概率、随机变量及其分布讲义-2026届高三数学二轮复习

夯基专题20 概率、随机变量及其分布

【核心知识】

考点一：古典概型求概率

1.一般地，设试验E是古典概型试验，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率.

2.计算样本点数：①利用计数原理计数；②列举法.

考点二：独立事件

1.判断事件是否相互独立的方法

⑴定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．

⑵由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

⑶条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．

2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积．

考点三：条件概率

1.条件概率的求法

⑴定义法:分析题意，弄清概率模型；计算，；代入公式求.

⑵借助古典概型：先求事件 A包含的样本点数，再求事件 包含的基本事件数，进而求 .

⑶缩样法:即缩小样本空间的方法，

2.条件概率具有的性质：

⑴；

⑵如果和是两互斥事件，则．

3.全概率公式

(1)；

(2)若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，；

②；

③.

则对中的任意事件，都有，且P(B)＝＝.

【典例精讲】

例1.(2025·湖南省长沙市·联考题) 两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数假设为，然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者，该游戏结束若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是，则哥哥获得礼物该游戏中弟弟能获得礼物的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

解：第一次掷骰子的概率：掷出的点数为，概率为 ，弟弟获得礼物；掷出的点数不为，概率为 ，
记下点数 ，进入后续阶段．

后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为 ，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为  ．

若哥哥掷骰子：掷出  ，概率为  ，弟弟获得礼物；
掷出，概率为  ，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，有 ，

若弟弟掷骰子：掷出 ，概率为，弟弟获得礼物；
掷出：概率为 ，哥哥获得礼物；
其他点数，概率为 ，轮到哥哥掷骰子，此时概率为 ，有  ，

联立两式，可得  ，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为  ，
则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为  ．

故选：．

例2.(2025·上海市市辖区·模拟题)飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子骰子为均匀的正六面体正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩步如图所示，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

解：由题意，，，，，
所以．
故选D．

例3.(2024·广东省广州市模拟) “总把新桃换旧符”王安石、“灯前小草写桃符”陆游，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有人领取的礼品种类相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

解：先考虑恰有人领取的礼品种类相同的情况，先从人中选取人，有种选法，再从三类礼品中选取一类，有种选法，
另外人从剩下的类礼品中任意选择，有种选法，
根据分步乘法计数原理可得共有种情况，
又总情况数为种，
故恰有人领取的礼品种类相同的概率是．
故选：．

【拓展提升】

练1-1.(2025·福建省·模拟题)（多选）一口袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中无放回的随机取两次，每次取个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则(    )

A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为独立事件
C.  D.