4.1 数列的概念（第二课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦数列的递推公式和前n项和公式，通过回顾上节课数列定义、表示方法及函数本质，提出无法直接写通项公式时的表示问题，自然衔接旧知引入新知，搭建学习支架。 以谢尔宾斯基三角形、斐波那契数列等实例驱动，引导学生从具体到抽象，培养用数学眼光观察现实世界的能力。通过问题链推导前n项和与通项关系，强调分类讨论，发展逻辑推理和数学运算素养。练习分层且联系生活，帮助学生用数学语言表达现实，提升学习兴趣，也为教师提供清晰教学路径，落实核心素养。

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《4.1数列的概念（第二课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 理解数列的递推公式和前n项和公式的概念，掌握递推公式与通项公式、前n项和公式与通项公式的联系，能运用相关公式解决简单问题. 课标分析 课标强调数列作为特殊函数的本质，要求学生通过实例感知递推关系和前n项和的意义，建立数列不同表示方法之间的关联.这一要求既衔接了数列概念的第一课时内容，又为后续等差数列、等比数列的学习奠定基础，注重培养学生的逻辑推理和数学运算素养. 2、 教材分析 本节课选自人教A版高二数学必修内容，是数列概念的延伸与深化.教材通过谢尔宾斯基三角形、斐波那契数列等实例，引出递推公式的概念，再通过前n项和的定义建立其与通项公式的联系，形成“定义—联系—应用”的知识结构.教材注重从具体到抽象的思维引导，通过问题链推动学生探究，既巩固了数列的函数本质，又拓展了数列的表示方法，是连接基础概念与复杂数列问题的关键课时. 3、 学情分析 学生在第一课时已掌握数列的定义、通项公式、性质等基础内容，具备了从序号与项的关系分析数列的能力，但对相邻项之间的递推关系和前n项和与通项的转化尚缺乏认知.高二学生逻辑推理和数学运算能力已有一定发展，能够通过实例观察、归纳规律，但在抽象概括递推公式定义、严谨推导前n项和与通项的关系时可能存在困难，需要教师通过具体实例和分步引导突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 教学目标 1. 理解递推公式和前n项和公式的定义，能根据递推公式写出数列的前几项. 2. 掌握前n项和公式与通项公式的转化关系，能由前n项和公式求通项公式. 3. 能运用递推公式和前n项和公式解决简单的数列问题. 核心素养目标 1. 逻辑推理：通过实例归纳递推公式的定义，推导前n项和与通项的关系，提升归纳推理和演绎推理能力. 2. 数学运算：熟练进行前n项和与通项的转化计算，强化数学运算素养. 3. 数学抽象：抽象概括递推公式、前n项和公式的本质，建立数列不同表示方法的关联，发展数学抽象能力. 5、 教学重难点及课时安排 教学重点 1. 递推公式和前n项和公式的定义理解. 2. 前n项和公式与通项公式的转化关系及应用. 教学难点 1. 递推公式的抽象概括及应用. 2. 由前n项和公式求通项公式时，对n=1和n≥2的分类讨论. 六、教学过程 环节一：检查预习 环节二：创设情境，导入新课 1. 提问学生回顾上节课重点知识： · 数列的定义：按照确定顺序排列的一列数，每一个数称为数列的项. · 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法（，其中）. · 数列的本质：定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数. 1. 点评学生回答，强调“通项公式能直接求任意项”的优势，同时提出疑问“若无法直接写出通项公式，如何表示数列的规律？”，自然引入本节课内容. 环节三：合作探究 问题2 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式． 师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号-1.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是. 追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 师生活动：教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形．于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍．学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出.教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是写成.教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律.通项公式反映的是项与序号之间的关系.而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系.根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推. 问题3 什么是一个数列的递推公式？ 师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了. 追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？ 师生活动：教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：.教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质. 追问（2）：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？ 师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和上节课学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用. 1. 递推公式的概念（7分钟）： (1) 展示谢尔宾斯基三角形实例：如图4.1-3，4个大三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27，引导学生观察这列数的规律. (2) 提问：“后一项与前一项有什么关系？能否用式子表示这种关系？”，组织学生分组讨论，得出：从第2项起，每一项都是前一项的3倍，即，. (3) 再给出斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，引导学生发现：从第3项起，每一项等于前两项之和，即，，. (4) 抽象概括递推公式的定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做数列的递推公式.强调：已知首项（或前几项）和递推公式，就能求出数列的每一项. 1. 前项和公式与通项公式的关系（8分钟）： (1) 定义前项和：数列的前项和，特别地，. (2) 引导学生思考：当时，与有什么联系？学生易得出，进而推导得. (3) 追问：“当时，如何表示？”，强调时，，需单独验证，避免遗漏. (4) 总结转化公式：，并提醒学生：用求出通项后，需验证时是否满足，若满足则合并，不满足则分段表示. 环节四：学以致用 基础练习（5分钟）： 例1：已知数列的首项，递推公式为，求该数列的前5项. 解：； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故前5项为. 例2：已知数列的前项和，求的通项公式. 解：当时，； 当时，； 验证时，，满足通项； 故的通项公式为. 让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误. 综合练习（7分钟）： 例3：已知数列的前项和，求的通项公式. 解：当时，； 当时，； 验证时，，不满足； 故的通项公式为. 例4：已知数列满足，，求数列的前4项，并猜想通项公式. 解：； ； ； ； 观察规律：，，，，猜想. 例5：判断下列说法正确的选项（多选）： A. 递推公式与确定的数列是等比数列（正确）； B. 若数列的前项和，则（正确，验证时）； C. 数列满足，，则（正确，，，，）； D. 若，则（正确，时，时）. 答案：ABCD 引导学生分析题目，展示解题思路和过程，强调解题要点，如递推公式的应用步骤、前项和与通项转化的验证环节等. 小试牛刀： 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容，包括递推公式的定义与特征、前项和公式的概念、与的转化公式等. 1. 教师进行补充和完善，强调重点知识：递推公式需结合首项（或前几项）才能唯一确定数列；与转化时的验证不可省略；数列的表示方法可根据实际情况灵活选择. 环节六：布置作业 1. 布置作业： 书面作业：完成课本第8页练习第2、4题；补充题：已知数列满足，，求和通项公式（答案：，）. 拓展作业：观察生活中可用递推数列描述的现象（如细胞分裂、树木生长的分枝数等），记录规律并尝试写出递推公式. 1. 预习引导：预习“等差数列”，思考：若数列满足（为常数，），该数列有什么规律？如何推导其通项公式？ 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过实例探究、阶梯式练习帮助学生理解抽象概念，重点突破了递推公式应用、与转化两个核心难点.但部分学生对递推公式的灵活运用仍存在困难，尤其是复杂递推关系的分析能力不足；在与转化时，仍有学生忽略的验证步骤.后续教学中，需增加不同类型递推公式的练习（如累加法、累乘法），强化分类讨论思想的渗透；同时，通过错题辨析、小组互评等方式，规范学生的运算步骤，提升学生的逻辑严谨性，进一步落实数学核心素养的培养. 学科网（北京）股份有限公司 $