黑龙江省佳木斯市第二中学2025-2026学年高三上学期第一次调研考试数学试题

佳木斯市第二中学高三第一次调研考试 数学试卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟。 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。 （3）、保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第I卷（选择题） 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 一、单选题 1．设函数，则（   ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则（   ） A．45 B．9 C．18 D．36 3．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 4．若等比数列满足，，则数列的公比等于（   ） A．或 B．或 C． D． 5．若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知今天是星期四，则天后是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 8．已知函数，若，则的最大值为（    ） A． B． C．e D． 二、多选题 9．若的展开式的各二项式系数之和为32，则（ ） A． B．展开式中所有项的系数和为32 C．展开式中常数项为32 D．展开式中x的奇次项的系数和为123 10．下列说法中，正确的是（    ） A．若随机变量，则方差 B．在的展开式中的系数是80 C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．若随机变量的分布列为，则 11．已知随机变量服从正态分布，下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．已知随机变量，则 . 13．已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时， 14．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 四、解答题 15．竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表： 学习竹编次数 0 1 2 3 4 5 6 合计 男 1 3 5 7 9 9 6 40 女 5 6 7 7 6 5 4 40 合计 6 9 12 14 15 14 10 80 (1)若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系； 性别 学习竹编 合计 后起之秀 先锋 男生 女生 合计 (2)若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求和：. 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《佳木斯市第二中学高三第一次调研考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A D B A AC BD 题号 11 13 答案 ABC B 1．B 【分析】根据乘法的求导公式直接求导，进而得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 2．C 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，. . 故选：C. 3．B 【分析】利用分步乘法计数原理，组合计数问题列式求解. 【详解】从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师， 所求的不同方法种数为. 故选：B 4．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 5．A 【分析】对函数求导后，由题意可知恒成立，则，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数不存在极值， 所以在上恒成立， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 6．D 【分析】根据概率的乘法公式及条件概率公式计算即可. 【详解】因为 ， ， 所以， 因为 ，所以 ． 故选：D. 7．B 【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论. 【详解】， 故 ． 前面7项均能被7整除，则被7整除余5， 故天后是星期二． 故选：B. 8．A 【分析】根据恒成立确定的关系式，从而将转化为只有的式子，再利用导数讨论单调性求最值即可. 【详解】因为，且函数和都是上的增函数，故若恒成立， 则函数和的零点相同， 所以，则， 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，所以最大值为， 故选：A. 9．AC 【分析】由二项式系数和公式可得即可确定A；取求得展开式的系数和判断B；求出常数项判断C；利用赋值法可求x的奇次项的系数和判断D. 【详解】根据题意，展开式的各二项式系数之和为，故A正确； 取，所以展开式中所有项的系数和为，故B错误； 展开式中常数项为，故C正确； 设， 则时，， 时，， 两式相减得，则，故D错误； 故选：AC. 10．BD 【分析】对A，根据二项分布的方差公式和和方差的性质即可判断；对B ，根据二项展开式的通式即可计算；对C，利用残差定义即可判断；对D，首先根据分布列特点求出，再代入计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，在的展开式中，， 当时，，此时的系数，故B正确； 对于C，样本点与的残差相等，则有得，故C错误； 对于D，，得，故D正确， 故选：BD． 11．ABC 【分析】由正态分布的对称性可判断A，D；由方差的性质可判断B，当时，，利用正态分布的对称性即可判断C. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：当时，，，故C错误； 对于D：由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：ABC． 12．8 故答案为：8 13． 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的公式，即可求解. 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 14．25 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 15．(1)据小概率值的独立性检验，能认为性别因素与学习竹编有关系； (2)分布列见解析，数学期望为1.8. 【分析】（1）完善列联表，再计算的观测值，与临界值比对作答. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 学习竹编 合计 后起之秀 先锋 男生 9 31 40 女生 18 22 40 合计 27 53 80 零假设为：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关， 根据列联表的数据计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． （2）样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生， 则的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以所求分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16．(1) (2) 【分析】（1）当时，得，当时，用替换已知式中的得另一等式，两式相减可求得； （2）根据错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，即， 经检验，当时不满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）令，由（1）可得 ， ， 两式相减得， 即， 化简得. 17．(1)在上为减函数，在上为增函数 (2). 【分析】（1）求导可得，可求单调区间； （2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，所以， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 综上所述：在上为减函数，在上为增函数； （2）若，不等式恒成立， 则对均成立，所以 令， 则， 令，显然为上的减函数， 又， 所以，，则在上为增函数， 当时，，则在上为减函数， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $