安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期周末检测数学试卷（三）

六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（三） 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（     ） A． B． C． D． 2．若直线与直线互相平行，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A． B． C． D． 4．在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5．函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（     ） A． B． C． D． 6．设的一个顶点是，的平分线方程分别为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（      ） A． B． C． D．12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为6的正四面体中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则（    ） A． B．点C到平面的距离为 C．如果在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．动点Q在平面ABC内，且满足，则动点的轨迹表示图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知、，直线与线段AB相交，则实数a的范围是 ． 13．已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是 ． 14． 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程． 16．（本小题满分15分） 已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点. （1）当面积最小时，求直线l的方程（转化为一般式）； （2）当值最小时，求直线l的方程（转化为一般式）． 17．（本小题满分15分） 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）求证：平面平面； （2）设为侧棱上一点，四边形过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分17分） 在矩形ABCD中，，E为AD的中点，将点D沿着CE翻折到点P，形成四棱锥P－ABCD，其中二面角P－EC－D大小为．   （1）证明：； （2）当时，求直线PB与平面PEC所成角的正弦值； （3）求四面体PABC的外接球表面积的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 六安一中2025年秋学期高二年级周末检测 数学试卷（三）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C A A D B C BC BD BD 1．D 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以．直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率．又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为．故选：D． 2．A 【详解】因为直线与直线互相平行，所以有且，解得，故选：A 3． C. 【详解】解：向量，0，，，2， ，则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 .故选：C 4．A 【详解】设，，，因为，，所以且， 解得，，，，即，，，所以MN所在直线方程为，即．故选：A． 5．A【详解】，则代数式表示曲线上的点与原点连线的斜率， 设，可知直线与函数的图象有个交点，作出函数与直线的图象如下图所示： 由图象可知，直线与函数的图象有或或或个交点， 因此，的可能取值的集合为.故选：A. 6．D 【详解】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．A（-3， 1）关于x＝0的对称点A'（3，1）在直线BC上， A关于y＝x的对称点A''（1，-3）也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x-5． 故选B． 7．B 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分，如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，，所求体积.故选：B 8．C 【详解】设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得,由题意在上的投影长度为3，所以则即，同理所以，又因为，所以，解得故选：C 9．BC 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确；故选：BC 10．BD 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点．当直线l与AB平行时，由可得：，再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：，整理得直线l方程为；由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：，整理得直线l方程为．故选：BD． 11．BD 【详解】取的中点，连接，则且为靠近的一个三等分点，过点作交于点，则，又平面，如图建立空间直角坐标系， 因为，所以，则，，，，，所以，，所以，所以与不垂直，故A错误； 因为，所以， 又，所以，设点到平面的距离为，则，解得，即点C到平面的距离为，故B正确； 对于C：因为，设正四面体的内切球的半径为，则，即，解得，所以在此正四面体中放入一个小球（全部进入），则小球半径的最大值为，故C错误；对于D：连接，因为，平面，平面，所以，所以，所以，则点在平面所表示的图形为以为圆心，为半径的圆面，所以动点的轨迹表示图形的面积为，故D正确.故选：BD 12． 13．【详解】在矩形中，作于点，交于点，作于点， ，，， ，，， 在翻折后，以为原点，以、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系， 则为二面角的平面角，设，则，，，得， ，.因此，二面角的大小是.(用基底法更简便） 14．6 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为，所以，因为， 所以，当且仅当时取等号. 15．1．(1)；(2)或. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心，所以，所以， 所以，， 所以，所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上，所以，可得， 即直线方程为：；综上所述：直线方程为或. 16． (1);(2) 【详解】（1）由题意得斜率 设l，令，则，令，，则， 所以 当且仅当，即（因故正值舍去）时等号成立.故直线l的方程为，即. （2），； 因为；当且仅当，即1时等号成立.又，故；故直线l的方程为即 17．(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面；（2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以，结合（1）为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，所以互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，，， ，设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得，即，，则，故二面角的正弦值为. 18．(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）证明：在中，因，所以，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面. （2）假设存在点，使得平面平面.取中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中.则 连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量.设是平面的法向量，则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：取EC中点为T，连接DT，PT，则由等腰三角形的性质可知，， 因为， 平面PDT，故平面PDT，因为平面PDT，所以． （2）过P作，垂足为，由（1）可知且为二面角P－EC－D的平面角，故，当时，， ， 因为平面ABCD，故平面平面ABCD，平面平面，平面PDT， 故平面ABCD，连接BD与AC交于点O，如图以点O为原点，以过点O且与BC平行的方向为x轴，以过点O且与CD平行的方向为y轴，以过点O且与平面ABCD垂直的方向为z轴，建立空间直角坐标系， 可得,P，，，，设平面PEC的一个法向量为，则，令x＝1，可得，设直线PB与平面PEC所成角为α， 则，故直线PB与平面PEC所成的角的正弦值为． （3）由（2）知， ，P，由于球心在过△ABC的外心且垂直于平面ABC的直线上，所以设球心的坐标为，半径为,因为，所以，解得，而，所以，，，，所以四面体PABC的外接球表面积的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $