25.2 平行线分线段成比例 （教学课件）-2025--2026学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”核心内容，涵盖基本事实及推论。通过复习线段比、成比例线段旧知，结合分绳子实际问题导入，搭建从已有知识到新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，如分绳子任务激发探究欲；通过“A”“X”型图形分析和例题推理发展数学思维，小试牛题强化应用。课堂小结提炼基本图形与辅助线方法，助力学生构建知识体系。教师可直接用其例题练习提升效率，学生能在探究中发展几何直观与推理意识。

25.2 平行线分线段成比例 第1课时 1 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 情景导入 1.什么是线段的比? 2.什么是成比例线段? 3.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2 ∶ 3？ 2 探索新知 1 知识点 平行线分线段成比例的基本事实 问 题 1.在下图中，所有已知条件如前所述，结合下列条件回答： 线段AB，BC之间具有什么关系? 等于多少? 相等吗? 请说明理由. (1)在图(1)中，d1＝1，d2＝2. (2)在图(2)中，d1＝2，d2＝3. 3 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 2.猜想：在图25-2-1中， 相等吗? 　 　　事实上，经过观察、测量、验证等过程，我们发现：一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离之比. 4 探索新知 归 纳 基本事实　两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例. 5 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例． 数学表达式：如图， ∵l3∥l4∥l5， ∴ 可简记为： 6 探索新知 要点精析： (1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行； (2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关； (3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等． 2.易错警示：当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线． 7 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(　 　) A. B. C. D. 例1 C 8 探索新知 导引： 本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断． 根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例的基本事实可得解． ∵ AB∥CD∥EF， ∴ 故选项A，B， D正确． ∵CD∥EF，∴ 故选项C错误. 9 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 总 结 　　在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．  10 1　如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE=1，则EF 的值为(　　) A． B． C．6 D． 典题精讲 A C B D E F l3 l1 l2 B 11 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 典题精讲 2 如图，已知直线a∥b∥c，直线m 交直线a，b，c于点A，B，C，直线n 交直线a，b，c于点D，E，F，若 等于(　　) A. B. C. D．1 B 12 典题精讲 3 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC 与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则 的值为(　　) A. B．2 C. D． D 13 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 2 知识点 平行线分线段成比例的基本事实推论1 已知：如图25-2-3，直线EF平行于△ABC的边BC，与BA，CA(或它们的延长线)分别相交于点E，F. 求证： 14 探索新知 　　事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)，过点A作PQ∥EF，那么PQ//EF//BC.依据平行线分线段成比例的基本事实，即得　　　　　 15 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 　　因为　　　　　 所以 　　对于图25-2-3(2)的情形，如图25-2-4(2)，同理可得 16 探索新知 归 纳 　　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 17 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 1.数学表达式：如图， ∵DE∥BC， ∴ 2.要点精析： (1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况． (2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段． 18 探索新知 已知：如图，在△ABC 中，EF∥BC，EF与两边AB，AC分别相交于点E，F. 求证： 例2 19 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 证明： ∵EF∥BC, ∴ 如图，过点 E 作EG∥AC， EG 与边BC 相交于点G， 则 ∵EF∥BC，EG∥AC， ∴四边形EGCF 为平行四边形，从而GC＝EF. 20 探索新知 总 结 　　利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线段长时，关键要扣住由平行线截得的线段间的对应关系，相同位置的线段写在相同的位置上． 21 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 典题精讲 1　 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 等于(　　) A. B. C. D. C 22 典题精讲 2　如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是(　　) A．OC∶OD＝OA ∶ OB B．OC ∶ OD＝OB ∶ OA C．OC ∶ AC＝OD ∶ DB D．BD ∶ AC＝OD ∶ OC B 23 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 3 知识点 平行线分线段成比例的基本事实推论2 　　平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例． 24 探索新知 如图，在△ABC中，EF∥BC， BC＝9， 则 和EF 分别是(　　) A. ，3 B. ，6 C. ，9 D．无法确定 例3 A 25 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 因为EF∥BC，所以 BC＝9， 所以 所以EF＝3. 答案：A 分析： 26 探索新知 总 结 　　本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段成比例基本事实的推论建立有关线段的比例式，通过比例式把线段的长代入，通过解方程求出线段的长． 27 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 探索新知 1　如图所示，在 ABCD中，点E 为AD 的中点，连接BE，交AC 于点F，则AF ∶ CF 等于(　　) A．1 ∶ 2 B．1 ∶ 3 C．2 ∶ 3 D．2 ∶ 5 A 28 小试牛刀 1.下列各组线段中不是成比例线段的是(　　) A. 3m、4m、5m、6m B. 1cm、5cm、0.8cm、4cm C. 2.4m、1.5m、1.2m、0.75m D. 2cm、3cm、4cm、6cm A 2.两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、B两地相距为40 cm，则A，B两地的实际距离是(　　) A. 800m B. 8000m C. 32250cm D. 3225m A 29 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 小试牛刀 3.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是(　　) A. B. 3 C. 5 D. B 4.如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于(　　) A. 1：2 B. 2：3 C. 1：3 D. 2：5 C 30 小试牛刀 5.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于__________ ． 5：8 6.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是__________． 31 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 小试牛刀 7.如图，已知AC∥FE∥BD，求证： 32 小试牛刀 证明： ∵AC∥EF，∴ ①. ∵FE∥BD， ∴ ②.①＋②，得 即 33 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 小试牛刀 8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F. 求证：DE＝EF. 34 小试牛刀 证明： ∵DE∥BC，∴ ∵点D为AB 的中点，∴AD＝DB，即 ＝1. ∵CF∥BA， ∴ ∴DE＝EF. 35 在绝对值方程的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学文化的学习过程中，评估是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。海伦公式的教学重点应该放在如何标准化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 课堂小结 　　平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例．利用平行线得线段成比例的基本思路： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“ 型” 或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线． 36 $