精品解析：河北省石家庄市第四十二中学2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

八年级上数学期中试卷 时间：90分 分数：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．根据定义，判断各选项是否满足左边为多项式、右边为积的形式即可． 【详解】解：A中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C中右边不是积的形式（含有减法），不是因式分解； D中左边是多项式，右边是，即积的形式，符合因式分解定义； 故选：D． 2. 因式分解多项式应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：因式分解多项式应提取的公因式是， 故选：A． 3. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，本题可以用提取公因式法，公因式确定方法：系数取各项系数的最大公因数，相同字母因数取最小指数． 通过提取公因式法，找出各项的公因式为，然后进行因式分解． 【详解】解：A、，未提取完全，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的要求，故本选项符合题意； C、，未提取完全，故本选项不符合题意； D、，括号内错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式法、提取公因式法进行因式分解即可得． 【详解】A、，则此项不符题意； B、，则此项符合题意； C、，则此项不符题意； D、，则此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法和提取公因式法是解题关键． 5. 已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键． 根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 根据题意，得， 所以， 所以． 6. 若，，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，利用平方差公式将所求代数式分解为已知条件的乘积形式，然后代入计算． 【详解】解：∵ 又∵，， ∴ 故选B． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 8. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（ ） A. ●代表 B. ☆代表 C. △可能代表提公因式法 D. □可能代表完全平方公式法 【答案】D 【解析】 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 9. 若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先将因式分解为三个连续整数的乘积，利用连续整数的性质可得结论．掌握因式分解的方法及三个连续整数的积必能被6整除是偶数是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是整数， ∴，，为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数， ∴能被乘积一定能被整除， ∴整数的最大值为． 故选：D． 10. 如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”．如：．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（ ） A. 任何一个平方数一定是亚平方数 B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C. 两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D. 两个亚平方数的和一定是一个亚平方数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、整式乘法运算、完全平方公式等知识，根据题中定义，利用相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、任何一个平方数一定是亚平方数，说法正确， 理由：设这个平方数为， ∵， ∴任何一个平方数一定是亚平方数，说法正确，不符合题意； B、一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确， 理由：设一个平方数为，一个亚平方数为， 则, ∴一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确，不符合题意； C、两个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确， 理由：设一个亚平方数为，一个亚平方数为， 则 ， ∴两个亚平方数的积一定是一个亚平方数，说法正确，不符合题意； D、两个亚平方数的和一定是一个亚平方数，说法错误， 理由：如：，， 则，但6不能写成两个整数的平方和， ∴两个亚平方数的和一定是一个亚平方数，说法错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 多项式能用平方差公式分解因式，则a的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于两个平方项相减的形式，因此需将多项式转化为的形式，从而确定为负平方数． 【详解】解：多项式需满足 ，且为平方数， 即存在有理数使得 ，故． 因此可取任意负平方数， 时，，符合条件． 故答案为：（答案不唯一） 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，平方差公式，通过观察，2024和2025是连续整数，利用平方差公式简化计算，再结合有理数加减运算求解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 13. 为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 【答案】155763 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 14. 若，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解因式，再把代入进行计算，再提取公因式2，再代入化简求值即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，利用平方差公式分解因式，掌握“利用因式分解再逐步整体代入求值”是解本题的关键． 15. 已知，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，提取公因式法，完全平方及平方差公式，掌握相关方法是解题的关键． （1）先将原式转化为，然后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先分组，转化成，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 先因式分解，再求值∶已知，其中． 【答案】；1280 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式计算即可． 【详解】解∶ ． 当时， 原式 ． 18. 如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． （1）用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． （2）若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用． （1）利用正方形B的面积减去m即可求解； （2）分别求得，；求得，利用平方差公式分解，再整体代入数据求解即可． 【小问1详解】 解：正方形B中空白部分的面积为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：正方形B中空白部分的面积为：； 正方形A中空白部分的面积为：； ∴ ， ∵，， ∴． 19. 因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误 任务： （1）小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． （2）请尝试写出正确的因式分解过程． 【答案】（1）②，y与合并同类项计算错误 （2） 正确的因式分解过程如下： ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解时，减去时，合并同类项出错； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：小禾的解答是从第②步开始出错的，错误的原因是y与合并同类项计算错误； 故答案为：②，y与合并同类项计算错误； 【小问2详解】 略 20. 学完因式分解后，李老师在黑板上写了一个二次三项式分解因式的题，小明因看错了一次项系数而分解成，小丽因看错了常数项而分解成． （1）求李老师在黑板上写的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法． （1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可； （2）先提取公因式3，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 设原多项式为（其中a，b，c均为常数，且）． 小明因看错了一次项系数而分解成，而， ，． 小丽因看错了常数项而分解成，而， ， 李老师在黑板上写的二次三项式为． 【小问2详解】 ． 21. 小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法： 因式分解： 解：原式 设 ∴原式 小福和组内同学分享学习心得时总结： 当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解． 另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式． 小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试 请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据常数之和相等进行分组相乘，然后换元计算即可． （2）根据常数乘积相等进行分组相乘，然后换元计算即可． 【小问1详解】 设， ∴原式 ； 【小问2详解】 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上数学期中试卷 时间：90分 分数：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 因式分解多项式应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 38 6. 若，，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 18 7. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. 4 D. 3 8. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（ ） A. ●代表 B. ☆代表 C. △可能代表提公因式法 D. □可能代表完全平方公式法 9. 若是整数，则一定能被整数（是一位整数）整除，整数的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”．如：．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（ ） A. 任何一个平方数一定是亚平方数 B. 一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C. 两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D. 两个亚平方数的和一定是一个亚平方数 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 多项式能用平方差公式分解因式，则a的值可以是________． 12. 计算：________． 13. 为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是________． 14. 若，则的值是____________． 15. 已知，则的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 17. 先因式分解，再求值∶已知，其中． 18. 如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． （1）用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． （2）若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 19. 因式分解．小禾通过代入特殊值检验的方法，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验： 当，时， ∵ ∴分解因式错误 任务： （1）小禾的解答是从第______步开始出错的，错误的原因是____________． （2）请尝试写出正确的因式分解过程． 20. 学完因式分解后，李老师在黑板上写了一个二次三项式分解因式的题，小明因看错了一次项系数而分解成，小丽因看错了常数项而分解成． （1）求李老师在黑板上写的二次三项式； （2）将（1）中的二次三项式分解因式． 21. 小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：．小福同学经过几次尝试后发现如下做法： 因式分解： 解：原式 设 ∴原式 小福和组内同学分享学习心得时总结： 当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换元完成分解． 另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式． 小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试 请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $