26.2.2.2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象和性质，课堂导入通过复习\(y=ax^2 + c\)的平移规律及性质，以“\(y=\frac{1}{2}(x-2)^2\)是否由\(y=\frac{1}{2}x^2\)平移得到”设问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以数学眼光中的几何直观为基础，通过列表描点画图探究函数图象平移规律，结合数学思维中的推理意识归纳性质，用表格系统呈现开口方向、对称轴等关键内容，体现数学语言的简洁性。实例丰富如平移方向判断、性质应用习题，能帮助学生发展探究能力，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】 第26章　二次函数 26.2.2.2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 二次函数 y = ax2 +c 的图象和性质: a的符号 a>0 a<0 图象 c>0 c<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，c） （0，c） x=0时，y最小值=c x=0时，y最大值=c 情景导入 函数 y = ax2 + c 的图象，可以由函数 y = ax2 的图象上下平移所得，那么函数 的图象，是否也可以由函数 平移而得呢？ 26.2.2.2 二次函数y＝a(x-h)²的图象与性质 教学过程 幻灯片1：温故知新，引发思考（5分钟） 师问1：上节课我们学习了y＝ax²＋k，它的图象是由y＝ax²如何变换得到的？核心性质中，a和k分别决定什么？ 生答引导：上下平移|k|个单位；a决定开口方向与大小，k决定顶点纵坐标（上下位置），对称轴始终是y轴。 师问2：如果将y＝ax²中的x替换为(x-h)，得到新函数y＝a(x-h)²（a≠0），这里的“h”会让函数图象和性质发生怎样的变化？是上下平移还是左右平移？今天我们就通过动手操作揭开谜底。 设计意图：关联上节课“k的作用”，以“h的影响”制造认知冲突，既巩固旧知又明确新课探究方向，激发学生求知欲。 幻灯片2：动手描点，绘制特殊函数图象（10分钟） 任务1：以a＞0为例，用描点法画y＝2x²、y＝2(x-1)²、y＝2(x+1)²的图象，具体步骤： 1. 列表：选取x值时，围绕“使括号内为0的x值”（即x=1、x=-1）选取，如x＝-2、-1、0、1、2、3，计算对应y值并填表； 2. 描点：在坐标系中精准标出各点，注意区分三个函数的点（可用不同颜色笔标记）； 3. 连线：用平滑曲线连接，延伸曲线两端，体现抛物线的无限延伸性。 教师活动：重点指导y＝2(x+1)²的列表计算（提示x+1＝x-(-1)，方便后续规律总结），巡视纠正描点偏差，用多媒体展示标准图象。 小组讨论：对比三个图象，从形状、开口方向、对称轴、顶点位置四个方面找联系与区别，3分钟后分享成果。 幻灯片3：聚焦特征，归纳a＞0时的性质（15分钟） 递进提问：结合图象，师生共同拆解问题，突破核心难点： 1. 形状与开口方向：三个图象形状是否相同？开口方向是否变化？（形状相同，开口均向上，由a＝2＞0决定，a不变则开口方向和形状不变） 2. 对称轴探究：y＝2x²的对称轴是y轴（x=0），y＝2(x-1)²的对称轴在哪里？（观察图象，顶点在（1,0），对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线x=1）；y＝2(x+1)²的对称轴呢？（顶点（-1,0），对称轴x=-1） 3. 顶点坐标：三个函数的顶点分别是（0,0）、（1,0）、（-1,0），对比函数解析式与顶点横坐标，你发现了什么？（顶点横坐标是“使x-h=0的x值”，即h的值，顶点坐标为（h,0）） 4. 增减性：以y＝2(x-1)²为例，x＜1时y随x增大而减小，x＞1时y随x增大而增大，与y＝2x²相比，增减性的“分界点”发生了什么变化？（由x=0变为x=1，即对称轴位置） 5. 最值：a＞0，顶点为最低点，三个函数的最小值均为0，为何？（顶点纵坐标始终为0，h不影响最值大小，只影响顶点位置） 平移规律：引导学生总结：y＝2(x-1)²是y＝2x²向右平移1个单位，y＝2(x+1)²是y＝2x²向左平移1个单位，即h＞0向右平移|h|个单位，h＜0向左平移|h|个单位（简称“左加右减”）。 幻灯片4：类比验证，完善a＜0时的性质（10分钟） 任务2：自主探究a＜0的情况，以y＝-2x²、y＝-2(x-2)²、y＝-2(x+3)²为例，完成下列问题： 1. 开口方向：________（向下，由a＝-2＜0决定） 2. 对称轴分别是：________（x=0、x=2、x=-3） 3. 顶点坐标分别是：________（（0,0）、（2,0）、（-3,0）） 4. 最值：________（顶点为最高点，最大值均为0） 5. 平移规律：y＝-2(x-2)²是y＝-2x²________，y＝-2(x+3)²是y＝-2x²________（向右平移2个单位，向左平移3个单位） 成果展示：邀请小组代表发言，教师补充：a＜0时，增减性与a＞0相反（如y＝-2(x-2)²，x＜2时y随x增大而增大，x＞2时y随x增大而减小），但平移规律、对称轴与顶点坐标的规律和a＞0时完全一致。 幻灯片5：典例精析，强化应用（15分钟） 例题1：已知二次函数y＝3(x-4)²，回答下列问题： 1. 该函数图象由y＝3x²如何平移得到？（向右平移4个单位） 2. 开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（开口向上，对称轴x=4，顶点（4,0）） 3. 当x为何值时，y取得最小值？最小值是多少？（x=4时，最小值为0） 4. 当x＜4时，y随x的增大如何变化？（逐渐减小） 例题2：若抛物线y＝a(x-h)²经过点（2,0）和（0,8），且开口向下，求该抛物线的解析式。 解题步骤：①由顶点坐标特征，过点（2,0）可知顶点为（2,0），故h=2，解析式为y＝a(x-2)²；②代入（0,8）得8＝a(0-2)²→4a=8→a=2；③因开口向下，a需为负数，故a=-2，最终解析式为y＝-2(x-2)²。 即时练习：“已知y＝-1/2(x+5)²，求图象平移方式、对称轴及x＞-5时y的增减性”，学生独立完成后同桌互查，教师点评共性问题。 幻灯片6：总结对比，布置作业（5分钟） 课堂小结：师生共同梳理，对比y＝ax²、y＝ax²＋k、y＝a(x-h)²的核心区别： 1. 平移方向：k决定上下平移，h决定左右平移（左加右减）； 2. 对称轴：y＝ax²和y＝ax²＋k为x=0，y＝a(x-h)²为x=h； 3. 顶点坐标：分别为（0,0）、（0,k）、（h,0），a均决定开口方向与大小。 作业布置：1. 教材习题：画出y＝2(x-3)²和y＝-1(x+2)²的图象，写出其性质；2. 思考：若函数为y＝a(x-h)²＋k，它的图象和性质会是怎样的？（为下节课铺垫） 探究新知 在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 和 的图象。 列表： 2 0 2 8 8 2 0 2 描点、连线，画出这两个函数的图象 . 探究新知 探 索 根据所画出的图象，说出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 向上 y 轴 （0,0） 向上 直线x=2 （2,0） 探究新知 概 括 函数 的图象可以看作是将函数 的图象向____平移____个单位得到的. 右 2 探究新知 你可以由函数 的性质，得到函数 的性质吗？ 当 x____时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x____时，函数值 y 随 x的增大而增大；当 x____时，函数取得最____值，y =_____. <2 >2 =2 小 0 探究新知 思考 在同一直角坐标系中，函数 的图象与函数 的图象有什么关系？试说出函数 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质. 探究新知 函数 的图象可以看作是将函数 的图象向____平移____个单位得到的. 左 2 函数 的开口向____， 对称轴是_________， 顶点坐标_______， 下 直线x = -2 （-2,0） 探究新知 讨论函数 的性质. 当 x < -2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x > -2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x = -2 时，函数取得最大值，y =0. 探究新知 二次函数y = a(x-h)2的图象和性质: 归纳 a的符号 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 x=h时，y最大值=0 （h,0） 探究新知 返回 1. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法： ①开口向上； ②顶点坐标为(0，－1)； ③对称轴为直线x＝1； ④与x轴的交点坐标为(1，0). 正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 考试考法 12 返回 2. 已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　) A. a＜2 B. a≥2 C. a≤2 D. a≤－2 C 考试考法 13 返回 3. 函数y＝x2－2x＋1的图象可以由函数y＝x2的图象(　　) A. 向上平移1个单位得到 B. 向下平移1个单位得到 C. 向左平移1个单位得到 D. 向右平移1个单位得到 D 考试考法 14 返回 A 考试考法 15 返回 考试考法 16 y1>y2 考试考法 17 返回 【点拨】当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，∴A(－1，0). ∵抛物线y＝－2x2平移后的顶点为A(－1，0)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2. ∵平移后的抛物线y＝－2(x＋1)2的对称轴为直线x＝－1，开口向下，∴当x＞－1时，y随x的增大而减小. ∵－ ＜x1＜x2，∴－1＜x1＜x2，∴y1＞y2. 考试考法 18 7. 把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2. 若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M. (1)求a，h的值； (2)求S△MAB的值. 考试考法 19 【解】(1)∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到 抛物线y＝－3(x－h)2， ∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2. (2)∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B， ∴点A(4，0)，B(0，－48). ∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0). ∴S△MAB＝ ×|4－(－2)|×|－48|＝144. 返回 考试考法 20 返回 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　) B 考试考法 21 9. 如图，在平面直角坐标系中，过点A与x轴平行的直线交抛物线 于点B，C，线段BC的长度为6，若抛物线y＝－2x2＋b与y轴交于点A，则b＝(　　) A. 1 B. 4. 5 C. 3 D. 6 考试考法 22 【点拨】根据题意得，点A的坐标为(0，b)，设点C的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)， 【答案】C 返回 考试考法 23 10. [2025温州月考]已知二次函数y＝a(x－m)2(a＞0)的图象经过点A(－1，p)，B(3，q)，且p＜q，则m的值不可能为(　　) A. 0 B. －2 C. －1 D. 2 考试考法 24 【点拨】∵y＝a(x－m)2(a>0)，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m. ∴当抛物线上的点与直线x＝m的距离越小，对应的y值就越小. ∵A(－1，p)，B(3，q)，且p<q，∴A点到直线x＝m的距离小于B点到直线x＝m的距离. ∴|m＋1|<|3－m|，解得m<1. 【答案】D 返回 考试考法 25 1≤m≤3 考试考法 26 课堂小结 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ y=ax2 y=a(x-h)2 h>0，向右平移 |h| 个单位 h<0，向左平移 |h| 个单位 a>0，开口向上 a<0，开口向下 对称轴是直线 x=h 顶点坐标（h，0） 课堂小结 谢谢观看！ 4. 若抛物线y＝2(x－1)2经过(m，n)和(m＋3，n)两点，则n的值为(　　) A. B. － C. 1 D. － y＝(x－2)2　 y＝(x＋3)2 5. (1)与抛物线y＝－x2的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(2，0)的抛物线的表达式是____________. (2)抛物线y＝x2上的各个点的横坐标都减3，则得到的新抛物线的表达式是______________. 6. 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合. 若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在平移后的抛物线上，且－＜x1＜x2，则y1和y2的大小关系是____________. y＝(x＋1)2 对于抛物线y＝(x＋1)2，当y＝b时，有(x＋1)2＝b，即x2＋2x＋1－3b＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝1－3b. ∵BC＝6，∴x1－x2＝6. ∴(x1－x2)2＝36. ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36. ∴4－4(1－3b)＝36，解得b＝3. 11. 已知函数y＝在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，则m的取值范围是____________. $