24.4.3切线长定理 课件-2024--2025学年沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“切线长定理”，涵盖概念、定理及应用。通过木工师傅切割圆形木板的情境导入，复习切线性质与判定，搭建新旧知识衔接的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于注重动手操作与逻辑推理，学生通过作切线、测量验证猜想，结合全等三角形证明定理，培养几何直观与推理意识。例题从基础计算到三角形内切圆综合应用，用几何语言规范表达，助力学生提升应用能力，教师可直接利用丰富例题与考点资料，高效开展教学。

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】 第24章 圆 24.4.3切线长定理 问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ O. P A B 合作探究 你可以作几条？ 作法：1. 连接 OP； 2. 以 OP 为直径作圆，设此 圆交 ⊙O 于点 A，B； 3. 连接 PA，PB. 则直线 PA，PB 即为所作. 24.4.3 切线长定理 教学过程 一、复习衔接，情境导入（5分钟） 师：上节课我们学习了切线的性质和判定，大家回忆一下：圆的切线有什么性质？怎样判定一条直线是圆的切线？ 生1：圆的切线垂直于过切点的半径。 生2：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 师：非常好。大家看大屏幕，木工师傅要在一块圆形木板上切割出一个正方形，他先确定了圆外一点，然后过这点向圆画了两条切线，用尺子测量后发现这两条切线的长度相等。这个现象是偶然的吗？过圆外一点向圆画的两条切线，它们的长度之间有什么规律？今天我们就来揭开这个秘密——学习切线长定理。（板书课题） 二、探究新知，形成定理（25分钟） 1. 明确“切线长”概念 师：我们已经知道“切线”是直线，而“切线长”是线段的长度。请大家结合课本图示，思考什么是切线长？ 生：从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间线段的长度，叫做这点到圆的切线长。 师：非常准确。大家看黑板上的图形（画出⊙O，圆外一点P，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B），线段PA、PB都是点P到⊙O的切线长，而PA所在的直线PA、PB所在的直线PB是⊙O的切线。注意区分“切线”和“切线长”的概念：切线是直线，无长度；切线长是线段的长度，有具体数值。 2. 动手操作，提出猜想 师：请大家拿出圆形纸片、直尺和圆规，在纸片外确定一点P，过P作圆的两条切线，标记出切点A、B，然后用圆规或尺子测量PA和PB的长度，看看有什么发现？再连接圆心O和点P，观察OP与∠APB的关系。（学生动手操作，教师巡视指导） 生1：我们测量出PA和PB的长度相等。 生2：OP好像把∠APB分成了两个相等的角，也就是OP平分∠APB。 师：大家的发现很一致。那我们提出猜想：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这个猜想是否成立呢？我们通过证明来验证。 3. 逻辑证明，确立定理 师：要证明PA=PB，∠APO=∠BPO，我们可以利用全等三角形的性质。大家思考一下，需要连接哪些线段？ 生：连接OA、OB，因为OA、OB是圆的半径，PA、PB是切线，根据切线性质，OA⊥PA，OB⊥PB，所以∠OAP=∠OBP=90°。 师：非常关键。在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB（都是⊙O的半径），OP=OP（公共边），根据“HL”定理，Rt△OAP≌Rt△OBP。所以PA=PB（全等三角形对应边相等），∠APO=∠BPO（全等三角形对应角相等）。 师：由此我们得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（板书定理）大家要牢记定理的两个结论：一是切线长相等，二是圆心与圆外点的连线平分夹角。 三、例题讲解，应用定理（15分钟） 例1：基础应用 已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B。若∠APB=60°，PA=8cm，求⊙O的半径OA的长度。 师：大家结合切线长定理和切线性质来解题。首先，由切线长定理可知，PA=PB=8cm，OP平分∠APB，所以∠APO=多少度？ 生：∠APB=60°，OP平分它，所以∠APO=30°。 师：再根据切线性质，OA⊥PA，所以△OAP是直角三角形。在Rt△OAP中，∠APO=30°，30°角所对的直角边是斜边的一半吗？不，这里∠APO=30°，对边是OA，斜边是OP。我们已知PA=8cm，怎么求OA？ 生：可以用三角函数，tan∠APO=OA/PA，所以OA=PA·tan30°=8×(√3/3)=8√3/3 cm。 师：非常正确。这个例题综合了切线长定理、切线性质和三角函数，大家要学会将多个知识点结合应用。 例2：综合应用 已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AB=10cm，BC=14cm，AC=12cm。求AF、BD、CE的长度。 师：三角形的内切圆是与三角形各边都相切的圆，圆心是内心。从三角形的三个顶点引内切圆的切线，根据切线长定理，我们可以得到哪些相等的线段？ 生：设AF=AE=x，BF=BD=y，CD=CE=z。因为从A点引的两条切线AF=AE，从B点引的两条切线BF=BD，从C点引的两条切线CD=CE。 师：很好。根据三角形的边长，我们可以列出方程组：x+y=AB=10，y+z=BC=14，x+z=AC=12。大家解这个方程组，求出x、y、z的值。 生：把三个方程相加，2(x+y+z)=36，所以x+y+z=18。用18减去14得x=4，所以AF=4cm；18减去12得y=6，所以BD=6cm；18减去10得z=8，所以CE=8cm。 师：思路清晰，利用切线长定理设未知数，通过列方程组求解，这是解决三角形内切圆相关问题的常用方法，大家要掌握。 四、课堂练习，强化提升（10分钟） 1. 填空题：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点为A、B，若⊙O的半径为5cm，OP=13cm，则PA=______cm。（答案：12，提示：利用勾股定理，PA=√(OP²-OA²)=√(13²-5²)=12） 2. 解答题：已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。求∠APB的度数。（提示：先证△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°，再由PA⊥OA、PB⊥OB，得∠APB=60°） （学生独立完成，教师巡视批改，针对共性问题集中讲解，强调定理应用的关键是找准切线长对应的线段） 五、课堂小结，梳理脉络（3分钟） 师：今天我们学习了切线长定理，大家回顾一下核心内容。 生1：我们明确了切线长的概念，是从圆外一点到切点的线段长度。 生2：切线长定理有两个结论，切线长相等，圆心与圆外点的连线平分夹角。 生3：学会了用定理解决基础计算和三角形内切圆的问题，常用设未知数的方法。 师：大家总结得很全面。切线长定理是切线相关知识的延伸，在几何计算和证明中应用广泛，要注意与切线的性质、判定结合使用。 六、布置作业，延伸学习（2分钟） 1. 课本习题24.4第11、12、13题，巩固切线长定理的应用。 2. 实践探究：找一个三角形实物，测量它的边长，尝试计算它的内切圆半径，结合今天的知识思考计算方法。 师：今天的课就到这里，下课！ 探究新知 ◑切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 知识要点 O. P A B ◑过圆外任意一点能够作出圆的两条切线. ①切线是直线，不能度量； ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量． ◑切线长与切线的区别 O，A，P，B 四点共圆哦！ 探究新知 问题2 沿直线 PO 将图形折叠，你有什么发现？ O P A B PA = PB，∠APO =∠BPO. 试着自己证明. 证明：连接 OA，OB，如图. ∵ PA，PB 切 ☉O 于点 A，B， ∴ OA⊥PA，OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP≌Rt△OBP. ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 探究新知 切线长定理： 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA =∠OPB. 几何语言： O P A B 知识要点 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 探究新知 1. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出 什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M 想一想： O P A B 探究新知 2. 若 PO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又 能得出什么新的结论? 请给出证明. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 又∵ PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB. ∴ CA = CB，∠ACP =∠BCP. 解：CA = CB，∠ACP =∠BCP. C O P A B 探究新知 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即 AB + CD = AD + BC. 典例精析 探究新知 例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若 PA 长为 2，则 △PEF 的周长是_____． 解析：因为 PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB. 因为 ⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以 △PEF 的周长是 PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4. 4 探究新知 解析：如图，连接 OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∵ PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B， ∴ O，A，P，B 四点共圆，OP 平分∠APB. ∴∠APB＝180°－∠AOB ＝180°－140° ＝40°＝2∠OPA. ∴∠OPA＝20°. 例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是____度． 20 探究新知 例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径． O 解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA，过 O 作 OQ⊥AB 于 Q. ∵ AP、AQ 为 ⊙O 的切线， ∴ ∠PAO＝∠QAO. Q B C 5 cm 探究新知 在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°， 又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 ∴ O Q B C 5 cm 探究新知 返回 1 1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________． 考试考法 13 2．如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝4 cm，△PMN的周长是________． 8 cm 考试考法 14 返回 【点拨】∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，∴AM＝DM，BN＝DN.∵PA＝PB＝4 cm，∴△PMN的周长是PM＋PN＋MN＝PM＋PN＋DM＋DN＝(PM＋DM)＋(PN＋DN)＝(PM＋AM)＋(PN＋BN)＝AP＋BP＝8 cm.故答案为8 cm. 考试考法 3． 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为________． 考试考法 16 返回 考试考法 4. 如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° 考试考法 18 返回 【点拨】如图，连接AD. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°.∵∠BAE＋∠BCD＝236°，∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°. ∴∠EAD＝56°.∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D， ∴EA＝ED.∴∠EDA＝∠EAD＝56°.∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝180°－56°－56°＝68°. 【答案】 C 考试考法 5. 如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考试考法 20 返回 【点拨】∵ PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO, 故①正确． ∴PO⊥AB, 故②正确．∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴点A，B在以OP为直径的圆上．∴四边形OAPB有外接圆，故③正确． ∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM， ∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，故④错误．故选C. 【答案】 C 考试考法 6．如图是从前面观察不倒翁得到的图形，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为(　　) A．28° B．50° C．56° D．62° 考试考法 22 返回 【点拨】如图，连接OB. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝28°. ∴∠AOB＝124°.∵PA，PB切⊙O于A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＋∠OBP＝180°.∴∠APB＋∠AOB＝180°.∴∠APB＝56°.故选C. 【答案】 C 考试考法 7. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相 直，问径几何？”意思是：如图， △ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 考试考法 24 已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CE，CF分别与⊙O相切于点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是(　　) A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 考试考法 25 【点拨】如图，连接OD，OE，OF. ∵CF，CE是⊙O的切线．∴OF⊥CF，OE⊥CE.∴∠F＝∠E＝90°.又∵∠ACB＝90°.∴四边形OECF是矩形． ∵OE＝OF.∴四边形OECF是正方形． 考试考法 返回 【答案】 B 考试考法 8．已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D，E，若PA＝10 cm，DE＝7 cm，则△PDE的周长为________cm. 20或34 考试考法 28 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性/全等 原理 提供了证明线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 课堂小结 谢谢观看！ 【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°.∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°.∵PO＝2，∴AO＝1.故答案为1. 2 【点拨】如图，连接AB. ∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别 是点A和B， ∴PA⊥AC，PA＝PB.∴∠PAC＝90°.∵∠P＝60°， ∴△PAB为等边三角形．∴AB＝PA，∠PAB＝60°. ∴∠BAC＝30°.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∴AC＝2BC＝4.由勾股定理得AB＝＝2， ∴PA＝AB＝2.故答案为2. 设OE＝OF＝EC＝FC＝r步，则BF＝FC－BC＝(r－90)步，AE＝EC－AC＝(r－48)步． ∵AB，AE，BF是⊙O的切线．∴BD＝BF＝(r－90)步，AD＝AE＝(r－48)步． ∵AB＝＝102步．∴AD＋BD＝102步． ∴r－48＋r－90＝102.∴r＝120.故选B. $