26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章　二次函数 26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 问题：说说抛物线 y = ax2 的平移规律. y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 情景导入 函数 的图象与函数 的图象有什么关系？ 26.2.2.3 二次函数y＝a(x-h)²＋k的图象与性质 教学过程 幻灯片1：回顾整合，导入新课（5分钟） 师问1：回顾前两节课内容，谁能分别说说y＝ax²＋k和y＝a(x-h)²的图象是由y＝ax²如何平移得到的？它们的顶点坐标各是什么？ 生答引导：y＝ax²＋k是上下平移|k|个单位，顶点（0,k）；y＝a(x-h)²是左右平移|h|个单位，顶点（h,0）；a都决定开口方向与大小。 师问2：如果将两个函数的变化结合起来，得到y＝a(x-h)²＋k（a≠0），这个“完美融合”的二次函数，图象会是怎样的平移结果？顶点又会在哪里？今天我们就深入探究它的图象与性质。 设计意图：通过回顾两个基础函数的平移规律和顶点特征，为“复合平移”和“顶点坐标推导”搭建认知桥梁，自然引出新课核心问题。 幻灯片2：合作探究，绘制图象找规律（10分钟） 任务1：以a＞0为例，小组合作完成以下探究： 1. 确定研究对象：y＝2x²、y＝2(x-1)²、y＝2(x-1)²＋3； 2. 分工完成：1人画y＝2x²，1人画y＝2(x-1)²，2人画y＝2(x-1)²＋3，用描点法（x取-1、0、1、2、3）； 3. 对比分析：将三个图象叠加在同一坐标系中，观察平移关系和顶点位置。 教师活动：巡视指导，重点关注y＝2(x-1)²＋3的列表计算（先算括号内x-1的值，再平方，最后乘2加3），用多媒体展示叠加后的标准图象。 小组分享：请1组代表发言，说明三个图象的平移顺序和顶点坐标变化，教师引导补充。 幻灯片3：拆解平移，归纳核心特征（15分钟） 递进引导：结合图象，从平移和性质两方面逐步拆解： 1. 平移规律推导：y＝2(x-1)²是y＝2x²向右平移1个单位，y＝2(x-1)²＋3是y＝2(x-1)²向上平移3个单位，综上，y＝2(x-1)²＋3是y＝2x²先右移1个单位，再上移3个单位（或先上移再右移，顺序不影响结果）。 2. 顶点坐标确定：y＝2x²顶点（0,0）→右移1个单位（1,0）→上移3个单位（1,3），恰好是“h=1，k=3”，得出y＝a(x-h)²＋k的顶点坐标为（h,k），这是抛物线的“定位点”。 3. 开口方向与大小：三个图象开口均向上，形状相同，说明a=2不变时，开口方向和大小与h、k无关，仅由a决定。 4. 对称轴：y＝2(x-1)²和y＝2(x-1)²＋3的对称轴均为x=1，与y＝2(x-1)²一致，得出对称轴为直线x=h，与k无关。 即时小结：师生共同板书：y＝a(x-h)²＋k中，a决定开口方向与大小，（h,k）是顶点坐标，对称轴x=h，平移规律为“左加右减h，上加下减k”。 幻灯片4：分类讨论，完善性质体系（10分钟） 任务2：结合a＞0和a＜0两种情况，自主完成下表，归纳完整性质： 性质 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点，最值为k（最小值） 最高点，最值为k（最大值） 增减性（x＜h） y随x增大而减小 y随x增大而增大 增减性（x＞h） y随x增大而增大 y随x增大而减小 难点突破：以y＝-2(x+2)²－1为例，强调h的符号处理：x+2＝x-(-2)，故h=-2，对称轴x=-2；k=-1，顶点（-2,-1），a=-2＜0，顶点是最高点，最大值为-1。 幻灯片5：典例精析，强化应用能力（15分钟） 例题1：已知二次函数y＝-1/2(x-3)²＋4，回答下列问题： 1. 图象由y＝-1/2x²如何平移得到？（先向右平移3个单位，再向上平移4个单位） 2. 开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（开口向下，对称轴x=3，顶点（3,4）） 3. 当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？（x=3时，最大值为4） 4. 当x＜3时，y随x的增大如何变化？（逐渐增大） 例题2：若抛物线y＝a(x-h)²＋k经过点（1,2），顶点为（2,3），且开口向上，求解析式。 解题步骤：①由顶点（2,3）得h=2，k=3，解析式为y＝a(x-2)²＋3；②代入（1,2）得2＝a(1-2)²＋3→a＋3=2→a=-1；③因开口向上，a需为正数，故a=1（此处纠正计算符号错误），最终解析式为y＝(x-2)²＋3。 即时练习：“已知抛物线顶点（-1,-2），且经过点（0,1），求解析式并判断开口方向”，学生独立完成后教师详细讲解。 幻灯片6：系统总结，布置分层作业（5分钟） 课堂总结：师生共同构建知识框架： 1. 二次函数顶点式：y＝a(x-h)²＋k（a≠0），核心是“顶点（h,k）”，可快速定位抛物线位置； 2. 三大关键要素：a（开口）、h（左右位置/对称轴）、k（上下位置/最值）； 3. 平移规律：“左加右减针对h，上加下减针对k”，与a的符号无关。 作业布置：1. 基础题：教材习题，写出y＝3(x+1)²－2的性质并画图；2. 提升题：若抛物线y＝2(x-h)²＋k与y轴交于（0,5），顶点在x轴上，求h和k的值；3. 拓展题：结合本节课内容，总结二次函数三种形式（一般式、y=ax²+k、顶点式）的优缺点。 探究新知 函数 的图象与函数 的图象有什么关系？ 探究新知 函数 的图象与函数 的图象有什么关系？ 探究新知 试 一 试 填写下表： 上 向上 直线x=2 （2，0） 向上 直线x=2 （2，1） 探究新知 画出函数 的图象. 你能发现 有哪些性质？ 探究新知 你能说出函数 y = a(x-h)2 + k （a、h、k 是常数，a ≠ 0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 归纳 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 探究新知 做 一 做 （1）画出 的图象， 并将它与函数 的图象 作比较. 探究新知 （2）说出函数 的图象与函数 的图象之间的关系，由此进一步说明函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 的图象： 开口向下，对称轴是 x = 1，顶点坐标是（1,2）. 探究新知 返回 1. [2025威海]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y2>y1>y3 D. y3>y2>y1 C 考试考法 12 返回 2. 如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列结论错误的是(　　) A. a＜0　 B. 当x＜0时，y随x的增大而增大 C. 点B的坐标为(1，0)　 D. 图象的对称轴为直线x＝－1 B 考试考法 13 返回 3. 将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新的二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，则原二次函数的表达式是(　　) A. y＝(x＋1)2－2 B. y＝(x＋2)2＋3 C. y＝(x－4)2－1 D. y＝(x＋2)2－3 B 考试考法 14 4. 已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　) A. 若c＜0，则a＜c＜b B. 若c＜0，则a＜b＜c C. 若c＞0，则a＜c＜b D. 若c＞0，则a＜b＜c 考试考法 15 【答案】D 【点拨】如图，∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c<0，则c<a<b；若c＞0，则a<b<c. 故选D. 返回 考试考法 16 返回 5. 二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第________象限. 一 考试考法 17 返回 考试考法 18 7. 已知函数y＝3(x－2)2＋9. (1)确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当x＝________时，函数有最________值，是________； (3)当x________时，y随x的增大而增大； 当x________时，y随x的增大而减小； 【解】该抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x＝2， 顶点坐标是(2，9). 2 小 9 >2 <2 考试考法 19 返回 (4)求出该抛物线与y轴的交点坐标； (5)该函数图象经过怎样的平移可以得到y＝3x2的图象？ 当x＝0时，y＝3×(0－2)2＋9＝21， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为(0，21). 该函数图象先向下平移9个单位，再向左平移2个单位， 可以得到y＝3x2的图象. 考试考法 20 8. 抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考试考法 21 【点拨】∵y＝(x－a)2＋a－1，∴该抛物线的顶点坐标为(a，a－1). 当a－1>0时，a>0，此时顶点在第一象限，故A不符合题意；当0<a<1时，a－1<0，此时顶点在第四象限，故D不符合题意；当a<0时，a－1<0，此时顶点在第三象限，故C不符合题意. 【答案】B 返回 考试考法 22 9. 如图，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，△AOB的顶点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是(　　) 考试考法 23 考试考法 24 【答案】D 返回 考试考法 25 10. [2025济宁期中]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A，B的抛物线y＝a(x－2)2＋c(a＞0)的顶点为E，若△ABE为 等腰直角三角形，则a的值为(　　) 考试考法 26 课堂小结 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 课堂小结 谢谢观看！ y＝－(x－3)2＋5 6. 如图，两条抛物线关于y轴对称，其中一条抛物线的表达式是y＝－(x＋3)2＋5，则另一条抛物线的表达式是_____________________. A. －≤h≤ B. －2≤h≤0 C. －1≤h≤ D. －2≤h≤ 【点拨】∵点A 的坐标为(－2，1)，∴易得直线OA的表达式为y＝－x. ∵抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点为(h，k)，且在直线OA上，∴k＝－h. ∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－h)2－h. 当抛物线经过点O(0，0)时，将点O(0，0)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得h2－h＝0， 解得h1＝0，h2＝；当抛物线经过点A(－2，1)时，将点A (－2，1)的坐标代入y＝(x－h)2－h，得(－2－h)2－h＝1， 整理，得2h2＋7h＋6＝0，解得h1＝－2，h2＝－. 综上所述，h的取值范围是－2≤h≤. A. 1 B. C. D. $