专题07 一元二次方程根与系数的关系 期中期末重难点突破 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

专题07 一元二次方程根与系数的关系 1．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　） A．2023 B．2022 C．2025 D．2024 2．下列一元二次方程中，两个根分别是﹣2和3的是（　　） A．x2+x﹣6＝0 B．x2﹣x﹣6＝0 C．x2﹣5x+6＝0 D．x2+5x+6＝0 3．已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（       ） A．2 B．-1 C． D．-2 4．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ） A． B． C． D． 5．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（       ） A．7 B． C．6 D． 6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（       ） A．1 B．-1 C． D． 7．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ） A．－3 B．3 C．－5 D．5 8．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（       ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 10．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．若x1，x2是方程x2﹣3x＋2＝0的两个根，则x12＋x22＝________． 12．已知a，b是方程的两个实数根，则_________． 13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 14．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1•x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________． 15．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____． 16．设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 17．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____. 18．已知实数，满足条件，，则________． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 20．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 21．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值． 22．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 23．阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程根与系数的关系 1．已知m，n是一元二次方程2x2+4x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式2m2+5m+n的值等于（　　） A．2023 B．2022 C．2025 D．2024 【详解】解：根据题意，得2m2+4m﹣2025＝0， ∴2m2+4m＝2025， ∵m+n＝＝﹣2， ∴2m2+5m+n＝2m2+4m+m+n =2025﹣2＝2023， 故选：A． 2．下列一元二次方程中，两个根分别是﹣2和3的是（　　） A．x2+x﹣6＝0 B．x2﹣x﹣6＝0 C．x2﹣5x+6＝0 D．x2+5x+6＝0 【详解】解：题干中两根之和为﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6， A、a＝1，b＝1，c＝﹣6，该方程两根之和为1，故该选项错误； B、a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，该方程两根之和为，，故该选项正确； C、a＝1，b＝﹣5，c＝6，该方程两根之和为1，故该选项错误； D、a＝1，b＝5，c＝6，该方程两根之和为1，故该选项错误． 故选：B． 3．已知一元二次方程x2-4x-2=0的两根分别为x1，x2，则的值为（       ） A．2 B．-1 C． D．-2 【详解】解：根据根与系数的关系得， x1+x2=4，x1·x2=-2 ∴          =-2． 故选D ． 4．一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ） A． B． C． D． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得：， 解得：． 故选：A． 5．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（       ） A．7 B． C．6 D． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，， ∴+=2， ∵， ∴=3， ∴·=-a=-3， ∴a=3， ∴． 故选B． 6．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（       ） A．1 B．-1 C． D． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 此方程根的判别式，且， 解得且， 又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ， 解得或（舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 故选：B． 7．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ） A．－3 B．3 C．－5 D．5 【详解】解：∵和是关于x的方程的两根， ∴， ∴ ∴ 故选：C 8．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（       ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 10．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是a、b， ∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3， ∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 11．若x1，x2是方程x2﹣3x＋2＝0的两个根，则x12＋x22＝________． 【详解】解：根据题意得x1＋x2＝3，x1•x2＝2， 则x12＋x22＝（x1＋x2）2﹣2x1x2＝9﹣4＝5， 故答案为：5． 12．已知a，b是方程的两个实数根，则_________． 【详解】解：根据题意得a+b=1．ab=-4， 把x=a代入x2-x-4=0，得a2-a=4， ∴a2-2a-b+2020 =a2-a-a-b+2020 =4-1+2020 =2023． 故答案为：2023 13．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 14．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝________，x1•x2＝________，(x1﹣1)(x2﹣1)＝________，x1﹣x2＝________． 【详解】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根是x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3， x1﹣x2＝． 故答案为：3，﹣1，﹣3，． 15．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____． 【详解】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根， ∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1， ∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1） ＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β） ＝（0+α）（0+β） ＝αβ ＝1． 故答案是：1． 16．设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 【详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴; 故答案为：2． 17．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____. 【详解】 ∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1, =4-3(k-1) =13, K=-2. 故答案为:-2. 18．已知实数，满足条件，，则________． 【详解】 由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴． 故答案为． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根， ∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0， 解得k≤； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3， ∵x12+x22=11， ∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1， ∵k≤， ∴k=4（舍去）， ∴k=﹣1． 20．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【详解】 试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可； （2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 试题解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2． 21．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值． 【详解】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围； （2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤； (2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2， ∴k1＝1，k2＝－3. ∵k≤，∴k＝－3. 22．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【详解】 （1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 23．阅读理解： 材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”. 材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为，，则有，． 问题解决： （1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ； （2）若，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， ∴，， ∴， ∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解， ∴，∴， ∴=， ∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”； （3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”， ∴或或， 即或或， 解得：m=﹣4或﹣2或2． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $