精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市联谊校2026届高三第三次统一考试数学试题

齐市普高联谊校高三第三次统一考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数列，立体几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集的概念求解即可. 【详解】由，，得． 故选：B． 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数的乘积，得到复数的代数形式，再确定其在复平面内对应的点的坐标，最后根据坐标判断所在象限. 【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 4. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 5. 在中，点D为边上一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ． 故选：B． 6. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件，必要条件结合指数幂的性质判断即可. 【详解】取时，满足， 但是，即此时， 故充分性不成立， 取时，满足，此时， 故必要性不成立， 所以“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再求即可. 【详解】由题知：. . 故选：A 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由可得，故，A正确， 对于B, ,故，B正确， 对于C, ,则，故C错误， 对于D,由可得，由得，故，进而，即，D正确， 故选：ABD 10. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A利用面面平行的性质定理，判断线线平行.选项B分析线面平行时直线的位置关系，确定该说法错误.选项C依据“垂直于同一直线的平面互相平行”，先证两平面平行，再推多个平面平行.选项D构造长方体的具体实例作为反例，验证该说法不成立. 【详解】若，则，A正确； 若，直线与直线可能异面，可能平行也可能相交，B错误； 由，得，同理可得，所以，C正确； 如图，长方体中， 取平面依次为平面， 取为直线为直线，显然满足， 但，D错误． 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C. 曲线不可能是轴对称图形 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】计算出，的对称中心为，故A正确；利用判别式即可判断B；利用偶函数的定义即可判断C；利用导数研究函数的极大值与极小值即可求解. 【详解】对于A，当时，，，故，所以的对称中心为，故A正确； 对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立，，解得，故B错误； 对于C，当时，，因为，所以是偶函数，即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C错误； 对于D，，令，得或0， 已知，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令，得或，令，得， 故的极大值为，极小值为， 令，即，变形为， ，， 又，则，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则=______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 13. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积． 【详解】解：正方体的体对角线就是球的直径，设其体对角线的长为， 则， 所以，所以，所以. 故答案为：． 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 【答案】12 【解析】 【分析】由得到的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 已知函数的图象过点和点． （1）求实数的值； （2）写出的定义域，并求的值域． 【答案】（1） （2）的定义域为；值域为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可； （2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域. 【小问1详解】 由，得，，， 上两式联立，解得，. 【小问2详解】 由（1）知，故，得， 所以的定义域为； ，时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以的值域为. 17. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求m的值及的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过与的关系求解即可； （2）先借助（1）代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 18. 如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求证：三棱锥的体积为定值，并求出此定值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接， 因为是的中点，所以, 直三棱柱中且， 又是的中点，所以且， 故且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）证明如下： 依题意可知，两两相互垂直， 又，平面， 所以平面， ； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，根据线线平行可证明四边形是平行四边形，即可证明出结论； （2）利用等体积法即可求解， （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意可知，两两相互垂直， 以为原点，,，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，,,, ，，，. 设平面的法向量为， 则，即，不妨取，则，. 设直线与平面夹角为， ， 化简可得，解得（负值舍去）， 故. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐市普高联谊校高三第三次统一考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数列，立体几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 5. 在中，点D为边上一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C. 曲线不可能是轴对称图形 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则=______ 13. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________． 14. 已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 已知函数的图象过点和点． （1）求实数的值； （2）写出的定义域，并求的值域． 17. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求m的值及的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点. （1）若是的中点，求证：平面； （2）求证：三棱锥的体积为定值，并求出此定值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $