26.2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件-2025-2026学年 华东师大版九年级数学下册

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章 二次函数 26.2.2.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质 问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么? 例如 开口方向: 对称轴: 顶点: 向下 x = -2 (-2,2) 怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象? 情景导入 画出函数 的图象并说明这个函数具有哪些性质? 因为 , 所以函数即为 因此这个函数的图象开口向下,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1,-2). 先配方,将函数关系式化为 y=a(x-h)2+k的形式. 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质 教学过程 幻灯片1:温故引新,搭建桥梁(5分钟) 师问1:上节课我们学习了二次函数的顶点式y=a(x-h) +k,谁能说说它的顶点坐标和对称轴分别是什么?我们是如何快速判断其图象位置的? 生答引导:顶点坐标(h,k),对称轴x=h,通过a、h、k的值可直接确定开口方向、平移情况和顶点位置。 师问2:在实际问题中,二次函数常以y=ax +bx+c(a≠0)的形式出现,比如“物体自由下落的高度与时间的关系”。这种一般式无法直接看出顶点和对称轴,我们该如何研究它的图象与性质呢?今天我们就来解决这个问题。 设计意图:以顶点式为认知锚点,通过“一般式的局限性”制造问题冲突,激发学生将一般式转化为顶点式的探究欲望,自然衔接新课。 幻灯片2:探究转化,突破核心难点(10分钟) 任务1:自主尝试将二次函数一般式y=ax +bx+c转化为顶点式,以y=2x +4x+1为例,教师板书示范转化过程: 1. 提取二次项系数:y=2(x +2x)+1(将含x的项归为一组,提取a使括号内二次项系数为1); 2. 配方:在括号内加“一次项系数一半的平方”,同时减回相应值,即x +2x=(x +2x+1)-1=(x+1) -1; 3. 整理成顶点式:y=2[(x+1) -1]+1=2(x+1) -2+1=2(x+1) -1。 教师引导:类比示范过程,小组讨论“一般式转化为顶点式的关键步骤”,得出核心方法——“配方”,并推导通用结论: y=ax +bx+c=a(x+b/(2a)) +(4ac-b )/(4a),因此顶点坐标为(-b/(2a),(4ac-b )/(4a)),对称轴为直线x=-b/(2a)。 幻灯片3:归纳性质,构建知识体系(15分钟) 递进提问:结合转化后的顶点式和具体例子y=2x +4x+1(转化后为y=2(x+1) -1),师生共同梳理一般式的性质: 1. 开口方向:由什么决定?与顶点式是否一致?(由a决定,a>0开口向上,a<0开口向下,与顶点式完全一致,如a=2>0,开口向上) 2. 对称轴:如何计算?(直线x=-b/(2a),代入y=2x +4x+1得x=-4/(2 2)=-1,与顶点式对称轴x=-1一致) 3. 顶点坐标:通用公式是什么?((-b/(2a),(4ac-b )/(4a)),代入得(-1,(8-16)/8)=(-1,-1),与顶点式顶点一致) 4. 最值情况:a>0时,顶点为最低点,最小值为(4ac-b )/(4a);a<0时,顶点为最高点,最大值为(4ac-b )/(4a)(如y=2x +4x+1最小值为-1) 5. 增减性:以对称轴为界,a>0时,x<-b/(2a),y随x增大而减小;x>-b/(2a),y随x增大而增大(如y=2x +4x+1,x<-1时y随x增大而减小,x>-1时y随x增大而增大) 即时小结:教师板书核心性质,强调“配方是连接一般式与顶点式的桥梁,对称轴和顶点坐标公式是解决一般式问题的关键工具”。 幻灯片4:典例解析,强化应用能力(15分钟) 例题1:已知二次函数y=-x +2x+3,回答下列问题: 1. 求该函数的对称轴、顶点坐标和最值;(对称轴x=-2/(2 (-1))=1,顶点(1,(4 (-1) 3-4)/(4 (-1)))=(1,4),a<0,最大值为4) 2. 该函数图象由y=-x 如何平移得到?(先配方为y=-(x-1) +4,由y=-x 向右平移1个单位,再向上平移4个单位) 3. 当x取何值时,y>0?(结合图象或解方程-x +2x+3=0,得x=-1或3,a<0,开口向下,故-1<x<3时y>0) 例题2:某商场销售一批童装,每件成本50元,售价x元与月销量y件的关系为y=-10x+1500,求月销售利润w(元)与售价x(元)的函数关系式,并求售价为多少元时,月利润最大?最大利润是多少? 解题步骤:①利润=(售价-成本) 销量,得w=(x-50)(-10x+1500)=-10x +2000x-75000;②配方得w=-10(x-100) +25000;③a=-10<0,顶点(100,25000),故售价100元时,月利润最大,最大利润25000元。 即时练习:“已知y=3x -6x+2,求对称轴、顶点坐标及x>2时y的增减性”,学生独立完成后同桌互查,教师点评。 幻灯片5:对比总结,布置分层作业(5分钟) 课堂总结:师生共同对比二次函数两种形式的优缺点,构建知识框架: 1. 一般式y=ax +bx+c:适用范围广,易代入点求解析式,但需配方才能确定顶点和对称轴; 2. 顶点式y=a(x-h) +k:易确定图象位置和最值,但需转化才能体现与自变量的直接关系; 3. 核心关联:通过“配方”实现两种形式的转化,a始终决定开口方向与大小。 作业布置:1. 基础题:教材习题,求y=-2x +8x-3的对称轴、顶点坐标及最值;2. 提升题:已知二次函数过点(0,1)、(1,3)、(2,3),求其解析式并判断开口方向;3. 拓展题:结合生活实例,编一道用二次函数一般式解决的最值问题并求解。 探究新知 列表: 由图象可知,这个函数具有如下性质: 当 x < 1 时,函数值 y 随 x 的增大而增大; 当 x > 1 时,函数值 y 随 x 的增大而减小; 当x = 1 时,函数取得最大值,最大值 y = -2. 探究新知 做 一 做 (1)试按照上面的方法,画出函数 的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质? 解:将函数 配方得, x … 1 2 3 4 5 6 7 … y … … 列表: 描点,连线. 探究新知 (2)通过配方,说出函数 y = -2x2 + 8x -8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值 还是最小值?这个值是什么? 解:将函数 配方得, y = -2x2 + 8x -8 y = -2(x-2)2 开口向下 对称轴是直线 x = 2 顶点坐标是(2,0) 函数有最大值,y = 0. 探究新知 思 考 对于任意一个二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 通过配方可以转化成 y = a(x -h)2 + k 形式. 探究新知 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般表达式 因此,抛物线的对称轴是 ,顶点是 。 探究新知 y O x (a>0) y O x (a<0) 二次函数y=ax2+bx+c的图象: 增减性? 最小值 最大值 探究新知 探究新知 返回 1. 二次函数y=2x2+8x+7的图象是( ) C 考试考法 11 返回 2. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 考试考法 12 返回 3. [2025福建]已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3<b<4,则下列判断正确的是( ) A. 1<y1<y2 B. y1<1<y2 C. 1<y2<y1 D. y2<1<y1 A 考试考法 13 4. 若将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位后,经过点(-2,4),则6a-3b-7=_. 2 考试考法 14 【点拨】抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位后得到y=ax2+bx+3-5=ax2+bx-2,把点(-2,4)的坐标代入y=ax2+bx-2,得4=a (-2)2-2b-2,即2a-b=3,∴6a-3b-7=3(2a-b)-7=3 3-7=2. 返回 考试考法 15 5. 已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1), B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y1<y2,则n的取值范围是_. -1<n<0 考试考法 16 考试考法 17 返回 考试考法 18 6. 已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3,-4). (1)求a的值. (2)直接写出y随x的增大而减小的x的取值范围. (3)当-4≤x≤2时,函数y的取值范围为_. 【解】∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点A(3,-4), ∴-4=9a+12+2,解得a=-2,∴a的值为-2. 当x>1时,y随x的增大而减小. -46≤y≤4 考试考法 19 (4)如图,设抛物线y=ax2+4x+2的顶点为M, 与y轴相交于C,连结MC,MA,AC. 求S AMC. 考试考法 20 返回 (4)如图,作AD⊥y轴于D,MN⊥AD于N. ∵y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4, ∴M(1,4),C(0,2). ∵A(3,-4), ∴D(0,-4),N(1,-4),AD=3, ∴CD=6,MN=8,DN=1,∴AN=2, 考试考法 21 返回 7. 已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为( ) A 考试考法 22 返回 8. 在同一平面直角坐标系中,若抛物线y1=-x2-(2m+2n)x-6n+9与y2=x2+(5m-n)x+m2关于x轴对称,则m2+n2的值为( ) A. 13 B. 18 C. 24 D. 26 B 考试考法 23 考试考法 24 考试考法 25 考试考法 26 考试考法 27 【答案】B 返回 考试考法 28 10. [2025天津益中学校月考]将二次函数y=x2-2mx+m2+m+1配成顶点式后,发现其顶点的纵坐标比横坐标大. 如图,在矩形ABCD中,点A(-1,1),点D(2,1),则二次函数y=x2-2mx+m2+m+1的图象与矩形ABCD有交点时,m的取值范围是( ) 考试考法 29 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与系数 a,b,c及b2-4ac 的符号之间的关系: 课堂小结 谢谢观看! 【点拨】∵y=ax2-2ax+b,a>0,∴抛物线的对称轴为直线x=-=1,开口向上. ∵A(2n+3,y1),B(n-1,y2)分别位于抛物线对称轴的两侧, ∴假设点B在对称轴的右侧,则n-1>1,解得n>2, ∴2n+3-(n-1)=n+4>0. ∴点A在点B的右侧,与假设矛盾. ∴点A在对称轴的右侧. ∴ 解得-1<n<2. 又∵y1<y2,∴(2n+3)-1<1-(n-1),解得n<0. ∴-1<n<0. ∴S AMC=S梯形MCDN+S AMN-S ACD= (6+8) 1+ 2 8- 3 6=6. A. 1≤a< B. 0<a< C. 0<a< D. 1≤a< 9. 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点A(-,0),对称轴是直线x=-,有以下结论: ①abc<0; ②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1<y2; ③am2+bm≤a-b(m为任意实数); ④3a+4c=0,其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【点拨】∵二次函数的图象开口向下,与y轴交于正半轴,∴a<0,c>0. ∵-<0,∴b<0. ∴abc>0. 故①错误;∵a<0,对称轴是直线x=-,点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,-(-1)=<2-(-)=2,∴y1>y2. 故②错误; ∵当x=m时,y=am2+bm+c,当x=-时,函数取最大值为a-b+c, ∴对于任意实数m有am2+bm+c≤a-b+c. ∴am2+bm≤a-b. 故③正确; ∵-=-,∴b=a. ∵当x=-时,y=0,∴a-b+c=0. ∴9a-6b+4c=0,∴3a+4c=0. 故④正确. 综上,正确的有③④,共2个. A. -2≤m≤0 B. ≤m≤0 C. -2≤m≤2 D. ≤m≤2 $