22.3 实际问题与二次函数 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 一、单选题 1．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（    ）    A． B． C．6 D． 3．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度y与时间t的函数关系满足y =-t2+12t+2，当4≤ t ≤8时，该地区的最高温度是（　　） A．38℃ B．37℃ C．36℃ D．34℃ 5．如图所示，将一根长m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 6．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，则能建成的饲养室面积最大为（    ） A． B． C． D． 8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（   ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降． 二、填空题 9．随着经济的发展和人们生活水平的提高，越来越多的人选择乘飞机出行．某种型号的飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数关系式为，那么飞机着陆后滑行 s停下． 10．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ． 11．阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是 元． 12．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（分）之间的关系式为y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需 分钟． 13．农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为 ． 14．已知等边三角形的边长为，则用边长表示等边三角形的面积的函数表达式为 ． 三、解答题 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)当时，y的取值范围？ (3)求的面积． 16．某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出.每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆.租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车每辆每月只需维护费100元. （1）当每辆车的月租金为4600元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达40.4万元？ （3）当每辆车的月租金定为_________元时，租赁公司的月收益最大. 17．如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为A，求A点的坐标； （3）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由； （4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度． 18．某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元． (1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？ (2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？ 19．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：） (1)求y与x的函数解析式并写出x的取值范围． (2)矩形实验田的面积能达到吗?如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)若与墙垂直的一边长不少于，求当的值是多少时，矩形实验田的面积最大?最大面积是多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 2．B 3．D 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为． 故选：D． 4．A 【分析】先确定二次函数的最大值，然后结合自变量的取值范围确定答案即可． 【详解】∵， ∴当t=6时，函数最大值为38℃， ∴当4≤ t ≤8时该地区的最高温度是当4≤ t ≤8时， 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数最值的确定方法是解题的关键． 5．C 【分析】设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断． 【详解】设矩形的一边长为xm，另一边长为(1-x)m，面积用y表示， ， 故选择：C． 【点睛】本题考查列函数关系式，并判断函数的类型，掌握列函数的方法和函数的特征是解题关键． 6．D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 7．A 【分析】先设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，再根据总长求出x与y的等式关系，然后根据矩形的面积公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，则 由所有围栏的总长（不含门）可得： 整理得： 由，即得： 则能建成的饲养室的面积为 整理得： 由二次函数的性质可知，在的范围内，当时，S取得最大值，最大值为75 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解题关键． 8．C 【分析】由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得，由此即可一一判断． 【详解】解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0） 设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1， ， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意； 由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小， ∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意， 抛物线经过点（9，0），不经过（10，0）， ∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 9．20 【分析】根据题目中的函数解析式，可以将其化为顶点式，取最大值时对应的时间即为所求； 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，注意取最大值时对应的时间即为所求． 10．a（1+x）2 【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a元， 2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴2月份研发资金为，∴三月份的研发资金为． 故答案为． 考点：根据实际问题列二次函数关系式． 11．400 【分析】设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元， 由题意得，， ∵a=-1＜0， ∴当x=30时，w最大为400元， 故答案为：400． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键． 12．13 【分析】直接代入求值即可． 【详解】试题解析：把y=59.9代入y=﹣0.1x2+2.6x+43得，59.9=-0.1x2+2.6x+43解得：x1=x2=13分钟． 即学生对概念的接受能力达到59.9时需要13分钟．故答案为：13． 考点：二次函数的应用． 13． 【分析】如果起始是a,增长率是b,第一个月以后是a+ab=a(1+b);第二个月是a(1+b)2. 【详解】第二个月是50（1+x), 第三个月是50(1+x)2 所以答案为y=50(1+x)2 【点睛】考查了增长率问题． 14． 【详解】试题分析：作出BC边上的高AD．由△ABC是等边三角形，边长为x，可得CD=x，所以可求得高为h=x， 然后根据三角形的面积公式可得y=x×h=x2． 考点：等边三角形的性质，三角形的面积 15．(1) (2) (3)3 【分析】本题考查了抛物线的顶点和与坐标轴的交点，利用二次函数图象解不等式，二次函数上点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式即可； （2）求出当时的函数值，结合函数的图象求出y的取值范围； （3）令求出、点坐标，令求出点坐标，作轴交直线于交轴于，可求出解析式及点坐标，利用求解即可． 【详解】（1）解：， 顶点的坐标为； （2）解：当时，， 当时，， ∵顶点的坐标为， ∴当时，， 由图象得当时，； （3）解：令，即， 解得，，， ，， 令，则， ， 设解析式为，代入坐标得： 解得， ∴解析式为， 作轴交直线于， 当时，代入， ∴， ， ． 16．（1）94辆，38.48万元；（2）5000元；（3）7200元. 【分析】（1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了6辆，在根据租金和维护费算出月收益即可； （2）设每辆车的月租金设上涨x个100元，由月收益为40.4万元列出等式求解，然后检验每辆车月租金是否超过7200元，超过则不满足； （3）设当每辆车的月租金设上涨x个100元时，租赁公司的月收益为y元，得出函数表达式，由配方法求最大值． 【详解】解：（1）由题意，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将会增加一辆，当每辆车的月租金为4600元时，则增加了600元，即减少了600÷100=6辆，未租出辆，即租出辆； 月收益：（元），即38.48万元； （2）设上涨x个100元， 由题意得： , 整理得： , 解得： 又因为规定每辆车月租金不能超过7200元，则x=54，租金为9400，大于7200故舍去， 则x=10，此时月租金为（元）； （3）设上涨x个100元， 由题意得： 整理得： ， 配方得：， 当x=32时，y有最大值，此时月租金为7200元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用题型，准确根据题意列出方程，熟练掌握一元二次方程的计算及代数式最值得求解是解决本题的关键，难度适中. 17．（1）y=-+8；（2）；（3）能，理由见解析；（4） 【分析】（1）设抛物线解析式为y=a，把点A(0,0)代入解析式，确定a值即可； （2）求直线y=x与抛物线y=-+8的交点坐标即可； （3）计算当x=2时，抛物线的函数值，一次函数的函数值，函数值的差为树高，与实际树高比较，大则飞过，否则，就是飞不过； （4）设小球M飞行到点D时，距离斜坡OA最高，设D（m，-+4m），过点D平行y轴的直线与OA交于点N，则点N（m，m），配方法确定抛物线的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（4，8）， ∴设抛物线的解析式为y=a，把点A(0,0)代入解析式，得 0=a， 解得a= -， ∴二次函数的解析式y=-+8=-+4x； （2）根据题意，得-+4x=x， 解得=0（舍去），=7， 当x=7时，y=x =， ∴A(7， )； (3)当x=2时，=x=×2=1，=-+4x =-+4×2= 6， ∴-=6-1=5＞4， ∴小球M能飞过这棵树． （4）设小球M飞行到点D时，距离斜坡OA最高，设D（m，-+4m），过点D平行y轴的直线与OA交于点N，则点N（m，m）， ∴DN=-+4m-m=-+m= -+， ∴m=时，DN有最大值，且为， ∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为． 18．(1)z＝﹣+12x﹣320，当x＝60时，z最大，最大利润为40 (2)45≤x≤75，x＝45时，销售量最大 【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x的函数解析式，再求出时，z最大，代入即可． （2）当 z =17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x的范围，结合 y 与 x的函数关系式，从而解决问题． 【详解】（1）由题可知： z＝y（x﹣30）﹣50 ＝（﹣）（x﹣30）﹣50 ＝﹣+12x﹣320， ∴当时，z最大， ∴最大利润为：﹣＝40； （2）当z＝17.5时，17.5＝﹣+12x﹣320， ∴x1＝45，x2＝75， ∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0， ∴45≤x≤75， ∵y＝﹣x+9．y随x的增大而减小， ∴x＝45时，销售量最大． 19．(1) (2)当时，矩形实验田的面积能达到 (3)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据三条边长的和为，求出与的函数解析式，然后求出的取值范围； （2）根据矩形面积公式求出与的函数解析式，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，根据自变量取值范围的增减性求出的最大值． 【详解】（1）由题意得： 所以， 因为， 所以， 解得， 即与的函数解析式：； （2）能． 因为， 当时， 即， 解得或， 因为， 所以（舍去）， 即当时，矩形实验田的面积能达到； （3） ∵， 因为不少于 ∴， ∵二次函数开口向下， 对称轴为直线， ∴当函数值随的增大而减小， ∴当时，矩形实验田的面积最大，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $