精品解析：河北省邯郸市旭日中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025－2026学年上学期高三年级12月份考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式，把集合化简，再根据集合运算法则可得答案. 【详解】由得：，即， 所以，所以． 故选：C． 2. 函数的图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质求出对称轴方程. 【详解】由，解得. 当时，，即一条对称轴为. 故选：B. 3. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模的性质，结合数量积的运算律及定义求得正确答案. 【详解】由． 故选：A 4. 已知为抛物线的焦点，若抛物线的准线与轴的交点为，点为抛物线上一点，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出点的坐标并确定的形状，再求出面积. 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由，得，抛物线，设点， 由，得，解得，因此， 所以的面积为. 故选：B 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦并结合二倍角的正弦公式求出，再利用同角公式及和角的正弦公式求解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，则， 所以． 故选：B 6. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，列方程求出，进而可得，即可求解. 【详解】设公差为，则，所以， 又，所以，解得， 所以，则， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动点坐标，由题意建立方程，化简后得到动点轨迹为圆，写出圆心和半径.先求得圆心到直线的距离，即可得到动点到直线的距离的取值范围. 【详解】设，由题可得， 两边平方并化简得，故点在圆心为（8，4），半径为的圆上， 而圆心到直线的距离为， 故点到该直线的距离的取值范围为，即． 故选C． 8. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出侧面与底面的夹角对应的平面角，结合面积关系及基本不等式得到的关系，求出三棱锥的体积最小时的值，进而求出三棱锥的外接球的表面积. 【详解】不妨设，作交于点，如图所示， 因为两两相互垂直，所以，， 又平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以，则为侧面与底面的夹角，即. 在中，， 因为， 所以，即 又，所以（当且仅当时取等号）. （当且仅当时取等号）. 当三棱锥体积最小时，，设外接球半径为， 则，解得. 所以外接球的表面积． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 是方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数模的运算及除法运算求得，然后根据共轭复数的概念得，求解虚部判断A；利用几何意义求出对应点判断B；利用乘法运算求解判断C；结合复数的运算代入即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，则， 所以，所以的虚部为，故A错误； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，，故错误； 对于D，因为， 所以是方程的一个根，故D正确． 故选：BD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D. 一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项分布的方差判断A选项；根据正态分布的对称性判断B选项，根据条件概率与事件的独立性判断C选项，根据超几何分布的概率公式判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项错误； 对于B选项，由，故B选项正确； 对于C选项，由，有，可得事件与相互独立，故C选项正确； 对于D选项，由，解得或6，故D选项错误． 故选：BC 11. 已知函数，其中且，则（ ） A. 若，则在点处的切线方程为 B. 若，则恰有两个零点 C. 有且仅有2条经过原点的切线 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，求时的导数得切线斜率，结合，利用点斜式写出切线方程.选项B，分析时导数的单调性，确定极值点，结合，判断零点个数为2.选项C，设切点横坐标，通过切线过原点建立方程，化简后得唯一切点横坐标，故仅1条过原点的切线.选项D，由，结合导数分析的最小值在处，令此处导数为0，解得使. 【详解】A选项，若，则， 又，所以在点处的切线方程为， 故A选项正确； B选项，为增函数，， 所以存在，使得为的极小值点，且有且仅有这一个极值点， 又因为，所以恰有两个零点，故B选项正确； C选项，，设切点横坐标为，则， 即，所以，有且仅有1条过原点的切线，故C选项错误； D选项，由，若恒成立，则必为的最小值点. 求导得，令，解得，即. 此时，当时，递减； 当时，递增，故在处取最小值0，满足，D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：10，20，30，30，30，40，50，60，70，80，记这组数据的第80百分位数为，众数为，则_____． 【答案】35 【解析】 【分析】根据百分位数和众数的定义求解. 【详解】由，则，又，可得. 故答案为：35. 13. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】， 因为式子对任意都有意义， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为上奇函数， 所以， 所以不等式可化为， 又，，都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先通过双曲线的定义建立与的关系，再利用三角形的正余弦定理将“角”与“双曲线参数”关联，最终解出渐近线的斜率. 【详解】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得，然后根据角的范围求解即可； （2）利用三角形面积公式得，结合得，进而利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 由正弦定理及，有． 又由，所以，所以． 又由，有，又，可得． 【小问2详解】 由的面积为，有，可得． 由，有，可得， 又由余弦定理，有，故． 16. 如图，在直三棱柱中，，为中点，，． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得平面，从而有，利用几何关系得，再由线面垂直的判定及性质，即可求解； （2）建立空间直角坐标，求出平面和法向量，利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以， 则，又，所以， 则，又，平面，所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则，所以， 由（1）可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，记其中一个零点为，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到，再通过，讨论讨论符号即可求解； （2）由（1）通过函数零点个数确定，，再通过，确定，进而将转换成，构造函数，求导确定单调性即可求证. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 当时，，此时在单调递减； 当时，令， 时，在单调递增， 时，，在单调递减， 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 【小问2详解】 由（1）知若在单调递减，至多有一个零点，不合题意． 若，当时，，当时，， 若有两个零点，则，即， ， 要证，即证，即证， ， 即证，即， 令， ， 在单调递减， ，即得证． 18. 设椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将直线与椭圆的方程联立，再结合离心率即可求解； （2）设直线，联立椭圆方程，结合即可求解； （3）设，由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则， 当直线垂直于轴时，将直线与椭圆的方程联立可得， ，解得， 所以， 又，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题设得，设，直线． 由，得， 设，则，（当且仅当时取等号，此时） 所以的面积的最大值为． 小问3详解】 不妨设，则 代入和， 可得， 若为定值，则，解得， 所以轴上存在定点，使得为定值. 19. 若数列的各项均为正整数，且，则称为“优数列”.已知优数列的首项为1，对于任意正整数，记的所有可能取值组成的集合为，并将的元素个数记为，的所有元素之和记为． （1）求； （2）证明：数列是“优数列”； （3）若，求正整数的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“优数列”的定义，结合数项，分析和的可能取值. （2）求出的表达式，表示出，进而得到的表达式，根据“优数列”的定义进行判断. （3）由（2）求出表达式，进而得到表达式，结合已知条件逐步分析求解即可. 【小问1详解】 依题意，，又，所以，故的所有可能取值为2，3， 又，所以，当时，的所有可能取值为3，4，5； 当时，的所有可能取值为4，5，6， 所以的所有可能取值为3，4，5，6，即． 【小问2详解】 当时，，又 当时，； 当时，显然成立， ，， ，， 是“优数列”． 【小问3详解】 由（2）可知中的元素为连续正整数，其构成等差数列， ，. 若，不妨设，则， ，， 不妨设，则，即， ，，且和均为正整数， 和均为9的正约数，，且， ，，， 存在唯一的正整数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期高三年级12月份考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知为抛物线的焦点，若抛物线的准线与轴的交点为，点为抛物线上一点，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（ ） A B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C D. 是方程的一个根 10. 下列说法正确是（ ） A. 若随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D. 一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 11. 已知函数，其中且，则（ ） A. 若，则在点处的切线方程为 B. 若，则恰有两个零点 C. 有且仅有2条经过原点的切线 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：10，20，30，30，30，40，50，60，70，80，记这组数据的第80百分位数为，众数为，则_____． 13. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求． 16. 如图，在直三棱柱中，，为中点，，． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，记其中一个零点为，证明：． 18. 设椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，求的面积的最大值； （3）试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由． 19. 若数列的各项均为正整数，且，则称为“优数列”.已知优数列的首项为1，对于任意正整数，记的所有可能取值组成的集合为，并将的元素个数记为，的所有元素之和记为． （1）求； （2）证明：数列是“优数列”； （3）若，求正整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $