小题狂练04：立体几何与空间向量常考小题19个题型-2026届高三数学一轮复习

2025-2026年高三一轮总复习常考题型归纳 【立体几何与空间向量常考小题19个题型】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心知识点（体系化梳理） （一）空间几何体的结构、表面积与体积 1.多面体与旋转体的结构特征 几何体类型 结构特征 关键元素 棱柱 ①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）都是平行四边形；③相邻侧面的公共边（侧棱）互相平行 底面（全等多边形）、侧棱（长度相等）、高（两底面间距离） 棱锥 ①有一个面（底面）是多边形；②其余各面（侧面）是有公共顶点的三角形 底面（多边形）、顶点、侧棱、高（顶点到底面距离） 棱台 ①用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的部分；②两底面互相平行且相似 上底面、下底面、高（两底面间距离） 圆柱 矩形绕其一边所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 底面（全等圆）、轴（垂直于底面）、高（轴的长度）、母线（平行于轴且与底面圆相切） 圆锥 直角三角形绕其一条直角边所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 底面（圆）、轴、高、母线（顶点到底面圆周的线段） 圆台 直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体；或用平行于圆锥底面的平面截取圆锥所得 上底面、下底面、轴、高、母线（两底面圆周间的线段） 球 半圆绕其直径所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 球心、半径、直径、大圆（过球心的截面圆）、小圆（不过球心的截面圆） 2.表面积与体积公式 多面体： 1.表面积=各面面积之和（棱柱侧面积=底面周长×侧棱长；棱锥侧面积=×底面周长×斜高；棱台侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×斜高） 2.体积：；； 旋转体： 1.表面积： 圆柱：（为底面半径，为母线长） 圆锥： 圆台：（为上底半径，为下底半径） 球：（为球半径） 2.体积： 圆柱： 圆锥： 圆台： 球： （二）空间点、直线、平面的位置关系 1.基本公理与定理 公理/定理 内容 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（） 判定直线在平面内、证明点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面） 确定平面、证明点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（） 证明点共线、线共点 公理4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行（） 证明线线平行、构建平行关系 线面平行判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（） 判定线面平行 线面平行性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（） 由线面平行得线线平行 面面平行判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行（） 判定面面平行 面面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（） 由面面平行得线线平行 线面垂直判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（） 判定线面垂直 线面垂直性质定理 如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内所有直线垂直（） 由线面垂直得线线垂直 面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（） 判定面面垂直 面面垂直性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（） 由面面垂直得线面垂直 2.空间角的定义与计算 异面直线所成角： 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成角. 2.范围： 3.计算方法：平移法（找平行线，构造三角形）、向量法（，为异面直线的方向向量） 直线与平面所成角： 1.定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，等于直线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）. 2.范围： 3.计算方法：射影法（找直线在平面内的射影，构造直角三角形）、向量法（，为直线方向向量，为平面法向量） 二面角： 1.定义：从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的图形，其大小用二面角的平面角衡量（过棱上一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成角）. 2.范围： 3.计算方法：定义法（找平面角）、三垂线定理法（构造平面角）、向量法（，为两平面法向量，符号由二面角类型确定） （三）空间向量与立体几何（高频工具） 1.空间向量的基本运算 坐标表示：设空间直角坐标系中，，，则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘：（） 4.数量积： 5.模长： 2.向量与几何关系的转化 几何关系 向量条件（为直线方向向量，为平面法向量） 线线平行（） （） 线线垂直（） （） 线面平行（） （）且 线面垂直（） （） 面面平行（） （） 面面垂直（） （） 二、常考结论（高频实用，直接应用） 1.正方体与长方体的特殊结论： 正方体棱长为，则面对角线长为，体对角线长为；外接球半径，内切球半径. 长方体长、宽、高为，则体对角线长为，外接球半径（长方体的外接球直径等于体对角线）. 2.棱锥的“高”与“外接球”： 正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形. 若棱锥的顶点在底面的射影是底面多边形的外心，则棱锥的外接球心在其高上（可通过勾股定理求外接球半径：，为棱锥高，为底面外接圆半径）. 3.球的截面性质： 球的截面圆半径满足（为球半径，为球心到截面的距离）；当时，（大圆）；当时，（截面过球心）. 4.平行与垂直的传递性补充： 垂直于同一条直线的两个平面平行（）. 平行于同一个平面的两条直线不一定平行（可能异面、相交）. 垂直于同一个平面的两条直线平行（）. 5.二面角与距离的常用结论： 若两平面垂直，一个平面内的点到另一个平面的距离等于该点到交线距离的（为两平面二面角的平面角）. 异面直线的距离：可转化为其中一条直线到过另一条直线且与第一条直线平行的平面的距离（公式：，，为的公垂线方向向量）. 三、易错点（避坑指南，高频失分点） 1.概念混淆类： 混淆“斜高”与“高”：棱锥的斜高是侧面三角形的高，高是顶点到底面的距离（仅正棱锥中，斜高、高、底面边心距构成直角三角形）；圆柱/圆锥的高是轴的长度，母线是侧面上的线段（圆锥母线长，易误将高当作母线）. 误判“线面平行”的条件：忽略“直线在平面外”的前提（若，但，则与不平行，而是）. 2.空间角计算类： 异面直线所成角范围错误：误取钝角（需取锐角或直角，向量计算时需加绝对值：）. 二面角的平面角与法向量夹角的关系混淆：法向量夹角可能是二面角或其补角，需结合图形判断（若两法向量“指向”二面角内部或外部，夹角为补角；若一内一外，夹角为二面角）. 3.体积与表面积计算类： 多面体表面积漏算/多算面：如棱台表面积需加上下底面面积，圆柱侧面积是（非，圆锥侧面积才是）. 球的组合体半径计算错误：如正方体“切球”（内切球）半径是棱长的一半，“接球”（外接球）半径是体对角线的一半，易混淆两者；三棱锥外接球若顶点在底面射影是外心，需用计算，易忽略“”（球心可能在棱锥内部或外部）. 4.逻辑推理类： 面面平行判定定理中忽略“相交直线”：误将“一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行”当作面面平行的条件（需两条直线相交，否则不成立）. 面面垂直性质定理中忽略“在平面内”：误将“垂直于交线的直线垂直于另一个平面”的条件省略“直线在一个平面内”（若直线不在平面内，仅垂直于交线，不一定垂直于平面）. 5.坐标系建立类： 空间直角坐标系建系不规范：未确保轴两两垂直（如底面是菱形时，误将边当作轴，未取对角线保证垂直），导致后续向量坐标计算错误. 点的坐标计算错误：如长方体顶点坐标，易混淆各边对应的坐标轴（需明确长、宽、高分别对应轴，按“右手法则”建系）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：圆锥的表面积与体积】 【解题策略】 1.熟记核心公式：表面积（为底面半径，为母线长）；体积（为高）. 2.利用几何关系：母线、半径、高满足，已知其中两个量可求第三个. 3.结合轴截面：圆锥轴截面为等腰三角形，可通过三角形边长关系辅助求参数. 1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱和圆锥的侧面积公式可求得，再利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 即，故， 所以圆锥的体积为. 故选：B. （2024·福建龙岩·三模）已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球的体积公式，计算出球半径，然后根据球的表面积公式与圆锥的侧面积公式，列式算出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，利用锥体的体积公式算出答案． 【详解】设球的半径为，则球体积，解得， 所以球的表面面积， 设圆锥的母线长为，底面圆半径为， 则，即，解得， 因此该圆锥的高， 可得圆锥的体积． 故选：B． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积. 【详解】如图： 设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以. 因为的面积为，所以 . 又 . 所以圆锥的表面积为：. 故选：B 4．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积. 【详解】因为底面半径，所以底面周长， 又圆锥母线长，所以圆锥侧面积． 故选：A． 5．（2023·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得，进而可求侧面积. 【详解】因为，且为直角三角形，将半个圆锥展开后如图，则， 又因为为的中点，则， 可得为等边三角形，即，则侧面展开图的圆心角为 所以该圆锥的侧面积. 故选：C. 【题型2：圆柱的表面积与体积】 【解题策略】 1.公式应用：表面积；体积，重点区分底面半径和高. 2.关联侧面展开图：圆柱侧面展开为矩形，长为底面周长、宽为高，可通过展开图边长关系求参数. 3.轴截面分析：轴截面为矩形，长、宽对应圆柱的高和底面直径，辅助几何量计算. 6．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解. 【详解】球的体积为，可得其半径， 圆柱的底面直径为2，半径为，在轴截面中，可知圆柱的高为， 所以圆柱的侧面积为. 故选：A． 7．（24-25高三上·广东·开学考试）已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，依题意得到求得，继而求出圆锥的高，最后求即得. 【详解】设圆柱的底面半径为，因为圆柱轴截面是正方形，所以圆柱的高为， 依题意圆锥的底面半径为，设圆锥的母线长为， 因为圆锥与该圆柱的侧面积相等，所以，解得， 则圆锥的高为 ， 圆柱的体积，圆锥的体积， 所以. 故选：B. 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知高为的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆锥高的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的体积公式求出圆锥的体积即可. 【详解】设圆柱底面半径为，则圆锥底面半径为. 因为圆锥的高为，所以圆柱的高为. 因为圆锥和圆柱的侧面积相等，所以. 解得. 所以圆锥的体积为. 故选：C. 9．（2025·天津和平·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由△△，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案． 【详解】由题意可知圆锥的轴截面是边长为的正三角形， 则圆锥的高，如图， 由△△，可得，则， ， 圆柱侧面积， 圆锥侧面积，则． 故选：C． 10．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 【题型3：圆台的表面积与体积】 【解题策略】 1.明确参数：区分上底半径、下底半径、母线、高. 2.公式记忆：表面积；体积. 3.几何关系：母线、高、半径差满足，可由圆锥截得的圆台，利用原圆锥参数推导圆台参数. 11．（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆台的母线长，圆台为高为，根据圆台的侧面积公式和圆的面积公式，列出方程，求得母线长为，得到，结合圆台的体积公式，即可求解. 【详解】设圆台的母线长，圆台为高为， 则圆台的上、下底面圆的面积分别为， 侧面积为， 所以，可得，则， 所以圆台的体积为. 故选：B. 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得．设等腰梯形ABCD的上、下底边长分别为a，，，分别过点D，A作，垂足分别为点G，F，判断四边形ADGF为矩形，且，再根据腰与底边的角度，求圆台的侧面积. 【详解】如图，由题意得． 设等腰梯形ABCD的上、下底边长分别为a，，，即． 分别过点D，A作，垂足分别为点G，F， 因为，则四边形ADGF为矩形，且，所以． 在中，，， 则等腰梯形的面积，解得， 则圆台的上、下底面的半径分别为，母线长为， 所以圆台的侧面积为． 故选：A． 13．（2025·湖南长沙·二模）已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】作圆台的轴截面，结合条件求圆台的高和母线长，再结合侧面积公式求结论. 【详解】记圆台的轴截面为等腰梯形， 作圆台的轴截面如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为， 所以，，， 所以，，， 所以圆台的高为，母线长为2． 故圆台的侧面积． 故答案为：. 14．（2025·河北秦皇岛·二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 15．（2025·广东深圳·三模）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 【题型4：棱柱的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积：直棱柱侧面积=底面周长×侧棱长，表面积=侧面积+2×底面积；斜棱柱侧面积需用每个侧面平行四边形面积求和. 2.体积：统一用“底面积×高”，直棱柱的高为侧棱长，斜棱柱的高为两底面间的垂直距离（需通过线面垂直找）. 3.底面处理：底面为多边形时，优先计算多边形面积 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）经典例题1例题    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积 ， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 17．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（    ）经典例题2例题 A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，根据外接球的表面积求解球的半径，即可求得，从而求解正四棱柱的侧面积. 【详解】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a， 因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得， 又正四棱柱外接球的直径为其体对角线，所以，解得， 则该正四棱柱的侧面积为. 故选：D 18．（2024·四川成都·二模）在正方体中，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该正方体的表面积为（    ）小试牛刀1 A．6 B．8 C．24 D．54 【答案】C 【分析】由线段是定值结合正方体的特征得出点的轨迹，结合弧长公式计算即可. 【详解】设正方体棱长为， 由正方体性质知平面， 平面，得， 所以， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 设圆弧分别交与点，则， 所以，同理，所以圆心角是， 则轨迹长度为，可得， 所以正方体的表面积为. 故选：. 19．（2025·湖南湘潭·一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可判断水的体积为三棱柱体积的一半，由此结合棱柱的体积，即可求出答案. 【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点， 设棱柱的体积为V，则水的体积为； 当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为， 则无水部分为水平放置的小三棱柱（一侧面为水面），其体积为， 由于三棱柱和三棱柱的高相同， 故，由于，则∽    ， 故，而，故，故， 故选：D 20．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱的体积为1，P点为四边形的中心，则四面体的体积与三棱柱的体积比为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由题意得，得，又即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 故答案为： 【题型5：棱锥的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积：正棱锥侧面积，表面积=侧面积+底面积；非正棱锥侧面面积需逐个三角形计算. 2.体积：，正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形，可辅助求高. 3.几何模型：正棱锥中，高、侧棱、底面外接圆半径也构成直角三角形，用于参数互求. 【多选】21．（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．三棱锥的表面积为 B．三棱柱的表面积为 C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为 D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为 【答案】ACD 【分析】设棱长为，分别表示出表面积、高和体积，逐一判断选项即可. 【详解】对于A项，设正方体的棱长为，则，解得， 则三棱锥的表面积为 ，故A正确； 对于B项，三棱柱的表面积为，故B错误； 对于C项，易知该三棱锥为正四面体，如图， 高，    则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为，故C正确； 对于D项， ， 所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为，故D正确. 故选：ACD. 22．（2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 因为，所以，即，则， ，所以四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 设梯形的高为，的高为， 所以梯形的面积为， 所以三棱台的表面积为：， 又，所以，解得：， 所以截面. 故选：D.    23．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的体积为3，，，，则（    ）小试牛刀1 A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】作出符合题意的图形，建立空间直角坐标系，结合题意得到，再利用勾股定理求解即可. 【详解】如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 设，因为，所以，解得， 因为，，所以， 设且，，则到面的距离为， 因为三棱锥的体积为3，所以，解得， 由两点间距离公式得， 可得，得到， 而，则，化简得，解得， 由勾股定理得，故D正确. 故选：D 24．（2025·辽宁大连·一模）空间中有一正方体， 将点依次连接， 得到体积为 的三棱锥 ，则正方体的体积为（   ）小试牛刀2 A． B．24 C． D． 【答案】D 【分析】利用正方体和锥体的体积公式即可求解. 【详解】 由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积， 即 设正方体的边长为，则有， 所以正方体体积为， 故选：D. 25．（2025·江西新余·模拟预测）现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意当正四面体棱长最小时，魔方正方体的外接球即为正四面体的内切球，设正四面体棱长为，根据等体积法列式求解即可. 【详解】由于该正方体棱长为2，故其外接球的半径为， 这个正四面体棱长的最小时，正四面体内切球的半径为. 设正四面体棱长为，其高为， 根据等体积法知：，解得. 故选：D. 【题型6：棱台的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积=侧面积+上底面积+下底面积. 2.体积：（为高）. 3.结构关联：由棱锥截得的棱台，可利用原棱锥的高、斜高关系推导棱台的参数. 26．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ）经典例题1例题 A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求得正四棱台的高，侧面等腰梯形的高，结合棱台表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：B. 27．（2025·浙江嘉兴·一模）已知正三棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据台体的体积公式求台体的高. 【详解】正三棱台的上底面积为，下底面积为， 因为台体体积为，所以， 解得，即正三棱台的高为1. 故选：C 28．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 29．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，正三棱台的上、下底边长分别为和， 可得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得，所以正三棱台的高为6， 所以 . 故选：D． 30．（2025·北京丰台·二模）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（   ）小试牛刀3 A．18 B． C． D．34 【答案】B 【分析】过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可. 【详解】由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等， 过作底面，交底面于，过作交于，连接， 因为底面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面平面， 所以即为侧面与底面夹角的平面角，即， 由题意可知，所以， 所以该棱台的表面积. 故选：B 【题型7：组合体的表面积与体积】 【解题策略】 1.拆分几何体：将组合体分解为圆柱、圆锥、棱柱等基本几何体. 2.体积计算：直接求和各基本几何体的体积. 3.表面积计算：需“去重”，减去重叠部分的面积（如圆柱叠在棱柱上，需减去圆柱底面与棱柱接触面的面积）. 31．（2025·河北唐山·模拟预测）一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】确定几何体的形状，根据圆锥的体积公式即可求得答案. 【详解】如图，为等边三角形，O为的中点，， 以其边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体是以为半径的圆为底面高为1的两个圆锥， 故几何体体积为， 故答案为： 32．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积. 【详解】根据题意作出矩形与几何体，分别如图下左右两图所示： 旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体， 将这两个几何体的体积均记为，这两个几何体的重叠部分是以圆O为底面， A，C分别为顶点的两个小圆锥，记两个小圆锥的体积和为， 而，点B到直线的距离为，圆O的半径为， 所以的体积. 故选：C 33．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作平面于，过作于，连接，证明平面，即得为的平面角，利用解三角形列方程即可求得正四棱台上底边长，再根据该结构的组成计算其表面积即可. 【详解】过作平面于，过作于，连接， 因平面,则，又平面， 故平面，因平面，则，故为的平面角， 故，则. 令正四棱台上底边长为，则， ， 所以，即， 解得或（舍去），故. 所以该结构表面积为 . 故选：A. 【多选】34．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 【多选】35．（2025·青海·模拟预测）如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（    ）小试牛刀3    A．平面平面 B．平面平面 C．该几何体的体积为 D．存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 【答案】BCD 【分析】该几何体可由正方体切去八个角得到，结合正方体性质逐个选项判断即可. 【详解】作棱长为的正方体，取各个棱的中点，连接即可得符合题意的几何体. 取中点M，中点N，连接，可得， 由正方体性质可得，则可证平面， 则平面与平的交线，，则 则平面与平所成角为， 其中，则，A错误； 由正方体性质可得平面平面，B正确； ，C正确； 球心为正方体中心，半径为2，则该几何体的顶点都在球的球面上，D正确；    故选：BCD. 【题型8：内接球的表面积与体积】 【解题策略】 1.核心条件：内切球与几何体各面均相切，球心到各面的距离等于半径. 2.公式应用：表面积；体积. 3.常见模型：正方体的内切球半径为棱长的一半；正四面体的内切球半径可通过“体积=表面积××内切球半径”推导. 36．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C （2025·浙江·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点，   ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点， 则，，，， 且，，， 过点作交于，显然，四边形为矩形， 且，， 在中，，，， 由，得，则，. 在中，，， 在中，， 在中，，， 因此圆台的上底面半径，下底面半径，高， 圆台的体积， 而球的体积，球的体积， 所以容器中水的体积. 故答案为： （25-26高三上·浙江杭州·月考）某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解. 【详解】设小球的半径为，则小球的表面积为，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：    由小球的半径， 得， 又都是等边三角形，则， 圆台的上、下底面圆的半径分别为， 母线长，因此圆台的侧面积为， 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为， 所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：B （2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 所以球的表面积的最大值为， 故选：C. （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .小试牛刀3    【答案】 【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积. 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 【题型9：求外接球的表面积与体积】 【解题策略】 1.核心条件：外接球的球心到几何体各顶点的距离等于半径. 2.公式应用：表面积；体积. 3.模型总结：长方体的外接球直径等于体对角线；正棱锥的外接球心在其高上，可通过勾股定理求解（为棱锥高，为底面外接圆半径）. （2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为 ，圆台的外接球的体积为 .经典例题1例题 【答案】 1 / 【分析】作圆台轴截面，根据母线与高的夹角为求得，根据截面及已知列方程组求得，代入球的体积公式求解即可. 【详解】设此圆台上底面圆心为，下底面圆心为，其外接球的球心为，半径为，作圆台轴截面如图所示： 则，设圆台的高为， 根据轴截面及母线与高的夹角为，可知， 所以，所以. 设（若球心在圆台内，则求得）， 则，解得， 所以圆台的外接球的体积为. 故答案为：1； （2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出外接圆的半径，再根据三棱锥的特征找出球心与外接圆圆心的位置关系，进而求出球的半径，最后根据球的表面积公式求出球的表面积. 【详解】已知，，由余弦定理得： 所以， 由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故， 由于侧棱长， 则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则， 设，由勾股定理，即，解得：， 则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上， 设到的距离为，则， ，因，故，解得：， 所以球的半径，表面积为. 故选：D. （2022·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为：    （2025·海南·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出正三棱台的上、下底面外接圆的半径及正三棱台的高，再判断外接球球心的位置，并利用勾股定理求解外接球半径，最后利用球的体积公式求解即可. 【详解】如图，设正三棱台的上、下底面的外接圆圆心分别为， 连接，则为正三棱台的高． 因为正三棱台的上、下底面边长分别为， 所以． 因为侧棱与底面所成角的正切值为3，所以， 过作，垂足为，易得四边形为矩形，所以， 则， 故正三棱台的高， 易知球心在线段或其延长线上，设外接球的半径为， 连接． 当球心在线段上时，，得， 此时点与重合， 当球心在线段的延长线上时，，无解， 所以正三棱台外接球的体积为． 故选:D．    （2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在外接圆上取一点，使得，则，可知三棱锥和的外接球是同一个球，取线段的中点，连接、，由二面角的定义额可知二面角的平面角为，设的外心为，过点在平面内作，过点在平面内作平面，设，则为球心，求出的长，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，则为外接圆的一条直径， 在外接圆上取一点，使得，则， 且三棱锥和的外接球是同一个球， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 因为，则，且， 所以，的外接圆半径为， 设的外心为，过点在平面内作， 过点在平面内作平面，设， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示： 由题意得，，， 所以，， 所以，球的半径为， 因此，球的表面积为， 故选：A. 【题型10：与外接球截面有关题型】 【解题策略】 1.截面性质：球的截面圆半径满足（为球半径，为球心到截面的距离）. 2.解题步骤：先确定球半径，再找到球心到截面的距离，代入公式求截面圆相关量（如面积、周长）. 3.特殊情况：当截面过球心时，，截面为大圆（）. （2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B （24-25高三上·江苏常州·月考）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先确定球心的位置，进而结合，用球心到过点的截面圆的距离的取值范围可得的取值范围，从而得到结果. 【详解】设正三棱锥的外接球的半径为，则，得. 假设正三棱锥中， 外接圆的圆心，则球心在上， 设， 外接圆的半径为 即，两式相减得， 又，解得，所以外接圆的圆心是球心. 如图所示： 设球心到过点的截面圆的距离为，截面圆的半径为， 则， 因为球心到过点的截面圆的距离的最大值为， 所以的最小值为， 又因为点在为半径的圆面上，则球心到过点的截面圆的距离的最小值为， 所以的最大值为， 总上可知，，即 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. （23-24高一下·山东德州·月考）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ，则球的体积为 .小试牛刀1 【答案】 【分析】利用截面三角形是直角三角形，可得外接圆半径是斜边的一半，再由球心距，小圆半径和球的半径组成勾股定理来计算即可. 【详解】在中，由，得，则， 所以外接圆半径，设球半径为，依题意，， 即，，所以球的体积， 故答案为：. （2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截得的截面圆的半径为，球的半径为，由平面几何知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案. 【详解】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为， 因为， 所以.由勾股定理，得，由题意得， 所以，解得， 此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小. 设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则， 所以只需球心到所求截面的距离最大即可， 而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大， 即，所以. 故选：C （23-24高二上·江西抚州·期中）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求出外接圆的半径，然后根据勾股定理推得三棱锥的高，进而得出的长.当截面垂直于时，截面面积最小，求出此时半径，即可得出答案. 【详解】 如图，是A在底面的射影，则点在线段上. 由正弦定理得，的外接圆半径，所以. 在中， 由勾股定理得棱锥的高. 设球O的半径为R， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以. 在中，，. 所以在中，有. 又因为当截面垂直于时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为. 故选：A. 【题型11：与外接球有关的最值】 【解题策略】 1.分析思路：将几何量（如距离、面积）表示为关于外接球半径或相关参数的函数，利用函数单调性或不等式（如均值不等式）求最值. 2.常见场景：长方体的长、宽、高之和为定值时，求外接球体积的最小值；棱锥顶点在球面上运动时，求某线段的最值. 3.辅助工具：结合空间几何关系，将动态问题转化为球面上的点与定点/定线的距离问题. （2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，，，则点D到平面ABC的距离的最大值为 ，球O的体积为 ．经典例题1例题 【答案】 4 / 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的体积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径， 所以点到平面的距离的最大值为，球的体积为． 故答案为：4， （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 （22-23高三上·山东青岛·期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（    ）小试牛刀1 A．18 B． C． D．27 【答案】B 【分析】先求出外接球的半径，再根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数可求出函数的最值. 【详解】如图，设正四棱锥的底面边长，高，外接球的球心为，则， 因为球的体积为，所以球的半径为， 在中，，即， 所以正四棱锥的体积为 整理得，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得最大值， 故选：B    （2023·湖北黄冈·模拟预测）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，如图， 因为正六棱锥外接球的表面积为， 所以有， 因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以， 设，在正六边形中，因为正六边形边长为，所以 ， 在中，由余弦定理可知， 在直角三角形中，， 所以有， 由勾股定理可知， 因为，所以， 因此有4，而，所以， 该正六棱锥的体积， ，当时，单调递增， 所以，， 因此该正六棱锥的体积的取值范围是， 故选：C （2023·四川·一模）已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，面，则该四棱锥的体积的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】底面四边形所在圆面的圆心为，设其半径为，利用外接圆的集合性质确定底面积的最大值，设，根据球的几何性质得的等式关系，再利用函数结合导数即可求出四棱锥的体积的最大值． 【详解】四棱锥中，因为面，设，球的半径， 如下图：底面四边形所在圆面的圆心为，设其半径为，连接， 则底面四边形的面积为： ， 且，则， 当且仅当时，即底面四边形为正方形时，底面积最大，即， 又如下图，因为面，所以圆，设为圆的直径，连接 由球的性质可得，圆，即，所以 所以，则，所以， 则该四棱锥的体积，又，设， 则得或（舍），故在上单调递增，在上单调递减， 所以，故当时，该四棱锥的体积取到最大值为. 故选：C. 【题型12：求异面直线的夹角】 【解题策略】 1.定义转化：将异面直线夹角转化为其平行线的夹角（取锐角或直角）. 2.计算方法： 平移法：通过中位线、平行四边形等构造平行线，形成三角形后用余弦定理求解. 向量法：利用异面直线的方向向量、，夹角满足. 3.注意事项：夹角范围为，向量点积需取绝对值. （2025·江西宜春·模拟预测）已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为 .经典例题1例题 【答案】5或 【分析】作辅助线，可知或，可证平面，进而分情况求解即可. 【详解】如图，作 且，连接， 可知（或其补角）为异面直线所成的角， 则或. 因为 ，且，可知是平行四边形， 则 ， 因为，则， 且，平面，则平面， 且平面，则.又， 若，则； 若，则. 综上所述：的长为5或. 故答案为：5或. （2025·广东·模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，连接，设，为异面直线与所成的角，即可求解． 【详解】如图，设，连接，设． 易得 ，且， 所以四边形为平行四边形，则 ， 所以或其补角为异面直线与所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 因为，且，所以， 所以， 所以，则． 故异面直线与的夹角为． 故选：A   （2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱中，已知，D，E分别在棱上，且，，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱上取点G，使得，异面直线BC与DE所成的角为或其补角，结合余弦定理求解即可. 【详解】在棱上取点G，使得，连接BG，CG，如图所示． 由，，所以，， 又，所以且，得四边形为平行四边形 ， 则有，所以异面直线BC与DE所成的角为或其补角． 设，则，， 在中，，， 由余弦定理得． 所以异面直线BC与DE所成角的余弦值为. 故选：A （24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，分析可知异面直线与所成角为或其补角，求出的长，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，则也为的中点，如下图所示： 在直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体， 又因为，且，则， 因为，，所以， 故， 因为四边形为矩形，则， 所以异面直线与所成角为或其补角， 且， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. （2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可． 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线与所成角为． 故答案为：． 【题型13：线面角有关计算】 【解题策略】 1.定义转化：线面角为直线与平面中射影的夹角（取锐角或直角）. 2.计算方法： 射影法：找到直线在平面内的射影，构造直角三角形，用“对边/斜边”求正弦值. 向量法：利用直线方向向量与平面法向量，线面角满足. 3.注意事项：夹角范围为. （2025·浙江台州·一模）在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的大小为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】先根据垂直关系确定直线与平面所成角为，然后根据线段长度和勾股定理确定该角的大小. 【详解】因为平面，平面， 所以. 在中，，所以， 所以，又平面. 所以平面，所以直线与平面所成角为. 在中，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 故答案为：.    （2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，建立空间直角坐标系，设点，得出向量坐标，利用向量数量积公式结合已知条件得出，再利用向量的模的计算公式求出，最后求出线面角的正弦值． 【详解】设，以为原点，为轴，为轴，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， ， ，即， 同理，即 设，则， ， ，解得， 直线与平面夹角的正弦值等于点到平面的距离与的比值，即． 故选：B． （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. （2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正四棱台的高，设O距离下底面距离为x，由题意可得，解方程即可知正四棱台下底面中心即为球心，求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可得出答案. 【详解】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则， 解得，即正四棱台下底面中心即为球心， 则外接球的直径为，表面积为， 故选:C. （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出与平面所成角，再利用解三角形即可求得与平面所成角的正弦值. 【详解】取中点，连接,分别在线段上 取，连接. 则在正三棱台中， 分别为的中心， 且平面，平面,. 则平面平面，则即为与平面所成角. 令，由正三棱台中， 可得， 又四边形为菱形，则，,, 则， 则 故选：B 【题型14：二面角有关计算】 【解题策略】 1.定义转化：二面角的大小由其平面角（过棱上一点，在两平面内垂直于棱的射线夹角）衡量. 2.计算方法： 定义法：在棱上取点，分别在两平面内作棱的垂线，构造平面角后计算. 向量法：利用两平面的法向量、，二面角满足（符号由二面角类型确定）. 3.注意事项：夹角范围为，需结合图形判断是锐角还是钝角. （2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出平面与平面所成角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，过点作，垂足为，   平面平面，且平面平面平面， 作，则，则平面， 作于，平面，， 又，平面平面， 平面， 为平面与平面所成二面角的平面角． 且， 作于，由是等边三角形， 得． 故选：D. （2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ）经典例题2例题 A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作出球心，利用外接球半径，外接圆半径，可求得即可得到二面角的大小. 【详解】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心， ，，即， 所以在中点处，， ，， ，且在垂直平分线上， 所以， 三棱锥的外接球表面积为， ，， 又平面，平面，所以， 则，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以共面， 所以就是二面角的平面角， 或. 故选：A. （2025·北京·模拟预测）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. （2025·福建厦门·三模）已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到. 【详解】，又，； 记点为，翻折后，连接， ，，即为二面角的平面角，， ，， 轴，，，又，平面， 平面，又平面，， ，， 的最小正周期，. 故选：B. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出，利用周期求出， 再由勾股定理求出，根据图象过点即可得解. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，在平面内作轴，轴交于点， 连接，则是二面角的平面角，即， 则，由轴垂直于，平面， 得轴垂直于平面，又轴，则平面，而平面，因此， 又函数的周期，即， 由勾股定理得，即，解得， 而函数的图象过点，则，即， 又，且0在的递减区间内，所以. 故选：B 【题型15：点到直线，点到平面的距离】 【解题策略】 1.点到直线的距离： 几何法：构造含该直线的直角三角形，用面积法求高. 向量法：利用直线方向向量与向量（在直线上，为点），距离. 2.点到平面的距离： 几何法：找到点在平面内的射影，计算垂线段长度. 向量法：利用平面法向量与向量（在平面上，为点），距离. （25-26高二上·辽宁·月考）在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（    ）经典例题1例题 A．3 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S，三棱锥P－ABC的体积为，设点P到平面CDE的距离为h，三棱锥的体积为，进而可得体积比，求得h. 【详解】因为点D，E为边PA，PB的中点， 所以2DE＝AB，因此AB＝CA＝CB，故△ABC也为正三角形， 且其边长为△CDE的边长的两倍，面积是△CDE的面积的四倍， 设△CDE的面积为S，则△ABC的面积为4S. 三棱锥的体积为，设点到平面的距离为h， 三棱锥的体积为.所以三棱锥C－PDE的体积也为， 又因为点D，E为边PA，PB的中点，所以△PDE∽△PAB， 相似比为，面积比为，故三棱锥C－PDE与三棱锥C－PAB的体积之比为， 所以，所以，解得h＝6， 所以点P到平面CDE的距离为. 故选：C. （2025·安徽·模拟预测）在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作 平面 于点 ， 易得 ，设 ，利用勾股定理及余弦定理计算可得，进而利用等体积计算可得结果. 【详解】如图，作 平面 于点 ， 平面 ，则， 又因为， ，平面 ， 所以 平面 ， 因为平面 ， 所以， 因为为等边三角形，所以， 所以 . 连接 . 设 ，则， 因为 ， 所以 ，解得 . 在 中， ，所以 所以 . 由 ， 可得点 到平面 的距离为 . 故选：C    （2025·北京门头沟·一模）某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积公式首先求得三棱锥的体积，再换底表示三棱锥的体积，即可求得点点到平面的距离. 【详解】 因为，且底面是等腰直角三角形，， 所以点在平面上的射影为边的中点，在直角三角形中，由勾股定理得,所以, 又因为底面是等腰直角三角形，， ; 设点到平面的距离为，则 , 所以. 故选：C （2025·辽宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用线面垂直的判定方法得到平面，又平面，得到点到平面的距离即为点到平面的距离，再用等体积法即可求得结果. 【详解】如图，在中，，所以， 在中，，所以， 在中，因为，所以， 又，，平面，，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 所以， 在等腰三角形中，， 因为，所以，所以， 则点到平面的距离为． 故选：C． （2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 【题型16：立体几何平行垂直的判定】 【解题策略】 1.平行关系判定： 线线平行：利用平行公理、线面平行/面面平行的性质定理. 线面平行：证明直线与平面内一条直线平行（注意直线在平面外）. 面面平行：证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行. 2.垂直关系判定： 线线垂直：利用线面垂直的性质、勾股定理（若三角形三边满足，则两边垂直）. 线面垂直：证明直线与平面内两条相交直线垂直. 面面垂直：证明一个平面经过另一个平面的一条垂线. 3.注意事项：严格遵循定理条件，避免遗漏“相交直线”等关键前提. 【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ）经典例题1例题 A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 【多选】（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ）经典例题2例题 A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 【答案】AD 【分析】根据线线平行、线线垂直、面面平行的判定逐项判定即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以A正确；    对于选项B： 如图建立空间直角坐标系，设，，则. 