精品解析：福建省厦门外国语学校2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

厦门外国语学校2023级高一上学期第一次月考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设全集，集合,，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则和的大小关系是 A. B. C. D. 3. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③⑥ 7. 关于x的不等式的解集不可能是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 函数的最小值为2 C. 某班中身高较高的同学能够组成一个集合 D. 方程有实根的充要条件为 10. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 11. 已知a，，则的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 12. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 15. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 16. 已知集合，集合A中的元素，，定义为，，中的最小值，记为：． （1）若，，，则____________； （2）若，为集合A中的元素，且，则n的取值范围为____________． 四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合． （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）当时，若，求实数的取值范围． 18. 已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 19. 已知集合，. （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围; （2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围. 20. 设矩形的周长为16cm，把沿向折叠，折过去后交于点P，设，. （1）用x的代数式表示y，并写出x的取值范围； （2）求的最大面积及相应x的值. 21. 已知函数. （Ⅰ）当时，解关于x的不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围． 22. 已知函数，集合． （1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校2023级高一上学期第一次月考 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设全集，集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再结合交集、补集定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故. 故选：B. 2. 已知，，则和的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑的符号即可得到两者的大小关系. 【详解】，故.故选D. 【点睛】比较两个代数式的大小，可选用作差法或作商法，前者需要把差因式分解后再确定各个因式的符号，后者要注意两个代数式的符号且需确定商与1的大小关系. 3. 下列函数中，值域是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数，复合函数，一次函数，二次函数的单调性即可求得各个函数的值域，可得答案． 【详解】解：、函数在上是增函数，函数的值域为，故错； 、函数，函数的值域为，故错； 、函数的定义域为，因为，所以，故函数的值域为 、函数的值域为，故错； 故选：C． 【点睛】本题考查，二次函数，一次函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，属于基础题． 4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，则的值为（ ） x 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】运用图象得到，再由对应关系得到即可 【详解】由图可知， 所以. 故选：D. 5. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由公式列出面积的表达式，然后由基本不等式求得最大值. 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 6. 已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ①③⑥ 【答案】D 【解析】 【详解】,,,则，①正确； ，， ， ，则，③正确； ，，， 则，②④⑤错误， ，，，则 ⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D. 7. 关于x的不等式的解集不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简不等式，然后根据的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集. 【详解】因为，所以， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，， 若，，解集为； 若，，解集为； 若，，解集为； 所以解集不可能是， 故选：A. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简为，再根据判断，，，，最后运用基本不等式求最小值即可. 【详解】解： ∵ ， ∴ ，，，， ∴ 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式，是基础题. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 函数的最小值为2 C. 某班中身高较高的同学能够组成一个集合 D. 方程有实根的充要条件为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数相等的性质判断A，利用基本不等式的性质判断B，利用集合的定义判断C，利用一元二次方程与判别式的关系判断D，即可得到答案. 【详解】对于A，函数，所以，函数与函数有相同的定义域和解析式，所以，它们是同一个函数，故A对. 对于B，对于函数，设，则变为，当且仅当，即时成立，与不符，故B错. 对于C，某班中身高较高的同学不满足确定性原则，故C错 对于D，方程有实根的充要条件为，化简得，得，故D对 故选：AD 10. 已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若则. B. 若则. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项逐个分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，又，则，A选项正确； 若，满足，但不成立，B选项错误； 若，满足，但不成立，C选项错误； ，则，又，即，D选项正确. 故选：AD 11. 已知a，，则的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误； 对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误； 对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确； 对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确； 故选：CD 12. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ） A. B. C. 的最小值为12 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【解析】 【分析】原命题等价于命题“，”是真命题 【详解】由题意得若命题“”是假命题， 则命题“，”是真命题， 则需,故本题正确答案为． 【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为； 由，解得， 因此的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求抽象函数定义域，熟记抽象函数定义域的求法即可，属于常考题型. 15. 已知集合.命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出集合，再根据是的必要不充分条件，得出集合是集合的真子集，对集合是空集和非空集合讨论求解. 【详解】由得，解得， 所以， 因为命题，命题是的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集， 又， 当为空集时，，解得，满足题意； 当不是空集时，，解得， 经检验，当时，满足题意； 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 16. 已知集合，集合A中的元素，，定义为，，中的最小值，记为：． （1）若，，，则____________； （2）若，为集合A中的元素，且，则n的取值范围为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由题意求得，的值，然后计算其差值即可； （2）将原问题进行等价转化，然后分类讨论即可求得实数n的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 则． （2）由题意可得：， 则：或，由可得， 由可得，即当时，， 由可得或，由可得， 即当时，， 综上可得，实数n的取值范围是． 故答案为：；． 四､解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知集合． （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）当时，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据子集关系列式求解，注意讨论或；（2）根据交集的定义得出不等式，注意讨论或. 【小问1详解】 当时，， 要，则有： ①当时，，解得符合题意； ②当时，应满足，解得：， 综上可得：实数m的取值范围是或． 【小问2详解】 ①当时，，解得： ②当时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或，解得：或 综上可得：实数m的取值范围是或． 18. 已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数； （2）先求出，利用基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 所以和是方程的两个根，所以 解得 当，时，的解集是，符合题意，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 又，，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为． 19. 已知集合，. （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围; （2）设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）（-1,1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式确定集合，，根据充分不必要条件得出集合的包含关系，从而得出参数范围； （2）由命题的否定是真命题，即一元二次不等式在某个区间上恒成立，转化为求函数最值可得结论． 【详解】解:（1）. ∴. ∵是的充分不必要条件 ∴ ∴，解之得:. ∴实数的取值范围是; （2）∵命题为假命题 ∴命题:≤8为真命题. 设，， 则有: ，解之得:≤≤2. ∴实数的取值范围是. 20. 设矩形的周长为16cm，把沿向折叠，折过去后交于点P，设，. （1）用x的代数式表示y，并写出x的取值范围； （2）求的最大面积及相应x的值. 【答案】（1） （2）当时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）设，根据几何关系可得各边长度，再根据中的勾股定理列式，化简可得，根据求解即可； （2）根据，利用基本不等式求解最大值即可 【小问1详解】 如图，∵，由矩形的周长为16cm，可知， 设，则， ∵，，， ，∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得，所以即 【小问2详解】 的面积为， 当且仅当即时，的面积最大，面积的最大值为 21. 已知函数. （Ⅰ）当时，解关于x的不等式； （Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为．；（II）． 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求． 详解：（Ⅰ）由得, 即 ①当，即时，解得； ②当即时，解得或； ③当，即时， 由于 ， 故解得． 综上可得：当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． （II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立． 即对任意的恒成立， 由于， ∴对任意的恒成立． 令， ∵， 当且仅当，即时等号成立． ∴， ∴实数的取值范围是． 另解: 不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设 (1)当时,,解得 (2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去 (3)当时, (ⅰ),即,得 (ⅱ),解得 综上可得实数的取值范围是． 点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 22. 已知函数，集合． （1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将函数解析式变形为，根据对称性可知集合中的个整数只能是、、，然后对与的大小进行分类讨论，结合题意可得出实数的取值范围； （2）对与的大小进行分类讨论，结合可得出所满足的不等式，结合的取值范围，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）. 因为集合中有且仅有个整数，则，即. ①若，即当时，， 由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，； ②，即当时，， 由于与的平均数为，则，则中的个整数只可能是、、，. 综上所述，实数的取值范围是； （2）①若，即时，则，， ，则，得； ②当时，即当时，， 则， ，则，得， ，可得，， ，，此时； ③若，即当时，， 则， ，则，得， 所以，则，解得，此时， ，，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用不等式的整数解求参数，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $