期末复习08 分式期末冲刺必备讲义(二)(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末复习08 分式期末冲刺必备讲义(二) 期末必备 知识点梳理 1.分式的加法与减法 2.整数指数幂 3.科学记数法 4.分式方程 5.分式方程的应用 6.期末高频考点与备考提醒 常考题型 精讲精炼 1.同分母分式加减运算 2.异分母分式加减运算 3.分式加减法的实际应用 4.分式的加减乘除混合运算 5.分式化简与求值 6.用科学计数法表示绝对值小于1的数 7.分式方程的解法 8.根据分式方程的解确定参数值 9.分式方程的无解问题分析 10.分式方程的列写方法 11.分式方程在行程问题中的应用 12.分式方程在工程问题中的应用 13.分式方程在经济问题中的应用 14.分式方程在和差倍分问题中的应用 期末备考 压轴通关 压轴题(13) 【知识点01.分式的加法与减法】 1.基础关联（分式前提知识） *分式有意义：分母≠0；分式值为 0：分子 = 0 且分母≠0。 *分式基本性质：分子分母同乘 / 除以不为 0 的整式，分式值不变，即==​（b≠0，m≠0）。 *符号法则：分子、分母、分式本身，改变任意两个，值不变（如−==​）。 *约分：约去分子分母公因式，化为最简分式；通分：化异分母为同分母，找最简公分母是关键。 2.同分母分式加减 *法则：±=（c≠0）。 *步骤：① 分子整体相加减（多项式加括号）；② 去括号、合并同类项；③ 约分至最简。 3.异分母分式加减 *法则：±=（b≠0，d≠0）。 *通分步骤：① 因式分解各分母；② 取系数最小公倍数 + 各因式最高次幂，得最简公分母；③ 分子分母同乘适当整式，化为同分母分式。 *特殊情况：整式视为分母为 1 的分式参与通分（如x=）。 4.加减混合运算 *顺序：从左到右，有括号先算括号内；可分步通分，也可一次性找所有分母的最简公分母通分。 *技巧：先约分再通分，简化计算；结果必为最简分式或整式。 【知识点02.整数指数幂】 将指数从正整数扩展到全体整数，原有幂的运算性质仍适用，核心是零指数与负指数的转化。 1.核心定义（a≠0，p为正整数） *零指数幂：a0=1（0⁰无意义）。 *负整数指数幂：a−p=​，可逆向转化=a−p。 2.运算性质（a≠0，b≠0，m、n为整数） 运算类型 公式 说明 同底数幂乘法 am⋅an=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂除法 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 各因式分别乘方，再相乘 商的乘方 ()n= 分子分母分别乘方，再相除 【知识点03.科学记数法】 *形式：a×10n（1≤a<10，n为整数）。 *小于 1 的正数：指数为负，位数与指数绝对值的关系为0.00⋯01（k个 0）=10−k−1，如0.0003=3×10−4。 *大于 10 的数：指数为正，等于整数位数减 1，如25000=2.5×104。 易错点与技巧 负指数转化时，底数不为 0；结果优先化为正指数形式。 混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 【知识点04.分式方程】 1.基本概念 *定义：分母中含有未知数的方程（区别于整式方程）。 *增根：去分母后整式方程的解，若使原方程分母为 0，则为增根，需舍去（因去分母时乘了可能为 0 的整式，破坏同解性）。 *无解情况：整式方程无解；整式方程有解但为增根。 2.求解步骤（核心：化归思想） (1).去分母：方程两边同乘最简公分母（先因式分解分母），化为整式方程，常数项和不含分母的项必须乘最简公分母。 (2).解整式方程：按一元一次方程等解法求解。 (3).验根：代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去；否则为原方程解。 (4).作答：明确解或无解。 【知识点05.分式方程的应用】 1.解题步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→求解→验根（含实际意义）→作答。 2.常见场景与等量关系 *行程问题：路程 = 速度 × 时间，常涉及 “相遇”“追及”“往返”， 如=总时间。 *工程问题：工作量 = 效率 × 时间，总工作量 = 各部分工作量之和，通常设总工作量为 1，如+=合作时间。 *购物 / 利润问题：总价 = 单价 × 数量，利润 = 售价 - 进价，利润率 = 【知识点06.期末高频考点与备考提醒】 1.分式加减：化简求值、与分式乘除混合运算，重点关注分子符号、括号使用及通分约分技巧。 2.整数指数幂：负指数转化、科学记数法表示小数、幂的混合运算（注意运算顺序与符号）。 3.分式方程：解方程（去分母、验根）、实际应用题（找等量关系、单位统一）、增根与参数问题。 【题型1.同分母分式加减运算】 【典例】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【跟踪训练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型2.异分母分式加减运算】 【典例】计算： ． 【跟踪训练1】已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 【题型3.分式加减法的实际应用】 【典例】，，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【跟踪训练2】某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【题型4.分式加减乘除混合运算】 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 【跟踪训练2】计算∶ 【题型5.分式化简与求值】 【典例】如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若，则分式的值为 ． 【跟踪训练2】下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【典例】在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【跟踪训练2】2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型7.分式方程的解法】 【典例】方程的解为 ． 【跟踪训练1】李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论： 甲：当时，此方程的解为； 乙：若此方程有增根，则； 丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是． 下列判断正确的是（   ） A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对 【跟踪训练2】的解为 ． 【题型8.根据分式方程的解确定参数值】 【典例】已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【跟踪训练1】若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【跟踪训练2】下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【题型9.分式方程的无解问题分析】 【典例】已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练1】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ． 【跟踪训练2】关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【题型10.分式方程的列写方法】 【典例】在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【跟踪训练1】欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 【题型11.分式方程在行程问题中的应用】 【典例】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【跟踪训练2】一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（    ） A．18 B．20 C．22 D．25 【题型12.分式方程在工程问题中的应用】 【典例】为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 【跟踪训练1】某学校准备改造面积为的旧操场，现有甲乙两个工程队都想承建这项工程，经协商后得知，甲工程队单独改造完这个操场比乙工程队多用14天，甲工程队每天比乙工程队少改造．以下说法正确的是（   ） A．甲工程队每天比乙工程队多改造 B．乙工程队每天比甲工程队多改造 C．甲乙两个工程队合作需要20天改造完 D．甲工程队单独改造完成需要50天，乙工程队单独改造完成需要36天 【跟踪训练2】某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作 件． 【题型13.分式方程在经济问题中的应用】 【典例】《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【跟踪训练1】某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为 ． 【跟踪训练2】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型14.分式方程在和差倍分问题中的应用】 【典例】某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 【跟踪训练2】甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 3．若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 4．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为 ． 6．已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 7．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 8．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 9．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 10．为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少． 11．某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 12．某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空．商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一批的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元；第二批衬衫销售剩至150件时按八折出售，全部售完．那么，售完这两批衬衫商场共盈利多少元？ 13．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数．. ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习08 分式期末冲刺必备讲义(二) 期末必备 知识点梳理 1.分式的加法与减法 2.整数指数幂 3.科学记数法 4.分式方程 5.分式方程的应用 6.期末高频考点与备考提醒 常考题型 精讲精炼 1.同分母分式加减运算 2.异分母分式加减运算 3.分式加减法的实际应用 4.分式的加减乘除混合运算 5.分式化简与求值 6.用科学计数法表示绝对值小于1的数 7.分式方程的解法 8.根据分式方程的解确定参数值 9.分式方程的无解问题分析 10.分式方程的列写方法 11.分式方程在行程问题中的应用 12.分式方程在工程问题中的应用 13.分式方程在经济问题中的应用 14.分式方程在和差倍分问题中的应用 期末备考 压轴通关 压轴题(13) 【知识点01.分式的加法与减法】 1.基础关联（分式前提知识） *分式有意义：分母≠0；分式值为 0：分子 = 0 且分母≠0。 *分式基本性质：分子分母同乘 / 除以不为 0 的整式，分式值不变，即==​（b≠0，m≠0）。 *符号法则：分子、分母、分式本身，改变任意两个，值不变（如−==​）。 *约分：约去分子分母公因式，化为最简分式；通分：化异分母为同分母，找最简公分母是关键。 2.同分母分式加减 *法则：±=（c≠0）。 *步骤：① 分子整体相加减（多项式加括号）；② 去括号、合并同类项；③ 约分至最简。 3.异分母分式加减 *法则：±=（b≠0，d≠0）。 *通分步骤：① 因式分解各分母；② 取系数最小公倍数 + 各因式最高次幂，得最简公分母；③ 分子分母同乘适当整式，化为同分母分式。 *特殊情况：整式视为分母为 1 的分式参与通分（如x=）。 4.加减混合运算 *顺序：从左到右，有括号先算括号内；可分步通分，也可一次性找所有分母的最简公分母通分。 *技巧：先约分再通分，简化计算；结果必为最简分式或整式。 【知识点02.整数指数幂】 将指数从正整数扩展到全体整数，原有幂的运算性质仍适用，核心是零指数与负指数的转化。 1.核心定义（a≠0，p为正整数） *零指数幂：a0=1（0⁰无意义）。 *负整数指数幂：a−p=​，可逆向转化=a−p。 2.运算性质（a≠0，b≠0，m、n为整数） 运算类型 公式 说明 同底数幂乘法 am⋅an=am+n 底数不变，指数相加 同底数幂除法 am÷an=am−n 底数不变，指数相减 幂的乘方 (am)n=amn 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn 各因式分别乘方，再相乘 商的乘方 ()n= 分子分母分别乘方，再相除 【知识点03.科学记数法】 *形式：a×10n（1≤a<10，n为整数）。 *小于 1 的正数：指数为负，位数与指数绝对值的关系为0.00⋯01（k个 0）=10−k−1，如0.0003=3×10−4。 *大于 10 的数：指数为正，等于整数位数减 1，如25000=2.5×104。 易错点与技巧 负指数转化时，底数不为 0；结果优先化为正指数形式。 混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 【知识点04.分式方程】 1.基本概念 *定义：分母中含有未知数的方程（区别于整式方程）。 *增根：去分母后整式方程的解，若使原方程分母为 0，则为增根，需舍去（因去分母时乘了可能为 0 的整式，破坏同解性）。 *无解情况：整式方程无解；整式方程有解但为增根。 2.求解步骤（核心：化归思想） (1).去分母：方程两边同乘最简公分母（先因式分解分母），化为整式方程，常数项和不含分母的项必须乘最简公分母。 (2).解整式方程：按一元一次方程等解法求解。 (3).验根：代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去；否则为原方程解。 (4).作答：明确解或无解。 【知识点05.分式方程的应用】 1.解题步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→求解→验根（含实际意义）→作答。 2.常见场景与等量关系 *行程问题：路程 = 速度 × 时间，常涉及 “相遇”“追及”“往返”， 如=总时间。 *工程问题：工作量 = 效率 × 时间，总工作量 = 各部分工作量之和，通常设总工作量为 1，如+=合作时间。 *购物 / 利润问题：总价 = 单价 × 数量，利润 = 售价 - 进价，利润率 = 【知识点06.期末高频考点与备考提醒】 1.分式加减：化简求值、与分式乘除混合运算，重点关注分子符号、括号使用及通分约分技巧。 2.整数指数幂：负指数转化、科学记数法表示小数、幂的混合运算（注意运算顺序与符号）。 3.分式方程：解方程（去分母、验根）、实际应用题（找等量关系、单位统一）、增根与参数问题。 【题型1.同分母分式加减运算】 【典例】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 【跟踪训练1】定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 【跟踪训练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的减法，分母不变，分子相减，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【题型2.异分母分式加减运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，先化成同分母，再根据同分母的分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【跟踪训练1】已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 【跟踪训练2】已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先对等式右边进行通分化简，然后对照等式左右两边的分式即可列出方程组进行求解． 【详解】解：等式右边通分得到： ， 由于左边等于右边，且分母相同，所以有： 解得：，，，； 所以； 故答案为10． 【题型3.分式加减法的实际应用】 【典例】，，，这四个数从小到大的排列顺序是（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式加减的应用．根据分式的加减求出是解题的关键；设为真分数，，通过计算可得，据此即可得到答案． 【详解】解：设为真分数，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪训练1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 【跟踪训练2】某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 【题型4.分式加减乘除混合运算】 【典例】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简，掌握知识点是解题的关键。 通过代数化简验证每个选项，选项A、B、C的运算均错误，选项D的运算正确． 【详解】解：A． ，该选项错误，不符合题意； B． 该选项错误，不符合题意； C． ，该选项错误，不符合题意； D． ，该选项正确，符合题意； 故选D． 【跟踪训练1】在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 【答案】乙 【分析】本题考查了分式的运算的应用，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键． 分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果． 【详解】解：∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为， ∴甲返航时间为， ∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为， ∴乙返航时间为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即乙船先返回港． 故答案为：乙． 【跟踪训练2】计算∶ 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5.分式化简与求值】 【典例】如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将拆分为，然后代入已知条件计算，由此求解即可． 【详解】解：，且， ． 故选：B． 【跟踪训练1】若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由已知条件化简得到 ，然后代入分式计算即可． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简与运算，需逐项验证其正确性．选项A、C、D通过代入特定值或直接计算可发现错误；选项B通过因式分解和约分可化简为右侧形式，但需注意分母不为零的条件． 【详解】解：A、与在一般情况下不相等（如取，左边，右边），A错误． B、（当且时），与右边一致，B正确． C、不能化简为（如取，左边，右边），C错误． D、，与右边不相等（如取，左边，右边），D错误． 故选：B． 【题型6.用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【典例】在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法，科学记数法表示形式为，其中，为整数，准确分析计算是解题的关键． 用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果即可得解． 【详解】解：分子的直径为， 将小数点向右移动位至第一个非零数字后，得到，且， 科学记数法表示为；. 故选． 【跟踪训练1】根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 【跟踪训练2】2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：由题意，1纳米米， 纳米米米米， 故选C． 【题型7.分式方程的解法】 【典例】方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 【跟踪训练1】李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论： 甲：当时，此方程的解为； 乙：若此方程有增根，则； 丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是． 下列判断正确的是（   ） A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．首先将原方程化简，得到解 ，且需满足 （即 ）．然后分别验证甲、乙、丙的结论：甲当 时解为 ，正确；乙方程有增根时 ，正确；丙解为非负数时需 且 ，但丙只给出 ，错误． 【详解】解：原方程： ， 两边同乘 ， ， 简化得 ， ∴ ， ∴ ，且 即， ∴； 验证甲：当 时，，且 ，正确． 验证乙：增根为 ，代入解得 ， ∴ ，正确； 验证丙：解为非负数时 ，即 ， ∴ ，但需排除 （增根），丙未排除，错误； ∴ 甲乙对，丙错． 故选：A． 【跟踪训练2】的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解分式方程，左边每个分式拆项为两个分式的差，先简化；右边合并分式，然后解方程并检验即可求解． 【详解】解：方程左边每个分式拆项： 求和后中间项抵消，左边简化为： y右边化简为： 当时，方程化为： 解得．经检验是原方程的解． 故答案为：． 【题型8.根据分式方程的解确定参数值】 【典例】已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 通过解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， 方程两边乘，得 ， ， ， ∴ ． ∵ 解为非负数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ 分母 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上， 且 ． 故选：A． 【跟踪训练1】若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程增根的条件，先将方程化简，合并同分母分式，然后去分母化为整式方程，增根为使分母为零的根，即，代入整式方程求m即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：，即， ∵方程有增根， ∴增根为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【跟踪训练2】下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于 ． 【答案】11或12 【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可． 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或． 对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致， 故其解为或． ∴ 或， ∴或． ∵有一个解为， ∴或，解得或； 故答案为：11或12． 【题型9.分式方程的无解问题分析】 【典例】已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 【跟踪训练1】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解，将原方程去分母得，整理得，若方程无解，那么它有增根，代入即可求解． 【详解】解：， 方程去分母得， 整理得， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 故答案为：1． 【跟踪训练2】关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 【题型10.分式方程的列写方法】 【典例】在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 【跟踪训练1】欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 【跟踪训练2】一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米/时，那么根据题意，列出的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设货车原来的行驶速度为x千米每小时，然后根据将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在B站正点到达，列出方程即可． 【详解】解：设货车原来的行驶速度为x千米每小时， 由题意得：， 故答案为：． 【题型11.分式方程在行程问题中的应用】 【典例】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 【跟踪训练1】某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 【跟踪训练2】一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中航行的速度为（    ） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设轮船在静水中航行的速度为，顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度，再结合顺水航行所需时间与逆水航行所需时间相同建立方程求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为， 由题意得， ， 解得， 经检验， 是原方程的解，且符合题意． ∴轮船在静水中航行的速度为， 故选：A． 【题型12.分式方程在工程问题中的应用】 【典例】为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来天用水，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水 t． 【答案】 【分析】先分别求出原来每天的用水量和现在每天的用水量，然后通过作差得出现在每天比原来少用水的量，涉及分式的运算． 【详解】解：①计算原来每天的用水量 ： 原来天用水吨，所以原来每天的用水量为吨． ②计算现在每天的用水量： 现在这些水可多用天，总天数为天，因此现在每天的用水量为吨． ③求现在每天比原来少用的水量： 差值为原来每日用水量减去现在每日用水量：． 化简：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题关键是根据题意分别表示出原来和现在每天的用水量，再进行分式的减法运算． 【跟踪训练1】某学校准备改造面积为的旧操场，现有甲乙两个工程队都想承建这项工程，经协商后得知，甲工程队单独改造完这个操场比乙工程队多用14天，甲工程队每天比乙工程队少改造．以下说法正确的是（   ） A．甲工程队每天比乙工程队多改造 B．乙工程队每天比甲工程队多改造 C．甲乙两个工程队合作需要20天改造完 D．甲工程队单独改造完成需要50天，乙工程队单独改造完成需要36天 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，利用甲工程队单独改造这个操场比乙工程队多用14天，进而用同一未知数表示出甲乙两个工程队每天各改造操场面积，进而求出甲工程队每天改造的操场面积，分别求出甲、乙、以及两队合作所用的天数，进而比较即可． 【详解】解：设乙工程队每天改造操场x平方米，则甲每天改造平方米，根据题意可得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故（平方米）， ∴乙工程队每天改造操场40平方米，甲工程队每天改造操场30平方米； ∴乙工程队每天比甲工程队多改造10m2，故A不符合题意，B符合题意； 甲单独改造需（天）， 乙单独改造需（天）， 甲乙两个工程队合作需要（天）． 故C不符合题意，D不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练2】某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作 件． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件，根据结果提前10天完成任务建立方程，解方程可得的值，再进行检验即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件数为， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以原来每天制作16件， 故答案为：16． 【题型13.分式方程在经济问题中的应用】 【典例】《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 【跟踪训练1】某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元．根据购进金额和进价，可求得A和B水果的数量。再根据A水果数量比B水果数量少的关系，列出方程． 【详解】设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元． 花费元购进A水果的数量为件，花费元购进B水果的数量为件． 由题意，A水果数量比B水果数量少，即A水果数量是B水果数量的，因此有：． 故答案为：． 【跟踪训练2】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出方程，关键找准等量关系．设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为．根据用水量差为5立方米列方程． 【详解】解：设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为 ． 故选：A． 【题型14.分式方程在和差倍分问题中的应用】 【典例】某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器， 根据题意得，， 故答案为：． 【跟踪训练2】甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分并化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解 【详解】解：原式 ， 故选：A 2．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件就是分母等于0或化简后整式方程无解是解题的关键． 把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 整理得 ， ∴， 解得 ． ∵关于的分式方程无解， ∴，即， 令， 解得． 故选：D． 4．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 5．已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 6．已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，当时，则，则可求出，，进而求出，据此可判断①；可求出，当时，，即；当时，，但是此时不确定的符号，据此可判断②． 【详解】解：当时，则， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴当时，，即； 当时，，但是此时不确定的符号，故不能判断的大小关系，故②错误； 故选：A． 7．阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，分数的混合运算，理解题意，熟练掌握分数混合运算法则以及分式方程的解法是解题的关键． （1）将原式化为，即进行计算即可； （2）将原式化为…，即进行计算即可； （3）将原方程化为，再根据分式方程的解法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 8．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的基本性质 (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）利用分式的基本性质求解； （2）先把分式的分子、分母同时除以得到运算，然后利用整体代入的方法计算； （3）先把所求的代数式变形得到，然后把代入后进行分式化简即可． 【详解】（1）解：“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质； 故答案为：分式的基本性质； （2）解：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 ， ， ∴原式； （3）解：∵， ∴原式 ． 9．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 10．为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程15千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少． 【答案】走甲路线的平均速度为千米/时，走乙路线的平均速度为48.6千米/时 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时， ， 解得． 检验：是原方程的解，且符合题意． 乙的速度：（千米/时）． 答：走乙路线和走甲路线的平均速度分别是48.6千米/时和千米/时． 11．某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)60天 (2)414000元 【分析】本题主要考查了列分式方程解决工程问题，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据施工方案列出方程求解即可； （2）结合（1）中的甲、乙施工天数，求出合作施工天数，然后求解即可． 【详解】（1）解：设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 所以，这项工程的规定时间是60天； （2）解：所需天数为：（天）， ∴施工费用为：（元）， 所以，该工程施工费用是414000元． 12．某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空．商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一批的2倍，但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元．商场销售这种衬衫时，每件定价都是58元；第二批衬衫销售剩至150件时按八折出售，全部售完．那么，售完这两批衬衫商场共盈利多少元？ 【答案】90260元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及利润计算，熟练掌握利用方程求解进价和数量，再通过“利润=总销售额总成本”计算盈利是解题的关键． 先设第一批衬衫的进价与数量，通过总价关系列方程求出第一批的进价和数量，再计算两批衬衫的总成本、总销售额，最后用总销售额减总成本得盈利． 【详解】解：设第一批衬衫每件进价为元，数量为件．则第二批衬衫每件进价为元，数量为件，由题意可得 ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴第一批数量：件，第二批数量：件， ∴第一批销售额：元， 第二批正常销售部分销售额：元 第二批打折销售部分销售额：元， ∴总销售额：元， 总成本：元， ∴总盈利：元， 答：售完这两批衬衫商场共盈利元． 13．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数．. ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $