24.4.1直线与圆的位置关系 课件-2024--2025学年沪科版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，通过复习点与圆的位置关系导入，引导学生移动圆形瓶盖观察公共点个数变化，建立从点到直线与圆位置关系的认知支架，系统呈现相交、相切、相离的定义及判定。 其亮点在于以动手操作培养数学眼光，通过典例精析（如Rt△ABC相切问题）发展推理意识，结合坐标系应用强化数学语言表达。采用探究式学习与例题解析结合，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

沪科版数学九年级下册【公开课精做课件】 第24章 圆 24.4.1直线与圆的位置关系 点和圆的位置关系有几种？ 点 P 在⊙O 内 r P d d ＜ r P r d 点 P 在⊙O 上 d r = P r d 点 P 在⊙O 外 d ＞ r O O O 情景导入 在纸上画一条直线 l，把圆形瓶盖的边缘看作圆，在纸上移动瓶盖，直线和圆的公共点的个数是否发生变化？公共点的个数最少时有几个？最多时有几个？ ● ● ● l 24.4.1 直线与圆的位置关系 教学过程 一、情境导入，感知模型（5分钟） 师：同学们，清晨的太阳从地平线缓缓升起时，太阳与地平线会呈现不同的位置状态；在马路上，汽车的轮胎与地面接触时，也藏着数学图形的奥秘。大家看大屏幕，这三幅图分别展示了：太阳刚露头时，光线（可看作直线）与太阳（看作圆）只有一个交点；太阳半升起时，光线与太阳有两个交点；而当乌云遮挡太阳，光线与太阳没有交点的场景。这些场景中，直线与圆的交点数量在变化，这就是我们今天要探究的核心内容——直线与圆的位置关系。（板书课题） 设计意图：用太阳升起的自然现象和生活实例，将抽象的几何关系具象化，让学生直观感知直线与圆的不同位置，激发探究兴趣。 二、新知探究，形成概念（25分钟） 1. 动手操作，观察分类 师：请大家拿出准备好的圆形纸片和直尺，将直尺看作直线，移动直尺，观察直线与圆的交点情况，能发现几种不同的位置？（学生动手操作，教师巡视指导） 生：我们发现有三种情况：一种是直线和圆没有交点，一种是有一个交点，还有一种是有两个交点。 师：非常准确。数学上，我们根据直线与圆交点的个数，对它们的位置关系进行定义。大家结合课本，试着说出这三种位置关系的名称。 生：直线与圆没有公共点，叫做相离；有一个公共点，叫做相切，这时直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；有两个公共点，叫做相交，这时直线叫做圆的割线。 师：大家总结得很到位。请在练习本上画出这三种位置关系的图形，并标注出“相离”“相切”“相交”以及对应的切线、切点、割线等概念，加深记忆。 2. 数量关系，深化理解 师：我们知道，圆的位置由圆心决定，大小由半径决定。那直线与圆的位置关系，能否用圆心到直线的距离与半径的数量关系来表示呢？大家回忆一下，点到直线的距离怎么计算？（引导学生回忆“从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”） 师：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。请大家小组讨论，当直线l与⊙O分别处于相离、相切、相交三种位置时，d与r的关系是怎样的？（小组讨论5分钟，教师参与引导） 生1：当直线与圆相离时，圆心到直线的距离很远，d大于r。 生2：当直线与圆相切时，只有一个交点，说明垂线段刚好等于半径，d等于r。 生3：当直线与圆相交时，有两个交点，垂线段比半径短，d小于r。 师：大家的推理完全正确。反过来，当我们知道d与r的数量关系时，也能判断直线与圆的位置关系：d>r⇨相离；d=r⇨相切；d<r⇨相交。这是直线与圆位置关系的核心判定方法，也是性质，大家一定要牢记“位置关系”与“数量关系”的对应性。（板书对应关系） 三、例题讲解，巩固应用（15分钟） 例1：基础判定 已知⊙O的半径r=5cm，圆心O到直线l的距离d=3cm，判断直线l与⊙O的位置关系；若d=5cm或d=6cm呢？ 师：解题的关键是什么？ 生：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小。 师：非常好。当d=3cm时，d=3<r=5，所以直线l与⊙O相交；当d=5cm时，d=r=5，直线l与⊙O相切；当d=6cm时，d=6>r=5，直线l与⊙O相离。这个例题直接考查数量关系与位置关系的对应，大家要找准d和r的值再比较。 例2：综合应用 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r为半径作圆。当r=2cm时，⊙C与AB的位置关系是什么？当r=2.4cm时呢？当r=3cm时呢？ 师：这个题目中，圆心C到直线AB的距离d没有直接给出，我们该怎么求？（引导学生回忆直角三角形面积公式） 生：可以先求AB的长度，再用面积法求点C到AB的距离。因为△ABC是直角三角形，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5cm。面积S=1/2×AC×BC=1/2×AB×d，所以d=(AC×BC)/AB=(3×4)/5=2.4cm。 师：思路很清晰。接下来大家自己判断三种情况的位置关系。 生：当r=2cm时，d=2.4>r，⊙C与AB相离；当r=2.4cm时，d=r，⊙C与AB相切；当r=3cm时，d=2.4<r，⊙C与AB相交。 师：完全正确。这类题目需要先通过几何计算求出d，再与r比较，是中考的常见题型，大家要掌握面积法求距离的技巧。 四、课堂练习，强化技能（10分钟） 1. 选择题：已知⊙O的半径为4，圆心O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定（答案：C，巩固基础判定） 2. 解答题：如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，点P是AB延长线上一点，OP=12cm，以P为圆心，r为半径作⊙P，当r为何值时，⊙P与⊙O相切？（提示：分内切和外切两种情况，外切时r+5=12，r=7；内切时r-5=12，r=17，培养分类讨论思想） （学生独立完成，教师针对性讲解易错点，如忽略圆与圆相切的两种情况） 五、课堂小结，梳理脉络（3分钟） 师：今天我们一起学习了直线与圆的位置关系，大家回顾一下，这节课的核心内容是什么？ 生1：三种位置关系：相离、相切、相交，是根据交点个数定义的。 生2：关键是圆心到直线的距离d与半径r的数量关系，能判定位置关系，也能由位置关系得出数量关系。 生3：学会了用面积法求点到直线的距离，解决综合问题。 师：大家总结得很全面。直线与圆的位置关系是圆的重要内容，后续我们还会学习切线的性质和判定，希望大家扎实掌握今天的基础。 六、布置作业，延伸提升（2分钟） 1. 课本习题24.4第1、3、5题，巩固数量关系与位置关系的应用。 2. 实践探究：观察生活中直线与圆相切的实例，如砂轮打磨工件时火花的轨迹，思考其中的数学原理。 师：今天的课就到这里，下课！ 探究新知 直线与圆在不同位置关系下的公共点个数 图形 公共点个数 2 个 1 个 0 个 位置关系 公共点个数 根据你的发现填表： 探究新知 知识要点 (2) 如果直线与圆只有一个公共点， 这时直线与圆的位置关系叫做相 切，这条直线叫做圆的切线，这 个公共点叫做切点. (1) 如果直线与圆有两个公共点，这 时直线与圆的位置关系叫做相交， 这条直线叫做圆的割线. (3) 如果直线与圆没有公共点，这时 直线与圆的位置关系叫做相离. O O O 探究新知 圆与直线从相交到相离的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还有什么量在改变？ 观察与思考 它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ O O O l l l 探究新知 怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与⊙O 的位置关系呢？ O 思考： d l 探究新知 直线和圆相交 d < r 直线和圆相切 d = r 直线和圆相离 d > r r d r d r d 位置关系 数量关系 用圆心 O 到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来判断直线与圆的位置关系： o o o 知识要点 l l l 探究新知 例1 如图，Rt△ABC 的斜边 AB = 10 cm，∠A = 30°. (1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时，AB 与☉C 相切？ 解： 过点 C 作边 AB 上的高 CD. D ∵∠A = 30°，AB = 10 cm， 在 Rt△BCD中， ∴当半径为 时，AB 与☉C 相切. A C B 典例精析 ∴∠B = 60°， 探究新知 (2) 以点 C 为圆心、半径 r 分别为 4 cm 和 5 cm 作两个 圆，这两个圆与直线 AB 分别有怎样的位置关系？ 当 r = 4 cm 时，d＞r，故⊙C 与直线 AB 相离； 当 r = 5 cm 时，d＜r，故⊙C 与直线 AB 相交. 解：由 (1) 可知圆心 C 到 AB 的距离 探究新知 例2 如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 ⊙A 于 M、N 两点．若点 M的坐标是 (－4，－2)，则点 N 的坐标为 (　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2) 解析：过点 A 作 AQ⊥MN 于点 Q，连 接 AN，设半径为 r，则有 AQ＝2，AN ＝AO＝r，NQ＝MQ＝4－r．由勾股定 理得 r2＝4＋(4－r)2，解得 r＝2.5．故 NQ＝4－2.5＝1.5．2.5－1.5＝1，所以点 N (－1，－2)． A Q 探究新知 1． 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点； 直线l与⊙O相切⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点； 直线l与⊙O相离⇔d________r⇔直线l与⊙O________公共点． 返回 ＜ 有2个 ＝ 有1个 ＞ 没有 考试考法 12 2. “海日生残夜，江春入旧年”，如图所记录的日出美景中，太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 相交 返回 考试考法 13 3．已知点A(3，4)，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴________，⊙A与y轴________． 返回 相离 相切 考试考法 14 4．如图，已知圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，则这条直线是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 考试考法 15 【答案】 B 返回 【点拨】 ∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，∴d＞r.∴直线与圆相离． ∴这条直线与圆没有公共点．∴这条直线是 l2.故选B. 考试考法 5．如图，在半径为5 cm的⊙O中，直线l交⊙O于A，B两点，且弦AB＝8 cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 考试考法 17 返回 【答案】 B 考试考法 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，点D为AB的中点，以2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是(　　) A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 考试考法 19 考试考法 返回 【答案】 B 考试考法 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为________． 考试考法 22 返回 考试考法 考试考法 24 考试考法 返回 考试考法 9．已知平面内⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 考试考法 27 返回 【答案】 D 【点拨】∵⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径．∴点A在⊙O外，点B在⊙O上．∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选D. 考试考法 28 直线与圆的位置关系 定义 性质 判定 相离 相切 相交 公共点的个数 d 与 r 的数量关系 定义法 性质法 特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段 相离：0个 相切：1个 相交：2个 相离：d>r 相切：d=r 相交：d<r 0个：相离；1个：相切；2个：相交 d>r：相离 d=r：相切 d<r：相交 课堂小结 谢谢观看！ 【点拨】如图，连接OB，作OC⊥AB于点C. ∵⊙O的半径为5 cm，直线l交⊙O于A，B两点， 且弦AB＝8 cm，∴BO＝5 cm，BC＝AB＝4 cm. ∴由勾股定理得OC＝3 cm. ∴要使直线l与⊙O相切， 则需要将直线l向下平移2 cm. 【点拨】如图，连接CD.∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝＝5.∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝CD＝2.5.∵2.5＞2，∴点A在圆外，点C在圆外．故选项A正确， 不符合题意；选项B不正确， 符合题意． 如图，作DE⊥AC于点E，易知DE＝BC＝2.故⊙D与直线AC相切．故选项C正确，不符合题意．如图，过D作DF⊥BC于F，易知DF＝AC＝＜2. ∴⊙D与直线BC相交． 故选项D正确，不符合题意． 【点拨】如图，设⊙C与AB所在的直线相切于点D，连接CD，则AB⊥CD. ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝.∴r＝. 2＋1 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________． 【点拨】如图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值．设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB，则OE⊥BC， OF⊥AB.∵AC＝6，BC＝2， ∴AB＝＝4. 易得∠ABC＝60°.易证Rt△OBF≌Rt△OBE， ∴∠OBF＝∠OBE＝30°.∴OB＝2OF＝2. ∴BF＝＝. ∴AF＝AB－BF＝3.∴OA＝＝2. ∴AD＝2＋1. $