精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期12月月考高二年级试题 数 学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 2. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 3. 2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有10名教师报名成为志愿者，其中6名男教师和4名女教师，现从中选取3人进行普查工作，若男､女教师至少各有1人，则不同选法的种数为（ ） A. 6 B. 18 C. 27 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】分两类男教师1人，女教师2人和男教师2人，女教师1人，根据分类加法计数原理，求解即可 【详解】根据题意，男､女教师至少各有1人，不同的选法可分两类： 第一类，男教师1人，女教师2人，共有种不同的选法； 第二类，男教师2人，女教师1人，共有种不同的选法. 根据分类加法计数原理，不同的选法共有（种）. 故选：D. 4. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 5. 为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（ ）种． A. 66 B. 72 C. 85 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况. 【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法， 若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法， 综上可得不同的调研安排方案有种. 故选：B 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积. 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 7. 满足不等式的的值可以为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，以及余弦定理，确定，再根据椭圆方程，即可求解. 【详解】由及余弦定理，得， 整理得， 即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（     ） A. 如果个位数是0，则前3位有种排列 B. 如果个位是2或4，则前3位有种排列 C. 符合题意的四位偶数共有156种 D. 符合题意的四位偶数共有300种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：直接排前三位即可；对于B：先排首位，再排中间两位；对于CD：结合选项AB分析求解即可. 【详解】对于选项A：若末位是0时，前三位从1至5中任选3个排至前三位即可， 所以有种排列，故A正确； 对于选项B：若末位是2或4时，则首位不能为0，有种排放， 中间两位从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排放， 所以前3位有种排列，故B正确； 对于选项CD：若个位数是0，由选项A可知有种排法； 若个位是2或4，由选项B可知有种排法； 所以符合题意的四位偶数共有种，故C正确，D错误； 故选：ABC. 10. 已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 到直线l的距离为1的点P有且只有2个 D. 从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径. 对于A：利用几何法判断直线l与圆C相离；对于B：利用几何法求出的最小值；对于C：利用几何法判断出圆上有2个点到直线的距离为1；对于D：先判断出要使切线长最小，只需最小，即可求解. 【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径. 对于A：因为，所以直线l与圆C相离.故A错误； 对于B：由圆的几何性质可知：（此时，P在之间）. 对于C：设m：到直线l：的距离为1. 则，所以. 当时，直线m1：，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则.此时到直线m1与圆C相离，没有交点； 当时，直线m2：，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则.此时到直线m1与圆C相交，有2个交点，即圆上有2个点到直线的距离为1.故C正确； 对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则. 所以切线长. 要使切线长最小，只需最小，即时，. 所以切线长的最小值为1.故D错误. 故选：BC 11. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（ ） A. B. C. 是直角三角形 D. 是个定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 【答案】5或7. 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 13. 个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分两步，先从个人里选1人恰好摸到自己写的卡片，然后对于剩余的人，每个人都不选自己的卡片，求出选法，再利用分步乘法原理求解即可 【详解】根据题意，分步： 第一步，先从个人里选1人恰好摸到自己写的卡片，有种选法， 第二步，对于剩余的人，因为每个人都不能选自己写的卡片，所以第一个人有种选法，卡片被选走的那个人也有种选法，剩下的人选法唯一， 所以不同的选法有种. 故答案为：45 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求. 【详解】由题意知圆故半径为1， 设则当且仅当即时，等号成立， 即当时，取得最小值，且 所以又 所以 故答案为：. 四、解答题 15. 已知圆C经过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点在圆C上，求的最大值与最小值； （3）过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． （3）或． 【解析】 【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解； （2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解； （3）分直线的斜率存在与不存在进行求解． 【小问1详解】 由已知可设圆心为， 则，即， 解得，∴，， ∴圆C的方程为． 【小问2详解】 表示原点与圆C上的点间的距离， 而原点O在圆C外，，圆C的半径， ∴的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 当l垂直于x轴时，l即为y轴，将代入圆C的方程， 得， ∴，， 此时截得的弦长为，满足条件： 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx， 圆心C到直线l的距离， 由点到直线的距离公式得，解得． ∴直线l的方程为x＝0或． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，且四边形是矩形， 所以两两垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，因为，且. 所以． 因为， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系得到，借助数量积公式计算即可; （2）利用向量法求出平面与平面的法向量，求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得． 设是平面的一个法向量， 则， 令，得，所以． 因为平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为． 因为， 结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为． 17. 如图，从左到右有5个空格． （1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） （2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） （3）若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 【答案】（1）96 （2）48 （3）180 【解析】 【分析】（1）先将排好，再排其他数字即可； （2）先涂第一个格子，再涂第二个格子，依次进行，求出每步的方法种数，即可得解； （3）法一：从5家企业中选一家，再从3位校长中选2位，再从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长，进而可得出答案. 法二：先将五家企业分为3份，再将这3份分给3位校长即可. 【小问1详解】 分2步：①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列安排在其他四个格子中有种情况， 则一共有种不同的填法； 【小问2详解】 根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况， 第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况， 同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况， 则五个格子共有种不同的涂法； 【小问3详解】 法一：根据题意，有一家企业与2位校长谈，其余4家企业只与1位校长谈， 第1步：从5家企业中选一家， 第2步：从3位校长中选2位， 第3步：从剩下4家企业中选2家安排另外一位校长， 第4步：在第2步选中的两位校长，每位还要安排一家企业， 因此有种． 法二：五家企业记为A，B，C，D，E，把这五家企业分为3份， 如，，， 含有E的这一份要从A，B，C，D取一家组成2家，如取A得， 前面分三份会出现，因此有， 然后再分给3位校长， 因此总排法有种． 【点睛】方法点睛：求解涂色（种植）问题一般直接利用两个计算原理求解： （1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； （2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析； （3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 18. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由抛物线过点，且， 得 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点， 设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 19. 已知双曲线E：的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线E的方程； （2）若平面有一定点， ①双曲线E上是否存在两点M，N，使？若存在，求直线的斜率；若不存在，说明理由； ②过点P的直线交双曲线E于A，B两点，设A，B的中点为Q，过点Q分别作双曲线E渐近线的平行线，交双曲线E于C，D两点，证明：. 【答案】（1） （2） ①不存在.由，知为的中点. 令，，则，有. 又，有，则. 这时直线MN的方程为：，即. 由，得无解，故不存在. ②令，由①知得. 不妨设直线与平行，与平行. ，有① ，有② ①②得， 即③ 则在③式所表示的曲线上.又C，D在上， 则是直线的方程，其斜率. 故成立. 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程可得，利用共焦点可得，求解可得双曲线方程这 （2）①令，，利用点差法可得，进而检验可知不存在这样的直线；②令，由①可得，不妨设直线与平行，与平行，可求得在曲线上，可得是直线的方程，可得结论. 【小问1详解】 由题意，得的渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 又因为，所以，则， 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期12月月考高二年级试题 数 学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的 1. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ） A. B. 8 C. D. 2. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有10名教师报名成为志愿者，其中6名男教师和4名女教师，现从中选取3人进行普查工作，若男､女教师至少各有1人，则不同选法的种数为（ ） A. 6 B. 18 C. 27 D. 96 4. 已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ） A. 5 B. 13 C. 5或9 D. 5或6 5. 为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（ ）种． A. 66 B. 72 C. 85 D. 96 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 满足不等式的的值可以为（    ） A. B. C. D. 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. C. D. 3 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分. 9. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（     ） A. 如果个位数是0，则前3位有种排列 B. 如果个位是2或4，则前3位有种排列 C. 符合题意的四位偶数共有156种 D. 符合题意的四位偶数共有300种 10. 已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 到直线l的距离为1的点P有且只有2个 D. 从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2 11. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（ ） A. B. C. 是直角三角形 D. 是个定值 三、填空题（每题5分） 12. 已知椭圆的焦距为2，则______． 13. 个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________. 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知圆C经过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点在圆C上，求的最大值与最小值； （3）过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点分别是线段上的点，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，从左到右有5个空格． （1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法?（用数字作答） （2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法?（用数字作答） （3）若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种（用数字作答）． 18. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 19. 已知双曲线E：的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线E的方程； （2）若平面有一定点， ①双曲线E上是否存在两点M，N，使？若存在，求直线的斜率；若不存在，说明理由； ②过点P的直线交双曲线E于A，B两点，设A，B的中点为Q，过点Q分别作双曲线E渐近线的平行线，交双曲线E于C，D两点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $