精品解析：河南省南阳市方城县2025-2026学年八年级上学期期中阶段性调研数学试卷

2025年秋期期中八年级阶段性调研数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是． 故选D． 2. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是幂的运算．熟练掌握同底数幂的乘除法法则和幂的乘法的计算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘除法法则和幂的乘法的计算法则，逐一分析每个选项的计算结果是否正确． 【详解】解：A. ，该选项是错误的，不符合题意； B. ，该选项是错误的，不符合题意； C. ，该选项是正确的，符合题意； D. ，该选项是错误的，不符合题意． 故选：C． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、补角、平行线的判定和性质等知识．根据对顶角的性质可判断A；根据等角的补角相等可判断B，根据平行线的性质和判定定理可判断C、D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 5. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 6. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．因式分解的定义是把多项式化为几个整式的乘积的形式，据此判断即可． 【详解】解：A、右边为，不是积的形式，不符合因式分解的定义； B、右边含分式，不是整式，不符合因式分解的定义； C、，符合因式分解的定义； D、右边为多项式，不是积的形式，不符合因式分解的定义． 故选：C． 7. 化简，结果为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，合并同类项，能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 由同底数幂乘法运算得，提出，得到，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A， 8. 如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可得，再根据，即可得． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 9. 如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形的面积为（ ） A. 25 B. 5 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 先设，根据题意求出，再根据完全平方公式的变形得，然后整体代入求出答案. 【详解】解：设，根据题意，得 ∴. ∵， ∴， 解得， 所以长方形的面积为. 故选：B. 10. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的面积是，其边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一个正方形的面积是， ∴其边长是， 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________． 【答案】等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 14. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，   故答案为：2． 15. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分三种情形，利用等边对等角、三角形内角和定理求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，满足条件的点有三个， ∵， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先进行乘方开方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，若，． （1）求证：； （2）如图，连接交于点，请判断与的位置关系并证明． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） ，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）利用判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由“三线合一”得到，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） （2）用配方法分解因式：； （3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 19. 如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是等腰三角形的底边上的高， ． ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到平分，则，再利用平行线的性质得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论； （2）先根据等腰三角形的性质得出，则，根据平行线的性质得出，进而得出，得出，根据（1）知，进而得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰三角形，， ， ． ， ， ． 由（1）知， ． ． 20. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算括号内的运算，再计算整式的除法，然后根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，最后代入求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴，， 解得：，， 则原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、绝对值的非负性、偶次方的非负性，掌握整式的化简方法是解题关键． 21. 小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． （1）请补全方案中的空白①_____；②____； （2）请分别说明小刚这两种方案测量的理由； （3）你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 【答案】（1）①；② （2） 理由如下， 方案一，在和中， ， ∴， ∴． 方案二，在和中， ， ∴， ∴． （3）方案二 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，读懂题意，找出全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到答案． （2）证明和全等，即可完成证明． （3）长度测量比角度测量更容易，故方案二更容易操作、测量的结果更准确． 【小问1详解】 解：①；②． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：方案二更容易操作、测量的结果更准确． 22. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图）． （1）图②中的阴影部分的面积为_____；（用含的代数式表示） （2）观察图②请你写出、、之间的等量关系是_____； （3）若，，求的值； （4）实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图③，因式分解：______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）根据阴影部分是一个边长为的正方形即可求解； （）根据阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积，再结合（）的结果即可求解； （）利用（）的等量关系解答即可； （）根据图形解答即可求解； 本题考查了完全平方公式及因式分解，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图②可知，阴影部分是一个边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图②可知，阴影部分的面积又可以看作大正方形的面积减去四个长方形的面积， 即阴影部分的面积为， 由（1）知：阴影部分的面积为， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：由图可得，， 故答案为：． 23. （1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或20． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中八年级阶段性调研数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、考场、座位号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将其序号填写在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列四个实数中，比大的无理数是（ ） A. 0 B. C. D. 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补 5. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简，结果为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，将一个底角大于的等腰三角形沿对称轴对折后，再沿剪掉一个的角，展开后得到如图所示的四边形．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形的面积为（ ） A. 25 B. 5 C. 15 D. 10 10. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个正方形的面积是，其边长是______． 12. 因式分解：_________． 13. 如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________． 14. 如图，，，，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，已知，是射线上的一个动点，若为等腰三角形，则的度数为_________________． 三、解答题（本题含8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，若，． （1）求证：； （2）如图，连接交于点，请判断与的位置关系并证明． 18. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） （2）用配方法分解因式：； （3）用配方法求代数式的最小值． 19. 如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 先化简，再求值：，其中a，b满足：． 21. 小刚想知道一堵墙上点到地面的高度，已知，但是测量的皮尺无法到达点，无法直接测量，于是小刚想到了刚刚学过的全等三角形的知识，设计了如下的两种方案进行测量： 方案一： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点； 第三步：测量线段①_______的长度，即为点到地面的高度． 方案二： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记下的长度； 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，测得时停止，标记此时直杆的底端点为； 第三步：测量线段②_______的长度，即为点到地面的高度． （1）请补全方案中的空白①_____；②____； （2）请分别说明小刚这两种方案测量的理由； （3）你认为这两种方案哪个更容易操作、测量的结果更准确呢？_____（填“方案一”或“方案二”不需说明理由）． 22. 如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图）． （1）图②中的阴影部分的面积为_____；（用含的代数式表示） （2）观察图②请你写出、、之间的等量关系是_____； （3）若，，求的值； （4）实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图③，因式分解：______． 23. （1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $