精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学 试2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中限时作业 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；分值：130分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2025年1月15日，的横空出世，极大的提振了中国人的民族自信心和自豪感，打破了美国利用AI阻击中国的企图，让我们免于被孤立和边缘的风险．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　） A. CF B. BE C. AD D. CD 3. 的三边分别为a，b，c，若，，c的长为偶数，则的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 5. 如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（ ） A. 与互余的角只有 B. 点到的距离是的长 C. D. 若，则 6. 下列说法不正确的是 （ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C. 圆有无数条对称轴 D. 等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 7. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则这根芦苇的长度是（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 9. 如图，在中，，，，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．当与全等时，当点Q的运动速度是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分.只要求填写最后结果. 11. 线段的对称轴是_______． 12. 小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是：_______． 13. 如图，在，，是边上的高，，，则_______． 14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______． 15. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是________． 16. 如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 17. 如图，，的垂直平分线交于点，若，则下列结论正确的是______（填序号）① ②是的平分线 ③是等腰三角形 ④的周长. 18. 观察下列几组勾股数，并填空：①4，3，5，②6，8，10，③8，15，17，④10，24，26，⑤12，35，37，…则第⑦组勾股数为________． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，与相交于点O，且，． （1）求证：； （2）与全等吗？并说明理由． 21. 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘两端F、C之间的长度． 22. 如图，，D是的中点，平分． （1）试说明：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 23. 一个如图形状的零件，其中， ，求这零件的面积． 24. 某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？ 25. 课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 附加题 26. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中限时作业 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；分值：130分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2025年1月15日，的横空出世，极大的提振了中国人的民族自信心和自豪感，打破了美国利用AI阻击中国的企图，让我们免于被孤立和边缘的风险．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 2. 如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　） A. CF B. BE C. AD D. CD 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B． 考点：三角形的角平分线、中线和高． 3. 的三边分别为a，b，c，若，，c的长为偶数，则的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，这是判断第三边范围的主要依据．先根据已知两边求得第三边的范围，再根据第三边为偶数求得第三边的长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：，， ，即， c的长为偶数， ， 的周长为， 故选：C． 4. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据“角边角”证明两个三角形全等，即可求解． 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到原三角形全等的三角形． 故选：B 5. 如图，在中，，，垂足为．下列说法不正确的是（ ） A. 与互余的角只有 B. 点到的距离是的长 C. D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、， ， ， ， 与互余的角有与两个角，故本选项错误； B、点到的距离是的长，故本选项正确； C、，， ，故本选项正确； D、， ， 解得，故本选项正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余的性质和同角或等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6. 下列说法不正确的是 （ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C. 圆有无数条对称轴 D. 等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质，轴对称的性质，由题意根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质一一判断即可． 【详解】解：．角平分线上的点到这个角两边的距离相等是角平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是线段的垂直平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴，说法正确，故该选项不符合题意； ．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，而不是底角的平分线所在的直线，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值． 【详解】 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM， ∴PA=PQ=2， 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则这根芦苇的长度是（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中， ， 即， 解得：， ∴， 故芦苇长13尺， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 9. 如图，在中，，，，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．当与全等时，当点Q的运动速度是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、路程速度时间的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是解决问题的关键． 当时，根据时间和速度分别求得两个三角形中、和、边的长，根据判定两个三角形全等．当，则根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【详解】解： 当时 秒， ， ，点为的中点， ． 又，， ， ． ， ； 此时 当， ， 又，， 则，， 点，点运动的时间为：秒， ； 故选：D 10. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线．与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论； 根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论； 证明，即可判断③结论； 根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论： 根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ②结论正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，④结论正确； ∴， ∴， ∴，⑤结论正确； ∴正确结论的是①②③④⑤，共5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了内错角相等两直线平行，全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分.只要求填写最后结果. 11. 线段的对称轴是_______． 【答案】它的垂直平分线和它本身所在的直线 【解析】 【分析】本题考查了线段的对称轴，解题关键是熟悉常见的轴对称图形． 根据轴对称图形的定义求解． 【详解】解：线段有两条对称轴，分别是它的垂直平分线和它本身所在的直线， 故答案为：它的垂直平分线和它本身所在的直线． 12. 小明同学做了一只如图所示的风筝，其中将上述条件标注在图中，小明不用测量就知道，他的依据是：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】解：小明不用测量就能知道． 理由：在和中 ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在，，是边上的高，，，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为5． 14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形外角的性质．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图，在钝角中，交的延长线于点D，则， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角是锐角时，如图，在锐角中，于点D，则， ∵， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是或． 故答案为：或 15. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质的应用，全等三角形的证明和图形的分割．要求阴影部分四边形面积，可分割成两个三角形面积之和，设与交于点E，与交于点F，证明，即可将阴影部分面积转化为求的面积，而占正方形面积的，正方形面积根据已知边长可求，由此问题得到解决． 【详解】解：设与交于点E，与交于点F，如图所示， 四边形是正方形， 所以，，． ． 又， ． ． ． 正方形边长为2， 正方形面积， ． 所以阴影部分面积为1． 故答案为1． 16. 如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________． 【答案】1＜AD＜7 【解析】 【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中, ， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴CE=AB， ∵AB=6，AC=8， ∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14， ∴1<AD<7， 故答案为：1<AD<7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 17. 如图，，的垂直平分线交于点，若，则下列结论正确的是______（填序号）① ②是的平分线 ③是等腰三角形 ④的周长. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由△ABC中，∠A=36°，AB=AC，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠C的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形，继而可求得∠ABD与∠DBC的度数，证得BD是∠ABC的平分线，然后由∠DBC=36°，∠C=72°，证得∠BDC=72°，易证得△DBC是等腰三角形，个等量代换即可证得④△BCD的周长=AB+BC． 【详解】∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C==72°， 故①正确； ∵DM是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°， ∴∠ABD=∠DBC， ∴BD是∠ABC的平分线； 故②正确； ∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=180°-36°-72°=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴BC=BD， ∴△DBC是等腰三角形； 故③正确； ∵BD=AD， ∴△BCD的周长=BD+BC+CD=AC+BC=AB+BC， 故④正确； 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 18. 观察下列几组勾股数，并填空：①4，3，5，②6，8，10，③8，15，17，④10，24，26，⑤12，35，37，…则第⑦组勾股数为________． 【答案】16，63，65 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，根据观察出的规律即可解答． 【详解】解：根据题目给出的前几组数的规律可得这组勾股数中的第一个数是，第二个是，第三个数是， 故第⑦组勾股数是16，63，65. 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两个村庄C，D的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 20. 如图，与相交于点O，且，． （1）求证：； （2）与全等吗？并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵与相交于点O， ∴， 又，， ∴； （2） 全等． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边对等角等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用证明； （2）先利用等边对等角证明，利用证明与全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E（其中点F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量）在直线l上，点A，D在l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘两端F、C之间的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 池塘两端F、C之间的长度是 22. 如图，，D是的中点，平分． （1）试说明：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵ ，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分 ∴ 在 和 中 ， ∴， ∴ ； （2） 解： 是等边三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∵ ，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）由题中条件可得，进而可得为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 一个如图形状的零件，其中， ，求这零件的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，在中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∴． 在中，∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴． ∴ ． 答：四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． 24. 某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？ 【答案】 解：如图，作于M，图中米，作于H，交于F，连接． ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴（米），（米），（米）， 在中，（米）， ∵（米）， ∴（米）， ∵， ∴这辆卡车能安全通过这个隧道． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．作于M，图中米，作于H，交于F，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据勾股定理求出，进而比较即可． 【详解】略 25. 课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 附加题 26. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系． （3）实际应用：如图③，在四边形中，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； （3）同理，在的延长线上取一点，使，连接，证得，即可得出，，求出即可解题． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）如图，在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，补角的定义，线段的和差关系，解题的关键是作辅助线从而构造三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $