精品解析： 山东省青岛市崂山区第七中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

崂山七中2025-2026第一学期期中质量检测试题（数学） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题，第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中黑球有______个． 12. 已知某公司前年缴税8万元，今年缴税比前年增加了10万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率．设该公司这两年缴税的年平均增长率为，根据题意，可列方程为______． 13. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是____． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 15. 若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是____． 16. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形，． 求作：菱形，且点E在边上，点F在边上． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 20. 为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应为多少米？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 22. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 23. 【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为_______，因此，_______． 【解决问题】 根据以上发现，计算：的结果为_______． 24. 在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 25. 在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，，设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）连接BE，当以B、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崂山七中2025-2026第一学期期中质量检测试题（数学） （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题，第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形的判定定理，根据定义和性质判断各选项的正确性 【详解】选项A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，A错误，不符合题意； 选项B、四边形有三个角都是直角，则内角和为，第四个角也为直角，四边形是矩形，B正确，符合题意； 选项C、对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，C错误，不符合题意； 选项D、一组邻边相等的四边形不一定是菱形（如一般四边形），D错误，不符合题意； 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 3. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 4. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 5. 如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数各项系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数图象与x轴的交点等知识．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故①正确； ②抛物线开口向下得：， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故②正确； ③抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故③正确； ④∵抛物线的解析式化为 由函数的图象知：当时，， ∴令得， ∵， ∴， 即， 故④正确； ⑤由函数的图象知：当时，， ∴令得， 故⑤正确； ∴这些结论正确的有①②③④⑤． 故选：D. 10. 如图，已知反比例函数的图象与菱形相交于，D两点，点C在x轴上．连接，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，连接，代入到得，得到，得到，，利用勾股定理求出，利用菱形的性质得到，，得出，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，连接， 代入到得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中黑球有______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．首先得到摸到白球的概率为0.4，然后求出球的总个数，进而得到黑球的个数． 【详解】∵重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右， ∴估计摸到白球的概率为0.4， ∴袋中球的个数为（个）， ∴袋中黑球的个数为（个）． 故答案为：12． 12. 已知某公司前年缴税8万元，今年缴税比前年增加了10万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率．设该公司这两年缴税的年平均增长率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，表示今年的纳税额为万元，再根据今年的纳税额为18万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x， 根据题意，可列方程：． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故答案为：或． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 16. 如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点，  ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、作图题（本大题满分4分） 17. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：四边形，． 求作：菱形，且点E在边上，点F在边上． 【答案】 如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，四边形即为所求． 【详解】略 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择因式分解法或公式法求解； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （3）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． （4）先移项，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：  因式分解得 ， ∴  或 ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问3详解】 解：   整理得 ， ∴，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问4详解】 解：   ∴ ∴ ∴ ， ∴  或 ， 解得：， 19. 甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 【答案】 解：该游戏不公平，理由如下： 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中牌面数字之和为奇数的结果数有8种，牌面数字之和不为奇数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率比乙获胜的概率大， ∴这个游戏不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到牌面数字之和为奇数和牌面数字之和不为奇数的结果数，最后根据概率计算公式分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】略 20. 为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，小路的宽应为多少米？ 【答案】小路的宽为1米 【解析】 【分析】设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得： ， 解得，（不合题意，舍去)， 答：小路的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围； （3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2）或 （3）点C坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 22. 如图，在中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，． （1）求证：≌； （2）连接，，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠ADB=∠CBD， 又∵∠ADB+∠ADE=180°，∠CBF+∠CBD=180°， ∴∠ADE=∠CBF 在△ADE和△CBF中 ∴△ADE≌△CBF； （2）四边形是菱形 理由如下： 如图，连接，， 由（1）得△ADE≌△CBF ∴CF=AE, ∠E=∠F ∴AE∥CF ∴四边形AFCE是平行四边形 当BD平分∠ABC时，∠ABD=∠CBD 又∵AD∥CB， ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ABD ∴AD=AB=BC ∴△ABC为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得AC⊥EF ∴平行四边形AFCE是菱形 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明≌即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理． 23. 【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为_______，因此，_______． 【解决问题】 根据以上发现，计算：的结果为_______． 【答案】[规律探究]，，；[解决问题]1351 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形的变换方式得出圆圈个数及圆圈中对应位置数和的变化规律是解题的关键． [规律探究]根据所给旋转方式，发现三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数的和都是，据此即可解决问题； [解决问题]根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：[规律探究]由题知， 这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数和均为， 因为每个三角形数阵中都有个数， 所以三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为， 因此，． 故答案为：，，； [解决问题]由上面发现的规律可知， 原式 故答案为：1351． 24. 在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 【答案】（1）12万件 （2），投资的第一年，该公司亏损了，最少亏损是5万元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在实际问题（利润计算）中的应用；解题的关键是准确理解题目中“年获利”、“投资成本”等概念，并根据不同的条件正确列出对应的函数关系式． （1）直接将销售单价代入销售量与单价的函数关系式中计算即可； （2）根据“年获利年销售收入生产成本投资成本”的公式，用和表示各项，并将 代入，得到关于的二次函数解析式，结合给定区间判断其最值，确定公司盈亏情况； （3）首先根据新的条件（增加捐款）列出第二年获利的函数关系式，然后根据“两年的总盈利不低于73万元”列出不等式，结合第一年的最小亏损（即最大亏损）进行计算，最后，结合销售单价的合理范围确定最终答案． 【小问1详解】 当（元）时，（万件） 答：当销售单价定为28元时，该产品年销售量为12万件． 【小问2详解】 年销售收入为：万元 生产成本为：万元 投资成本为：万元 年获利 化简得： 配方得： ∵， ∴ 当时，取得最大值 答：在的范围内，公司处于亏损状态，最小亏损是5万元． 【小问3详解】 设第二年获利为万元． 第二年每件产品成本变为元（增加1元捐款）， 固定捐款为10万元， 投资成本在第一年已计算，故第二年不再重复扣除， ∴ 第二年获利 由题意，第一年最小亏损为5万元（即亏损5万） 要达到“两年总盈利不低于73万元”，即： ∴ 即 整理得： 不等式两边同乘以，改变不等号方向： ∴ 不等式的解为 又因为销售单价的合理范围为， ∴ 满足条件的范围为 答：此时销售单价的范围． 25. 在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动．连接，，设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）连接BE，当以B、C、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为2或或 【解析】 【分析】（1）由题意得，，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论； （2）过点作，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据平行四边形到现在得到，，得到，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， 四边形为平行四边形， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：过点作， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，即， ， ②当时， 过作于， 则， ， ； ③当时， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为2或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 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