第24章 圆【章末复习】课件 2025-2026学年沪科版数学九年级下册

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】 第24章 圆 章末复习 一、旋转的有关概念及性质 1. 在平面内，一个图形绕着一个定点（如点 O ），旋转一定的角度（如 θ），得到另一个图形的变换，叫做_____. 定点 O 叫做_________，θ 叫做_______. 旋转 旋转中心 旋转角 2. 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度 后，能够与原图形重合，这样的图形叫做_____________，这个定点就是_________. 旋转对称图形 旋转中心 第24章 圆 章末复习 教学过程 一、知识梳理，构建体系（10分钟） 师：本章我们系统学习了圆的相关知识，大家先回忆一下，圆的核心内容可以分为哪几大板块？（引导学生分组讨论，代表发言） 生1：包括圆的基本性质，比如圆心、半径、直径，还有弧、弦、圆心角的关系。 生2：还有点、直线、圆与圆的位置关系，以及切线的判定和性质。 生3：扇形面积和弧长的计算也很重要，是实际应用的重点。 师：大家总结得很全面。我们用思维导图把这些知识串联起来（出示知识体系图）：圆的定义是基础，延伸出基本要素和相关概念；由圆的对称性引出弧、弦、圆心角的关系定理；再到与圆相关的位置关系，最后是相关计算。今天我们就沿着这个体系，逐一突破重点和难点。 设计意图：通过学生自主梳理和教师引导，构建圆的知识网络，让学生明确知识间的逻辑关系，为后续复习奠定基础。 二、聚焦重点，深化理解（25分钟） 1. 圆的基本性质及应用 师：圆的基本性质中，“弧、弦、圆心角的关系”是核心，谁能说出这个定理的内容？ 生：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；反过来，相等的弦所对的圆心角和弧也相等。 师：非常准确。注意“同圆或等圆”这个前提不能少。我们来看例题：已知⊙O中，AB和CD是两条弦，∠AOB=∠COD=60°，AB=3cm，求CD的长度。（引导学生思考） 生：因为∠AOB=∠COD，且在同圆中，所以AB=CD，CD=3cm。 师：很好。另外，圆周角定理也是重点，圆周角与圆心角的关系是什么？（学生回答：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）那直径所对的圆周角有什么特点？（生：是直角） 即时练习：如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，OA=5cm，求BC的长度。（学生独立完成，教师点评：连接OC，利用圆周角与圆心角关系得∠AOC=60°，再用勾股定理求BC=5√3 cm） 2. 切线的判定与性质 师：切线的内容是本章的重中之重，大家回忆切线的判定定理和性质定理。 生1：判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 生2：性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 师：总结得很清晰。判定切线的关键是“连半径，证垂直”，而利用性质时通常是“连切点，得垂直”。我们看例题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，且∠DAC=∠BAC。求证：DC是⊙O的切线。 师：证明切线的第一步通常是什么？（生：连接OC）对，连接OC后，OC=OA，所以∠OAC=∠OCA，又因为∠DAC=∠BAC，所以∠DAC=∠OCA，从而OC∥AD，因为AD⊥DC，所以OC⊥DC，又OC是半径，所以DC是切线。大家要牢记这种“构造半径”的辅助线方法。 三、突破难点，化解疑惑（20分钟） 1. 圆与圆的位置关系判定 师：圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种，判断的依据是什么？（生：两圆的圆心距d与两圆半径R、r的数量关系） 师：我们用表格梳理一下（出示表格）： 位置关系 数量关系（d与R、r） 外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 |R-r|<d<R+r 内切 d=|R-r| 内含 d<|R-r| 例题：已知两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为7cm，判断两圆的位置关系。（生：因为5-3=2，5+3=8，7在2和8之间，所以相交） 2. 弧长与扇形面积计算 师：弧长和扇形面积的计算需要牢记公式，谁能说出这两个公式？（生：弧长l=nπR/180，扇形面积S=nπR²/360或S=1/2lR） 师：很好，要注意公式中n是圆心角的度数，R是圆的半径。例题：一个扇形的圆心角为120°，半径为6cm，求它的弧长和面积。（学生计算，教师板书：l=120×π×6/180=4π cm，S=120×π×6²/360=12π cm²） 易错点提醒：计算时要注意单位统一，若题目中给出直径，需先转化为半径；扇形面积有两个公式，要根据已知条件灵活选择。 四、综合应用，提升能力（25分钟） 1. 几何综合题：圆与三角形的结合 例1：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，且AE=6，BE=8，求DE的长度。 师：这道题综合了圆周角定理、勾股定理和相似三角形的知识。大家先分析已知条件，AB是直径，所以∠AEB是什么角？（生：直角）那AB的长度可以用勾股定理求出吗？（生：AB=√(6²+8²)=10 cm） 师：接下来，BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE，而∠CBE和∠CAE有什么关系？（生：同弧所对的圆周角相等，所以∠CBE=∠CAE）因此∠ABE=∠CAE，又因为∠AEB=∠AED，所以△AEB∽△DEA，利用相似比就能求出DE了。 （学生完成计算，教师点评：由相似得AE/DE=BE/AE，即6/DE=8/6，DE=4.5） 2. 实际应用题：圆的切线与生活 例2：如图，某工厂有一圆形工件，直径AB=10cm，现要在工件上钻一个小孔，使小孔中心C到AB的距离为3cm，且AC与小孔的切线CD垂直（D为切点），求切线CD的长度。 师：实际问题要先转化为几何图形。连接OC，因为CD是切线，所以OC⊥CD，又AC⊥CD，所以AC∥OC。过C作CE⊥AB于E，CE=3cm，OC=OA=5cm，先求OE的长度？（生：OE=√(OC²-CE²)=4 cm，所以AE=OA+OE=9 cm或AE=OA-OE=1 cm） 师：再用勾股定理求AC的长度，AC=√(AE²+CE²)=√(9²+3²)=3√10 cm或√(1²+3²)=√10 cm。因为AC∥OC，且CD⊥AC，OC⊥CD，所以四边形OACD是矩形，CD=OC=5 cm？不对，重新分析：因为AC⊥CD，OC⊥CD，所以AC∥OC，又OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，而AC∥OC，所以∠OAC=∠AOC，因此△OAC是等边三角形？（引导学生纠正思路，最终用勾股定理和切线性质求出CD=4 cm） 五、易错点警示，规避失误（10分钟） 师：结合大家平时的作业和刚才的练习，本章常见的易错点有这些，我们逐一分析： 1. 忽略“同圆或等圆”前提：应用弧、弦、圆心角关系时，若没有这个前提，结论不成立； 2. 切线判定辅助线错误：证明切线时，若已知直线与圆有公共点，应连接半径证垂直；若未知公共点，应作垂直证半径； 3. 圆与圆位置关系判断错误：混淆内切和外切的数量关系，忽略两圆半径大小关系； 4. 弧长与扇形面积公式记错：忘记公式中n是圆心角度数，或混淆扇形面积与三角形面积公式。 请大家对照这些易错点，检查自己刚才的练习，有问题及时提问。 六、课堂练习，巩固提升（15分钟） 1. 填空题：（1）已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P在⊙O______；（2）一条弧所对的圆心角为100°，则它所对的圆周角为______；（3）扇形半径为4cm，弧长为π cm，则扇形面积为______。（答案：内部，50°，2π cm²） 2. 解答题：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD，求证：CD是⊙O的切线。（提示：连接OD，证明△OCD≌△OCB，得∠ODC=∠OBC=90°） （学生独立完成，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解） 七、课堂小结，回顾收获（3分钟） 师：今天我们对圆的知识进行了系统复习，大家谈谈自己的收获。 生1：我理清了圆的知识体系，知道了各个知识点之间的联系。 生2：我掌握了切线判定和性质的应用方法，学会了构造辅助线。 生3：我明白了解决圆的综合题要结合三角形、相似等知识，学会了转化思想。 师：大家的收获都很实在。圆的知识在几何中占有重要地位，核心是掌握圆的基本性质，灵活运用切线、位置关系等知识，同时要注意数学思想的应用，比如转化思想、数形结合思想，这样才能轻松解决各类问题。 八、布置作业，拓展延伸（2分钟） 1. 完成本章章末测试题，查漏补缺； 2. 实践任务：观察生活中的圆形物体（如车轮、井盖），结合圆的性质分析其设计原理，撰写一篇简短的说明文字。 师：今天的课就上到这里，下课！ 探究新知 (1) 对应点到旋转中心的距离相等； (2) 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等， 都等于旋转角； (3) 旋转中心是唯一不动的点． 3. 旋转的性质 探究新知 1. 把一个图形绕定点 O 旋转 180°，得到一个能够与它重合的图形，这时两个图形关于点 O 的对称叫做_________，点 O 就是_________. 这两个图形中的对应点叫做关于中心的_______. 二、中心对称的有关概念及性质 中心对称 对称中心 对称点 2. 把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做____________，这个定点叫做它的________，互相重合的点叫做______. 中心对称图形 对称中心 对称点 探究新知 成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心_____. 3. 中心对称的性质 对称中心 平分 探究新知 三、圆的基本概念及性质 1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2. 有关概念： (1) 弦、直径 (圆中最长的弦) (2) 弧、优弧、劣弧、等弧 (3) 弦心距 ． O 探究新知 四、点与圆的位置关系 ●A ●B ●C 点与圆的位置关系 点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 ●O d r d﹥r d = r d﹤r 探究新知 五、圆的对称性及各相关元素之间的关系 1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的 对称轴. 圆有无数条对称轴. 2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一个角度 都能与自身重合，即圆具有旋转不变性. ． 探究新知 3. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等． 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等． 探究新知 ●O A B C D └ M ③ AM = BM 重视：模型“垂径定理直角三角形” 若 ① CD 是直径 ② CD⊥AB 可推得 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 六、垂径定理及推论 ④ = ⑤ = 探究新知 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. M ③ AM = BM 若 ① CD 是直径 ② CD⊥AB 可推得 ④ = ⑤ = ●O C D A B ● ┗ 探究新知 定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半. 七、圆周角和圆心角的关系 ∠BAC = ∠BOC 探究新知 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. ∵∠ACB、∠ADB、∠AEB 都是弧 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB =∠ADB =∠AEB． 探究新知 推论：直径所对的圆周角是直角； 90° 的圆周角所对的弦是圆的直径. ∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB = 90°． 探究新知 八、直线和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 直线名称 直线与圆的公共点个数 相离 相切 相交 ● l d r 0 切线 d﹤r 割线 2 d﹥r —— d = r 1 探究新知 九、切线的判定与性质 1. 切线的判定一般有三种方法： a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点 b. 距离法： d = r c. 判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线 是圆的切线. 2. 切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径. 探究新知 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长. 3. 切线长及切线长定理 探究新知 十、三角形的内切圆及内心 1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 4. 三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点. ┐ A C I ┐ ┐ D E F 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 重要结论 B 探究新知 十一、圆内接正多边形 1. 概念 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距d 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 M 探究新知 ①正多边形的内角和 = ②中心角 = 圆内接正多边形的有 关概念及性质 2. 计算公式 探究新知 十二、 圆中的计算问题 1. 弧长公式 半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =______. 2. 扇形面积公式 半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = __________. 或 3. 弓形面积公式 O O 弓形面积 = 扇形面积±三角形面积 探究新知 (3) 圆锥的侧面积为　 . 【注意】圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长． 4. 圆锥的侧面积 (1) 圆锥的侧面展开图是一个　 　. (2) 如果圆锥母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　. 扇形 l 探究新知 考点一 旋转变换 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF． （1）补充完成图形； （2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°． 解析：第（2）问由旋转的性质得∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到 △BDC 与 △EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证． 探究新知 F 解：（1）补全图形，如图所示． （2）由旋转知 CD = CF，∠DCF = 90°， ∴∠DCE +∠ECF = 90°. ∵∠ACB = 90°，∴∠DCE +∠BCD = 90°. ∴∠ECF =∠BCD. ∵ EF∥DC，∴∠EFC +∠DCF = 180°. ∴∠EFC = 90°. ∴△BDC≌△EFC（SAS）. ∴∠BDC =∠EFC = 90°. 探究新知 考点二 弧、圆心角、圆周角的性质 例2 如图，BC 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ） A. 72° B. 54° C. 45° D. 36° A B C D 解析：根据圆周角定理的推论可知， ∠B =∠D = 36°，AD⊥BC，所以∠BAD = 90° -∠B = 54°. B O 探究新知 1. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 . 135° C D B A P O 针对训练 探究新知 2. 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ⊙O 上一点，∠CDB = 20°，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 °. O C A B E D 50 探究新知 例3 如图，⊙O 的直径 AE = 4 cm，∠B = 30°，则 AC = cm. A B C E O 2 解析 连接 CE，则∠E =∠B = 30°，∠ACE = 90°，所以 AC = AE = 2 cm. 方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决. 探究新知 3.（多解题）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 BC = 2，F 是弦 BC 的中点，∠ABC = 60°. 若动点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动，设运动时间为 t (s) (0＜t＜3)，连接 EF，当 t = s 时， △BEF 是直角三角形. A B C E O F 针对训练 探究新知 考点三 垂径定理及其应用 例4 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = mm. 8 mm A B 解析 连接 OA，过点 O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm. 方法归纳 在圆中涉及弓形求线段长问题时，常构造直角三角形来解决. 8 C D O 探究新知 A B C D P O 针对训练 4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 . 探究新知 考点四 点或直线与圆的位置关系 例5 如图，已知∠MON = 30°，P 是 ON 上的一点，OP = 5 cm，若以 P 点为圆心，r 为半径画圆，使射线 OM 与⊙P 只有一个公共点，求 r 的值或取值范围. 解：当射线 OM 与⊙P 相切时，射线 OM 与 ⊙P 只有一个公共点. 过点 P 作 PA⊥OM 于 A，如图所示. 在 Rt△AOP 中，r = PA = OP·sin∠POA = 2.5 (cm). 探究新知 当射线 OM 与⊙P 相交且点 O 在 ⊙P 内时，射线 OM 与⊙P 只有一个公共点. 如图 2 所示. ∵ 射线 OM 与 ⊙P 相交，∴ r＞2.5 cm. ···① 又∵ 点 O 在⊙P 内，∴ r＞OP，即 r＞5 cm. ···② 由①②可得 r＞5 cm. 综上所述，当射线 OM 与⊙P 只有 一个公共点时， r = 2.5 cm 或 r＞5 cm. 图 2 探究新知 此类题型中，常常容易混淆“直线与圆只有一个公共点”“线段与圆只有一个公共点”“射线与圆只有一个公共点”的说法. 实际上，当直线与圆只有一个公共点时，直线与圆一定相切；而线段或射线与圆只有一个公共点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能相交. 方法总结 探究新知 5. 如图，直线 l：y = x + 1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M (m，0) 是 x 轴上一动点，以点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作 ⊙M，当 ⊙M 与直线 l 相切时，m 的值为_______． 针对训练 探究新知 例6 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点 D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC. 问：BC 与 ⊙O 是否相切？ 考点五 切线的性质与判定及切线长定理 解：BC 与⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，如图. ∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又∵ DE 平分 CB，∴ DE＝ BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC 与⊙O 相切. 探究新知 6. 已知：如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于 D，交 PB 于 E. (1) 若∠P＝70°，求∠DOE 的度数； 针对训练 解：连接 OA，OB，OC． ∵ ⊙O 分别切 PA，PB，DE 于点 A，B，C， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE． ∴ OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC. 探究新知 ∴∠DOE＝ ∠AOB. ∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°. (2) 若 PA＝4 cm，求△PDE 的周长． 解：由 (1) 知，AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE 的周长为 PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm). 探究新知 考点六 圆内接正多边形 例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积. 【解析】连接 AC，则 AC 是圆的直径. 易得 AE∥CF，若将 CF 平移到 AE 的延长线上，则点 C 恰好到达圆周上，则可得到圆的一个内接直角三角形，利用勾股定理即可求得 AC 的长，进而求得阴影部分的面积. 探究新知 解：延长 AE 交圆于点 C'，连接 AC，CC'，如图所示. ∵ 四边形 ABCD 是圆的内接正方形，∴ AC 为圆的直径. ∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8. ∴ ∴ 正方形 ABCD 的边长 AB = AC·sin45° = ，外接圆的半径为 ． ∴∠C′ = 90°，故四边形 EFCC' 是矩形. C' 探究新知 当图中出现圆的直径时，常常作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数创造条件. 方法总结 探究新知 7. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形． (1) 求正方形 EFGH 的面积； 解：(1) ∵ 正六边形的边长与其半径相等， ∴ EF = OF = 5. ∵ 四边形 EFGH 是正方形， ∴ FG = EF = 5. ∴ 正方形 EFGH 的面积是 25. 针对训练 探究新知 (2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数． 解：∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE = 60°. ∴正方形的内角是 90°. ∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60° + 90° = 150°. 由 (1) 得 OF = FG， ∴∠OGF = （180° -∠OFG） = ×(180° - 150°) = 15°. 探究新知 考点七 弧长和扇形面积 例8（1）一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm； （2）一个底面直径为 10 cm，母线长为 15 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度. 40 120 探究新知 例9 如图是一纸杯，它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形 AOB.经测量，纸杯上开口圆的直径为 6 cm，下底面直径为 4 cm，母线长 EF = 8 cm． （1）求扇形 AOB 的圆心角； 解:（1）由题意知 AB = 6π，CD = 4π，设∠AOB = n°，AO = R cm，则CO = (R - 8) cm． 由弧长公式变形得： 探究新知 即 解得 R = 24. 即扇形的圆心角∠AOB = 45°. （2）求这个纸杯的表面积（计算结果保留 π）. 解：由（1）知 OA = 24 cm，则 CO = 24 - 8 = 16（cm）. 探究新知 ∴ S扇形COD = (cm2)， S扇形AOB = ∴ S纸杯侧 = S扇形AOB - S扇形COD = 72π - 32π = 40π (cm2)， S纸杯底 = 4π. ∴ S纸杯表 = 40π + 4π = 44π (cm2). 答：这个纸杯的表面积为 44π cm2. 探究新知 (1) 要熟记弧长公式，即 ；(2) 要熟记圆锥及其侧面展开图存在的对应数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径. 方法归纳 探究新知 8.（1）一条弧所对的圆心角为 120°，弧长等于半径为 4 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 . （2）一个底面半径为 4 cm，母线长为 12 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度. （3）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______. 36 cm 120 针对训练 探究新知 考点八 有关圆的综合性题目 例10 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别相交于 A，B 两点，连接 AP 并延长，分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E；连接 DC 并延长，交 y 轴于点 F．若点 F (0，1)，点 D (6，-1). （1）求证：CD = CF； 证明：如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，则∠CHD =∠COF = 90°. 由 F (0，1)，D (6，-1)，得 DH = OF = 1. H 探究新知 又∵∠FCO =∠DCH，∴△FOC≌△DHC. ∴ CD = CF. （2）判断 ⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； 解：⊙P 与 x 轴相切. 理由如下： 连接 PC，如图所示. ∵ AP = PD，CD = CF，∴ CP∥AF. ∴∠PCE =∠AOC = 90°，即 PC⊥x 轴. ∴⊙P 与 x 轴相切. H 探究新知 解：由（2）知 CP 是 △ADF 的中位线. ∴ AF = 2CP. ∵ AD = 2CP，∴ AD = AF. 连接 BD，如图所示. ∵ AD 为 ⊙P 的直径，∴∠ABD = 90°. ∴ BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1. 设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF = AD－(OB + OF）= x－2. （3）求直线 AD 的函数表达式. H 探究新知 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 = AB2 + BD2， 即 x2 = (x－2)2 + 62，解得 x = 10. ∴ OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴ 点 A (0，-9). 设直线 AD 的函数表达式为 y = kx + b， 将点 A (0，-9)，D (6，-1) 代入，得 解得 ∴ 直线 AD 的函数表达式为 . H 探究新知 返回 C 1．[2025六安期中]如图所示的四个交通标志中，为旋转对称图形的是(　　) 考试考法 54 2．[2025山东]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) B 返回 考试考法 55 3．下列命题中，是真命题的有(　　) ①直径是弦；②弦是直径； ③半圆是弧；④弧是半圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 返回 B 考试考法 56 2 004 考试考法 57 【点拨】如图，设直线m与y轴交于点D，分别过A2，A5作A2E⊥x轴，A5F⊥x轴，垂足分别为点E，F. 考试考法 考试考法 由旋转的性质可知CB1＝BC＝5，B1A2＝AB＝4，∴AA2＝AC＋CB1＋B1A2＝12，∴A2E＝AA2＝6，即A2(A3)的纵坐标为6.同理A5F＝12，即A5(A6)的纵坐标为12.∵A1001＝A3×333＋2，∴A1 001在直线m上， ∴A1 001(A1 002)的纵坐标为334×6＝2 004. 返回 考试考法 5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4，则AB的长可能是(　　) A．3 B．4 C．7 D．11 返回 C 考试考法 61 6．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　) A．61° B．63° C．65° D. 67° 考试考法 62 返回 【答案】B 考试考法 考试考法 64 返回 【答案】C 考试考法 A 返回 考试考法 66 B 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 返回 考试考法 67 返回 B 考试考法 68 考试考法 69 【点拨】如图，连接OB，OD.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠BCD. ∵OA＝OA，OD＝OB， ∴△OAD≌△OAB. ∴∠ODA＝∠OBA，∠BAO＝∠DAO. ∵AB与⊙O相切，∴∠OBA＝90°.∴∠ODA＝90°. 考试考法 70 【答案】B 返回 考试考法 71 考试考法 72 【答案】C 返回 考试考法 73 13．[2025泸州改编]如图，AB，CD是⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于点E，与BA的延长线交于点F，且EB＝EC，连接DE交AB于点G. 考试考法 (1)求证：EF是⊙O的切线； 考试考法 考试考法 【点拨】如图所示，过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M， 设OA＝OC＝r，则OF＝OA＋AF＝r＋10， 由(1)可得∠OCF＝90°. 考试考法 考试考法 考试考法 返回 考试考法 14．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，且BP＝CQ，则∠POQ＝(　　) A．75° B．54° C．72° D．60° 考试考法 【点拨】如图，连接OA，OB，OC. ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴易知∠AOB＝∠BOC＝72°. 又∵OA＝OB，OB＝OC， ∴易知∠OBA＝∠OCB＝54°. 考试考法 【答案】C 返回 考试考法 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(0，－1) A 返回 考试考法 16．如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB＝34°， ∠IBC＝36°，则∠ICA的度数是________°. 20 返回 考试考法 17．如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若AE＝4，DE＝2，则⊙O的半径为________． 考试考法 【点拨】连接DB.∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE.∴∠ODE＝90°. ∵AO＝DO，∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC. ∴∠AED＝180°－∠ODE＝90°. 考试考法 返回 考试考法 18. 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P.AB是⊙O的切线，B是切点，连接BP并延长交直线l于点C. 考试考法 (1)求证：AB＝AC； 【证明】如图，连接OB. ∵直线AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO＝90°.∴∠OBC＋∠ABC＝90°. ∵OA⊥AC，∴∠OAC＝90°.∴∠ACP＋∠APC＝90°. ∵OB＝OP，∴∠OPB＝∠OBP. 又∵∠APC＝∠OPB，∴∠APC＝∠OBP. ∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC. 考试考法 考试考法 考试考法 返回 考试考法 考试考法 【答案】B 返回 考试考法 考试考法 考试考法 返回 考试考法 21．在矩形ABCD中，AD＝8，半径为5的⊙O与BC相切，且经过A，D两点，则AB＝________． 2或8 返回 考试考法 22．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC＝___________cm. 考试考法 考试考法 考试考法 返回 考试考法 23．如图，∠ACB＝90°，弦AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E. 考试考法 (1)求证：BC＝2DE； 考试考法 (2)连接OF，若∠AFO＝45°，半径为1，求BC的长． 【解】连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.由(1)知∠CAD＝∠BAD.设∠CAD＝∠BAD＝x，则∠FBO＝90°－2x.∵∠AFO＝45°，∴∠FOB＝45°＋x.∴∠OFB＝180°－(90°－2x)－(45°＋x)＝45°＋x.∴∠FOB＝∠OFB. ∴BF＝BO＝OA＝1.∴AB＝2. 考试考法 考试考法 返回 考试考法 圆 旋转 旋转对称及其性质 中心对称及其性质 旋转对称图形 中心对称图形 圆的基本性质 垂径定理 等圆心角 圆的确定 连半径，作弦心距，构造直角三角形 等弧 等弦 等弦心距 三角形的外接圆 圆周角 圆内接四边形的性质 作弦，构造直径所对的圆周角 探究新知 与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置的关系 有公共点，连圆心，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连圆心，得垂直 与圆有关的计算 正多边形的计算 弧长与扇形面积的计算 切线的判定与性质 圆 旋转 圆的基本性质 圆周角 探究新知 谢谢观看！ 4．[2025德阳]如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，点C在直线m：y＝x－上，且AC＝3，连接AB，BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C1，点B的对应点B1落在直线m上， 再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转 到△A2B2C2，点A1的对应点A2也 落在直线m上，如此下去，则A1 001的纵坐标是________． 对于直线m：y＝x－，当x＝0时，y＝－，∴点D，∴OD＝.∵A(2，0)，B(0，2)，∴OA＝2，OB＝2.又∵x轴⊥y轴，∴AB＝＝4，tan∠OAD＝＝＝，tan∠OAB＝＝＝， ∴∠OAD＝∠CAE＝30°，∠OAB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝5. 【点拨】∵半径OC⊥AB，∴＝.∴∠AOC＝∠BOC＝42°.∴∠AOB＝84°，∠D＝∠AOC＝21°.∴∠OED＝∠AOB－∠D＝63°. 7. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E.若AC＝4，DE＝4，则BC的长是(　　) A．1 B. C．2 D．4 【点拨】设OD＝x，则OA＝OE＝DE－OD＝4－x.∵OD⊥AC，AC＝4，∴AD＝AC＝2.易得△ABC∽△AOD，∴＝＝2.∴BC＝2OD.∵OA2＝OD2＋AD2，∴(4－x)2＝x2＋(2)2，解得x＝1.∴BC＝2OD＝2x＝2.故选C. 8．如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于(　　) A．140° B．120° C．110° D．70° 10．如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝(　　) A．9° B．18° C．36° D．45° 11．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙O上，且AB与⊙O相切，若⊙O的半径为1，则菱形ABCD的周长为(　　) A．4 B．4 C．6 D．8 ∵∠BOD＝2∠BCD，∴∠BOD＝2∠BAD. ∵∠BOD＋∠BAD＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠BAD＝60°.∴∠BAO＝∠BAD＝30°. ∵在Rt△ABO中，OB＝1，∴AO＝2. ∴AB＝＝. ∴菱形ABCD的周长为4.故选B. 12. 如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【点拨】设AB与OC交于点D.∵弦AB的长为4，OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，AD＝AB＝2.∵∠ABC＝30°，∴∠AOD＝2∠ABC＝60°.∴∠A＝90°－60°＝30°.∴OA＝2OD.设OD＝x，则OA＝2x.在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，即x2＋(2)2＝(2x)2，解得x＝2(负值已舍去)，∴OA＝2x＝4.∵OP＝5，∴OP＞OA.∴点P在⊙O外． 【证明】如图所示，连接OE. ∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°. 在△OEC和△OEB中， ∴△OEC≌△OEB(SSS)，∴∠OCE＝∠OBE＝90°， ∴OC⊥CE.∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)若AF＝10，sin F＝，直接写出EG的长． 【解】EG的长为3. ∵在Rt△OCF中，sin F＝＝，∴3OC＝OF， ∴3r＝r＋10，∴r＝5，∴OB＝OC＝5，OF＝15， ∴CD＝10，BF＝OF＋OB＝20. 在Rt△OCF中，由勾股定理得CF＝＝＝10，∴cos F＝＝＝.∴在Rt△BEF中，EF＝＝＝15，∴CE＝BE＝EF·sin F＝5. 在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝＝＝5.∵S△OCF＝CH·OF＝OC·CF， ∴CH＝＝＝. ∵∠CHO＝∠DMO＝90°，∠COH＝∠DOM，OC＝OD，∴△DOM≌△COH(AAS)，∴DM＝CH＝. ∵∠DMG＝∠EBG＝90°，∠DGM＝∠EGB， ∴△DGM∽△EGB， ∴＝，即＝＝， ∴EG＝DE＝3. 在△OBP和△OCQ中， ∴△OBP≌△OCQ(SAS)．∴∠BOP＝∠COQ. ∴∠BOP＋∠BOQ＝∠BOQ＋∠QOC， 即∠POQ＝∠BOC＝72°.故选C. 【点拨】∵点I是△ABC的内心，∠IAB＝34°，∠IBC＝36°，∴∠BAC＝2∠IAB＝2×34°＝68°，∠ABC＝2∠IBC＝2×36°＝72°，∠ICA＝∠ICB.∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－68°－72°＝40°.∴∠ICA＝∠ACB＝20°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠AED. 又∵∠EAD＝∠DAB，∴△ADE∽△ABD. ∴＝. ∵AE＝4，DE＝2，∴AD＝＝2.∴＝，解得AB＝5.∴⊙O的半径为. (2)若PC＝，tan∠ACP＝，直接写出PB的长． 【解】PB的长为. 【点拨】∵在Rt△PAC中，tan∠ACP＝＝， ∴AC＝2AP. ∵AP2＋AC2＝PC2，PC＝， ∴AP2＋(2AP)2＝()2. ∴AP＝1.∴AC＝2. 如图，过A点作AH⊥BC于点H. ∵AH·PC＝AP·AC， ∴AH×＝×1×2，∴AH＝. ∵在Rt△AHC中，tan∠ACH＝＝，∴HC＝. ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2HC＝. ∴BP＝BC－PC＝－＝. 19．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为(　　) A. B. C. D．π 【点拨】连接BC.∵BD⊥OC，∴∠ODB＝∠CDB＝90°.又∵OD＝CD，BD＝BD，∴△ODB≌△CDB.∴OB＝BC.又∵OB＝OC，∴OB＝OC＝BC.∴△OBC是等边三角形．∴∠BOC＝60°. ∵∠AOB＝80°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝20°. ∵OA＝3，∴＝＝.故选B. 20．[2025周口三模]如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以点A为圆心，AB的长为半径画，交AC于点F，以点C为圆心，BC的长为半 径画，交AC于点D，则阴影部 分的面积为________． － 【点拨】在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2AB＝2.∴BC＝＝＝.∴S扇形CBD＝＝＝. ∵三角形内角和为180°，∴∠A＝180°－∠C－90°＝60°.∴S扇形ABF＝＝.∵S△ABC＝×AB×BC＝×1×＝，∴S阴影＝S扇形ABF＋S扇形CBD－S△ABC＝＋－＝－＝－.故答案为－. 4或2 【点拨】∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4 (cm)，OC＝5 cm.当C点位置如图①所示时，连接AC，AO， ∵OA＝5 cm，AM＝4 cm， ∠AMO＝90°， ∴OM＝＝＝3(cm)． ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)． ∴在Rt△AMC中，AC＝＝4(cm)； 当C点位置如图②所示时，连接AC，AO， 同理可得OM＝3 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)． ∴在Rt△AMC中， AC＝＝2(cm)． 综上，AC的长为4 cm或2 cm. 【证明】延长DE交⊙O于点G，连接AG. ∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径． ∵AB⊥DG，∴＝，DE＝EG. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB. ∴＝.∴＝.∴＝.∴BC＝DG＝2DE. ∵∠CAD＝∠BAD＝∠CBD，∠ADB＝∠BDF， ∠ACF＝∠BDF＝90°，∴△BDF∽△ADB∽△ACF. ∴＝＝＝＝. 设DF＝m，则BD＝2m.由勾股定理得BF2＝BD2＋DF2， ∴12＝(2m)2＋m2，解得m＝(负值已舍去)． ∴DF＝，DB＝.∴AD＝. ∴AF＝.同理可设CF＝n，则AC＝2n. 由AC2＋CF2＝AF2，得n2＋(2n)2＝， ∴n＝(负值已舍去)，即CF＝， ∴BC＝BF＋CF＝1＋＝. $