26.2.2 第5课时 二次函数的最值 课件 2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

二次函数的最值 华东师大版 九年级下册 1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 新课导入 （1）y = 6x2 + 12x； （2）y = -4x2 + 8x -10. 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出 两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 配方，得：y = 6(x + 1)2 -6 开口向上，对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是（-1, -6）. 配方，得：y = -4(x - 1)2 -6 开口向上，对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是（1, -6）. y = 6x2 + 12x，有最小值，y = -6. y = -4x2 + 8x -10，有最大值，y = -6. 新课探究 问题1 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃. 怎样围才能使花圃的面积最大？ 解：设矩形的宽 AB 为 x m，则矩形的长 BC 为 （20-2x）m，由于x>0，且 20-2x>0，所以0<x<10. 围成的花圃面积 y 与 x 的函数关系式是 y = -2x2+20x ( 0 < x < 10 ) y = -2x2+20x ( 0 < x < 10 ) 如何求最大值。 配方得，y = -2(x - 5)2 + 50 函数开口向下，顶点坐标是（5, 50） 所以，当x = 5 时，函数取得最大值，y = 50. 这时，AB=5（m），BC = 20-2x = 10（m）. 花圃面积最大，最大面积为 50 m2. 问题2 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100 件. 该店想通过降低售价﹑增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件. 将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？ 解：设每件商品降价 x 元（0 ≤ x ≤ 2），该商品每天的利润为 y 元. 商品每天的利润 y 与 x 的函数关系式是 y = ( 10-x-8 )( 100 + 100x ) 即 y = -100x2 + 100x + 200 如何求最大值。 y = -100x2 + 100x + 200 （0 ≤ x ≤ 2） 配方得， 当 x = 时，函数取得最大值，最大值 y = 225. 所以将这种商品的售价降低 0.5 元时，能使销售利润最大. 用长为 6 m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 解：设矩形窗框的宽为 x m，则高为 m. 这里应有 x > 0，且 > 0，故 0 < x < 2. 矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是 如何求最大值。 配方得， 当 x = 1，函数取得最大值，最大值 y = 1.5. x = 1，满足 0 < x < 2，这时 = 1.5. 因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2. 一般地，当 a > 0 (a < 0) 时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x = 时，二次函数有最小（大）值 。 y = ax2 + bx + c 思考归纳求二次函数 最值问题的步骤: （1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； y = ax2 + bx + c （2）研究自变量的取值范围; （3）研究所得的函数; （4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值; （5）解决提出的实际问题. 试 一 试 （1）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为 60 m，怎样围才能使车棚的面积最大？ 解：设矩形车棚的宽为 x m，则长为60-2x m. x x 60-2x 这里应有 x > 0，且60-2x > 0，故 0<x<30. 矩形车棚面积 y 与 x 之间的函数关系式是 y = x ·( 60-2x ) y = x ·( 60-2x ) x x 60-2x ( 0 < x < 30 ) 配方得， y = -2 (x - 15 )2 + 450 当 x = 15，函数取得最大值，最大值 y = 450. x = 15，满足 0 < x < 30， 因此，围成矩形车棚的宽为 15 m，长为 30 m 时，它的面积最大，最大面积是 450 m2. （2）在（1）中,如果可利用的墙壁长为 25 m，怎样围才能使车棚的面积最大？ x x 60-2x y = x ·( 60-2x ) 解：设矩形车棚的宽为 x m，则长为60-2x m. 这里应有 x > 0，且60-2x > 0，且 60-2x ≤ 25，故 17.5 ≤ x < 30. = -2 (x - 15 )2 + 450 当 x = 17.5，函数取得最大值，最大值 y = 437.5 . 因此，围成矩形车棚的宽为 17.5 m，长为 25 m 时，它的面积最大，最大面积是 437.5 m2. 练 习 1.求下列函数的最大值或最小值： 【选自教材P20 练习 第1题】 解： ， 当 时，函数 y 取最小值为 ， 无最大值. 解：y = 1-2x - x2 = -(x + 1)2 + 2， 当x = -1 时，函数 y 取最大值为 2 ， 无最小值. 解： ， 当 时，函数 y 取最小值为 ， 无最大值. 解：y = 100 - 5x2 的最大值为 100，无最小值. 解：y = -6x2 +12x = -6(x - 1)2 + 6 当x = 1 时，函数 y 取得最大值为6， 无最小值. 解： ， 当 时，函数 y 取最小值为 ， 无最大值. 2.有一根长为 40 cm 的铁丝,把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、 宽各是多少时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【选自教材P20 练习 第2题】 解：设长为 x cm，则宽为 cm. 所以矩形的面积 S = x· = -x2 + 20x = -(x-10)2 + 100. 当 x = 10 时，S 最大为 100 cm2. 答：当长、宽都是 10 cm，即为正方形时，弯成的矩形框的面积最大，最大面积是 100 cm2. 【选自教材P20 练习 第3题】 3.已知两个正数的和是 60,它们的积最大是多少?（提示:设其中 的一个正数为 x，将它们的积表示为 x 的函数) 解：设其中一个正数为 x，则另一个正数为 60-x. 所以它们的积 y = x(60-x) = -x2 + 60x = -(x-30)2 + 900. 当 x = 30 时，它们的积最大，最大积为 900. 课堂小结 求二次函数 最值问题的步骤: （1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； y = ax2 + bx + c （2）研究自变量的取值范围; （3）研究所得的函数; （4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值; （5）解决提出的实际问题. 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 $$