5.4 角平分线的性质 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质（1） 01 教学目标 02 新知导入 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容，能运用定理进行简单证明、计算与作图。 01 通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。 02 感受几何图形的严谨性，培养用数学语言精准描述图形性质的习惯。 03 3 02 新知导入 回顾 什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 4 03 新知探究 探究 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 你有什么方法进行比较？ ①度量 ②圆规 ③折叠 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 5 03 新知探究 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 6 03 新知探究 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 03 新知探究 思考 角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 命题 举反例 假命题 证明 真命题 几何题没有图案应该怎么办？ 03 新知探究 如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 03 新知探究 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ 点P在∠AOB的角平分线上. 03 新知探究 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC. 例1 证明:（1） 在△ABC中， 因为∠1=∠2， 所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上. 03 新知探究 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC. 例1 证明:（2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD=∠CBD， 从而BD平分∠ABC. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是(　　) A．12 B．15 C．18 D．24 B 13 04 课堂练习 2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 C 14 04 课堂练习 3.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　) A．3 B．2 C． D． B 15 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.如图，△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=7.5,CD=4，则△ABD的面积是　 　. 15 04 课堂练习 5.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E和F，若PE=6，则PF=　 　． 6 04 课堂练习 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，DE⊥BC，垂足为点E，AD=DE，∠B=32°，则∠BCD的度数为　 　． 29° 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC=50°，∠EBC=20°，求∠ADC的度数． 解：∵AD平分∠BAC，BE是高线，且∠BAC=50° ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25° ∵∠BEA=90° ∴∠ABE=180°-∠BAC-∠BEA=40° ∴∠ADC=∠ABE+∠EBC+∠BAD=85° ∴∠ADC的度数为85° 19 05 课堂小结 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 06 作业布置 【知识技能类作业】 1.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5 B．15 C．17 D．34 C 06 作业布置 2.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BPR≌△QSP，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ B 06 作业布置 3.如图，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，且OD⊥BC于点D，△ABC的周长为24cm，OD=3cm，则△ABC的面积为　 　． 36cm2 06 作业布置 【综合拓展类作业】 4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=9，AC=6，BC=10． （1）求△ABD与△ACD的面积之比； （2）求CD的长． （1）解：如图，过点作于点，作于点，  ∵在中，是它的角平分线， ∴， ∵，， 06 作业布置 ∴， ， ∴， ∴与的面积之比为． 06 作业布置 （2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 由（1）已得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 07 板书设计 角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理的逆定理： 5.4 角平分线的性质（1） 习题讲解书写部分 $