4.2.1等差数列的概念（第一课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式，通过类比函数研究中从一般到特殊的思路，结合天坛石板数、上衣尺码等现实实例引导学生观察数列规律，搭建从生活情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，如用大气温度数列抽象公差概念，通过累加法推导通项公式发展数学思维，结合一次函数分析单调性体现数学建模。课堂小结系统梳理概念、公式及研究方法，学生能增强应用意识，教师可借助实例提升教学效率。

4.2.1等差数列的概念（第一课时） 年 级：高二 学 科：数学（人教A版） 主讲人：李翥 学 校：北京市第五中学 国家中小学课程资源 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 检查预习 高中数学 课题导入 我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型. 类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手. 高中数学 请看下面几个问题中的数列： 测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为25.0，24.4，23.8，23.2，22.6. ③ 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81. ① 2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是，38，40，42，44，46，48. ② 高中数学 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 对于数列①，我们发现： 18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9， 高中数学 5 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 对于数列①，我们发现： 18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9， 换一种写法，就是： 18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9. 如果用{an}表示数列① ，则有： a2－a1＝9， a3－a2＝9，…， a9－a8＝9. 高中数学 6 9，18，27，36，45，54，63，72，81． ① 对于数列①，有这样的规律：从第二项起，每一 项与前一项的差都等于同一个常数. 38，40，42，44，46，48． ② 25，24，23，22，21． ③ 合作探究 高中数学 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列的定义: 合作探究 高中数学 8 (1) 5，10，15，20，25； 是，d＝5； (2) 9，7，5，3，1，－1； 是，d＝－2； (3) 3，3，3，3，3，3； 是，d＝0； (4) 0，1，0，1，0，1. 不是，1－0＝1，0－1=－1； 试一试：你能判断下列数列是否为等差数列吗？若是， 公差是多少？ 合作探究 高中数学 9 思考：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列，那么A应满足什么条件？ 由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以 2A＝a＋b，即 此时，我们把A叫做a和b的等差中项. a和b的等差中项是它们的算术平均数. 合作探究 高中数学 10 在日常生活中，人们常常用到等差数列. 例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）. 你能举出一些例子吗？ 高中数学 11 合作探究 高中数学 12 合作探究 高中数学 13 思考：还能用其他方法，推导等差数列的通项公式吗？ an－an－1＝d， an－1－an－2＝d， an－2－an－3＝d， …… a3－a2＝d， a2－a1＝d. 一共有 个等式，将它们进行累加，有 n－1 an－a1＝(n－1)d， 即an＝a1＋(n－1)d. (n∈N*) 合作探究 高中数学 14 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为： an＝a1＋(n－1)d.(n∈N* ) 合作探究 高中数学 15 试一试：你能写出这些等差数列的通项公式吗？ (1) 5，9，13，17，21； an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1； (2) 9，7，5，3，1，－1； an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11； (3) 6，6，6，6，6. an＝6＋(n－1)×0＝6. 合作探究 高中数学 16 高中数学 17 高中数学 18 思考：由一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数）得到的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？ 数列{an}是公差不为0的等差数列 ⇔ 数列的通项公式an是关于n的一次函数. 合作探究 高中数学 19 d＞0时，等差数列{an}单调递增; d＜0时，等差数列{an}单调递减; d＝0时，等差数列{an}为常数列. 思考：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？ 合作探究 高中数学 20 学以致用 高中数学 学以致用 高中数学 学以致用 高中数学 思考：还有其他方法求公差d吗？ 分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以数列中每一项与它前一项的差都等于公差d.由于已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d. 学以致用 高中数学 24 思考：能直接从通项公式看出公差d的值吗？ 分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d). 一次项系数即为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值. 学以致用 高中数学 25 高中数学 牛刀小试 高中数学 牛刀小试 高中数学 1 等差数列的概念 (1) 等差数列及等差中项的定义； (2) 等差数列的通项公式； 递推公式、归纳和累加法. (3) 通项公式的应用. 函数与方程. 2 研究方法 递推公式 应用 通项公式 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 函数与方程 的思想 课堂小结 高中数学 29 2. 完成对应的课时训练并预习下一课时内容. 1.课本第15页练习第2、4、5题； 布置作业 高中数学 高中数学 设一个等差数列 的首项为 ，公差为d. 根据等差数列的定义，可得 设一个等差数列 的首项为 ，公差为d. 根据等差数列的定义，可得 所以 于是 …… 归纳可得: 当 时，上式为 . 这就是说，上式当 时也成立. 因此，首项为 ，公差为d的等差数列 的通项公式为 由于 ，所以当 时，等差数列 的第n项 是一次函数 EMBED Equation.DSMT4 当 时的函数值，即 在平面直角坐标系中画出函数 的图象， 就得到一条斜率为d，截距为 的直线.在这条直线上描出点 就得到了 等差数列 的图象. 事实上， 公差 的等差数列 的图象是点 组成的集合，这些点均匀分布在直线 上. 的情形如图4.2-1所示. 反之，任给一次函数 （k，b为常数），则 …， ，…构成一个等差数列 ，其首项为 ，公差为k. 例1（1）已知等差数列 的通项公式为 ，求 的公差和首项； （2）求等差数列8，5，2，…的第20项. 分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由 即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项. 解：（1）当 时，由 的通项公式 ，可得 于是 例1（1）已知等差数列 的通项公式为 ，求 的公差和首项； （2）求等差数列8，5，2，…的第20项. 分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由 即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项. 把 代入通项公式 ，得 所以， 的公差为-2，首项为3. 例1（1）已知等差数列 的通项公式为 ，求 的公差和首项； （2）求等差数列8，5，2，…的第20项. （2）由已知条件，得 把 代入 ，得 把 代入上式，得 所以，这个数列的第20项是-49. 例2:-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方 程有正整数解. 解：由 ，得这个数列的通项公式为 令 解这个关于n的方程，得 所以，-401是这个数列的项，是第100项. $