5.2.2 同角三角函数的基本关系 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦同角三角函数基本关系，课前回顾三角函数概念与符号，通过特殊角值计算、小组合作推导公式，结合问题引领从特殊到一般构建知识，形成旧知到新知的学习支架。 以小组合作探究为特色，通过特殊到一般推导公式培养推理意识，强调解题步骤（定象限、分类讨论）提升应用能力，注重数学思维与符号表达，助力学生掌握核心素养，适合课堂教学使用。

同角三角函数的基本关系（导学案） 一、课前回顾 1．三角函数的概念 设角终边上任意一点，点到原点的距离为，则： 正弦函数：，余弦函数：，正切函数： 2．三角函数的符号（正负） 三角函数值的符号由角所在的象限决定 二、学习目标 1．能通过三角函数的定义，自主推导出同角三角函数的基本关系，理解＂同角＂的核心内涵。 2．熟记并理解同角三角函数的基本关系式，明确公式的适用条件。 3．能熟练运用同角三角函数的基本关系及变形公式，完成三角函数式的化简与求值，掌握分类讨论、转化与化归的数学思想。 三、合作探究 1．小组任务1：特殊角三角函数值规律探究 以学习小组为单位，完成下表的计算，并观察和的取值规律，提出猜想。 2．小组任务2：公式推导验证 结合三角函数的定义，小组合作推导猜想的关系式，验证其对任意角（或满足条件的角）是否成立，并派代表展示推导过程。 3．小组任务3：基础公式巩固 完成下列填空，强化对＂同角＂概念的理解： （1） （2） （3） 四、问题引领，知识探究 1．问题1：从特殊到一般，推导平方关系 引领问题：由特殊角的计算可知，能否结合三角函数定义证明该式对任意角都成立？ 知识探究： 根据三角函数定义则 又因为，即，因此，该关系对任意角恒成立，此为平方关系。 2．问题2：推导商数关系，明确适用条件 引领问题：与的商和有什么关系？该关系成立的前提是什么？ 知识探究： 由于为分母，需满足，即，此为商数关系。 3．问题3：推导公式常用变形 引领问题：由基本关系可以得到哪些常用变形公式？这些变形有什么应用价值？ 知识探究： 平方关系变形： 商数关系变形： 五、例题与变式训练 例1已知，求的值。 变式1 例2已知，求的值。 变式2已知，求的值。 六、当堂检测 （1）已知，且为第二象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． （2）已知，且为第二象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． （3）已知，则（ ） A． B． C． D． 七、课堂小结 1．知识层面 （1）基本公式 平方关系：（任意角） 商数关系： （2）变形公式 2．解题层面 （1）已知三角函数值求其余值：先定象限→再用公式→最后分类讨论（象限不明确时）； （2）齐次式求值：分子分母同除以或，实现＂弦化切＂。 八、课后作业 完成课本P185习题5.2第6题 2 学科网（北京）股份有限公司 $