物线所对应的二次函数的表达式为(　　) C 考试考法 12 返回 2. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为(　　) A 考试考法 13 返回 3. 有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的图象的形状一致，那么该二次函数的表达式为(　　) A. y＝x2＋14x＋10 B. y＝2x2－14x＋20 C. y＝2x2＋14x＋20 D. y＝x2－14x＋10 B 考试考法 14 返回 4. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是__________________________. y＝－x2＋1(答案不唯一) 考试考法 15 返回 5. [2025西安期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是__________________. y＝x2－2x－3 考试考法 16 6. 过点(－2，3)，对称轴是直线x＝－1，且形状与抛物线y＝－x2－2相同的抛物线的表达式为____________________________________________. y＝x2＋2x＋3或y＝－x2－2x＋3 考试考法 17 【点拨】设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c. ∵形状与抛物线y＝－x2－2相同，∴a＝1或a＝－1. ∵对称轴是直线x＝－1，∴－ ＝－1，即b＝2a. 当a＝1时，b＝2，此时y＝x2＋2x＋c，将点(－2，3)的坐标代入y＝x2＋2x＋c，得3＝(－2)2＋2×(－2)＋c，解得c＝3. ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋3； 考试考法 18 当a＝－1时，b＝－2，此时y＝－x2－2x＋c，将点(－2，3)的坐标代入y＝－x2－2x＋c，得3＝－1×(－2)2＋(－2)×(－2)＋c，解得c＝3，∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3. 故该抛物线的表达式为y＝x2＋2x＋3或y＝－x2－2x＋3. 返回 考试考法 19 7. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C. 求抛物线的表达式并写出它的顶点坐标. 考试考法 20 考试考法 21 返回 考试考法 22 8. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为(　　) A. 160 W B. 180 W C. 200 W D. 220 W 考试考法 23 【点拨】∵图象是经过原点的一条抛物线的一部分，∴设抛物线的表达式为P＝aI2＋bI(a≠0)，把(1，165)，(4，0)代入， ∴抛物线的表达式为P＝－55I2＋220I＝－55(I－2)2＋220. ∵－55＜0，∴当I＝2 A时，P取最大值220 W. ∴变阻器R消耗的电功率P最大为220 W. 【答案】D 返回 考试考法 24 返回 9. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的点A，B，则抛物线的表达式为________________. y＝(x－4)2－4 考试考法 25 10. 如图，已知抛物线 与直线y＝2x交于O，A两点. 点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴，y轴的平行线，与直线OA交于点C，E，以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m，n)，则m关于n的函数关系式是______________. 考试考法 26 课堂小结 待定系数法求二次函数解析式 : （1）知道三点，设其形式为 y = ax2 + bx + c （a≠0），其中a、b、c 是待定系数； （2）知道一点和顶点坐标，通常设其形式为 y = a(x-h)2 + k（a ≠ 0），其中 a 是待定系数. 课堂小结 谢谢观看！ A. y＝－x2＋3x＋ B. y＝x2＋3x＋ C. y＝－x2－3x＋ D. y＝x2－3x＋ A. y＝x2＋2x B. y＝－x2＋2x C. y＝x2－2x D. y＝－x2－2x 【解】在Rt△AOB中，OA＝1，∴A(1，0)， ∵tan∠BAO＝＝3，∴OB＝3. ∴B(0，3). ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°得到的， ∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，∴C(－3，0). 把A，B，C三个点的坐标分别代入表达式得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(－1，4). 得解得 y＝x2－3x m＝n2－n $