则，要使得， 那么，无解，所以不存在点使得，所以B错误； 对于选项C： ，要使得， 那么，所以，解得或， 所以存在两个点使得，所以C错误； 对于选项D： ，所以， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以. ， 设平面的法向量为，则. 得到，令，则，所以， 要使得两平面平行，则，解得， 所以有且仅有一个点使得平面平面，所以D正确. 故选：AD.    【多选】（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体中，下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，在正方体中，可得， 因为平面，所以与不平行，所以A错误； 对于B，在正方体中，可得， 因为平面且平面，所以平面，所以B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又由，且，平面，所以平面，所以C正确； 对D，由选项C知：平面，过点有且仅有一条直线与平面垂直，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BC. 【多选】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 【答案】BC 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断A、B、C，举反例判断D. 【详解】对于A：若，则或，故A错误； 对于B：因为，，，所以或，且或。若，因为是不同的直线， 则与是内两条平行线，又，所以。同理，若，则。所以“或”必成立,故B正确。 对于C：若，则或， 若，则内必定存在直线使得，又，所以，所以； 若，又，所以， 综上可得，故C正确； 对于D：若且，此时与所成角均为，相等， 此时，故D错误. 故选：BC 【多选】（2025·全国·模拟预测）已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（   ）小试牛刀3 A．，，三点共线 B． C．平面 D．平面 【答案】BC 【分析】对于A，设在底面上的投影为，由题意无法确定是否在直线上，从而无法确定，，三点是否共线，从而判断A；由线面垂直的判定定理可得平面、平面，从而判断B，C；由题意无法确定平面是否平行于平面，从而无法判断D. 【详解】如图所示： 易知平面底面， 设在底面上的投影为， 若，，三点共线，则在平面上， 此时在直线上， 但根据题设不能确定是否在直线上，故A错误； 因为直四棱柱的各顶点都在球的球面上， 故，，，四点共圆， 若，，三点共线， 同上可知在直线上， 故为圆的直径， 所以，, 又底面，底面， 故， 平面，， 所以平面， 又平面，故， 同理可证平面，故B，C正确； 由于不确定平面是否平行于平面， 故不确定是否平行于平面，故D错误. 故选：BC. 【题型17：立体几何截面问题】 【解题策略】 1.截面定义：用平面截几何体所得的交线围成的图形. 2.解题步骤： 确定截面与几何体各面的交点. 连接交点（需在同一平面内），得到截面形状. 3.辅助方法：利用平行关系（如棱柱的侧棱平行）确定交点位置，结合空间想象补全截面. （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）经典例题1例题    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. （2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则五边形为过点的截面，再计算截面周长即可. 【详解】如图取的中点，的中点，连接、、， 则五边形为过点的截面，取的中点，靠近的三等分点，连接、、， 则，又且，所以四边形为平行四边形， 所以，则， 又且，所以为平行四边形，所以，则， 所以四点共面； 取、靠近、的三等分点、，连接、、， 同理可证，，，所以， 所以四点共面； 所以五点共面； 又，，， 所以截面周长为. 故选：B （2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为 ．小试牛刀1 【答案】3 【分析】利用平行线作出截面图，再利用四棱锥体积转换成三棱锥体积的2倍，然后进行换顶点和底面求体积，即可求解. 【详解】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． （2020·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 ， 小试牛刀2    【答案】 / 【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．     ，为的中点， ≌，为的中点， 的面积. ，， 的面积为， . 设四边形的面积为， 的面积为， 五棱锥的体积为， 连接，则三棱锥的体积为， 故，， . 故答案为：；. （2024·全国·二模）已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，作出过点的长方体的截面，再结合相似三角形求出截面面积. 【详解】在长方体中，连接并延长与的延长线交于点，直线交于，交的延长线于， 连接交于，连接，则五边形即为过点的长方体的截面， 由，为的中点，得是中点，，， 由，是中点，得，则， 则， 等腰底边上的高， 的面积， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，于是∽，同理，∽， ， 因此， 所以所得截面的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件，结合平面的基本事实作出截面多边形是解决本题的关键. 【题型18：立体几何轨迹问题】 【解题策略】 1.分析思路：将空间轨迹问题转化为平面轨迹问题（如点在某平面内运动），先确定轨迹的形状和关键参数，再求解相关问题. 2.常见类型：点到定点的距离为定值（轨迹为球面）；点到定直线的距离为定值（轨迹为圆柱面）；点满足某几何条件（如与两定点连线垂直，轨迹为平面）；在特定平面内满足条件的轨迹（如圆、直线、线段、圆弧等）. 3.解题技巧：结合空间几何关系（如线面垂直、面面平行、距离约束等），确定动点的约束条件，再对应平面几何中的轨迹类型（如圆、直线、椭圆等）. 4.求动点轨迹长度：核心是先明确轨迹的具体形状（如直线段、圆、圆弧等），再根据对应图形的长度公式求解，步骤如下： 步骤1：转化轨迹形式，将空间轨迹精准转化为平面内的具体图形（关键：确定轨迹所在平面，明确轨迹的几何特征）. 步骤2：求解轨迹关键参数，根据已知条件计算轨迹图形的核心参数（如直线段的端点坐标、圆的半径、圆弧的圆心角等）： 若轨迹为直线段：通过空间两点间距离公式计算长度，公式为（、为线段两端点坐标）. 若轨迹为圆：先求圆的半径，再根据需求计算周长（全轨迹）或弧长（部分轨迹）；弧长公式为（为圆弧对应的圆心角，单位为弧度）. 若轨迹为其他规则图形（如椭圆）：结合图形定义和已知条件，提取长半轴、短半轴等参数，代入对应长度公式. 步骤3：代入公式计算长度，注意单位统一（角度单位需匹配弧长公式要求），结合动点的运动范围确定轨迹是否为完整图形（如圆的一部分需明确圆心角范围）. （25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界）， 平面，则点的轨迹的长度为 .经典例题1例题 【答案】/ 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： （25-26高二上·江西景德镇·期中）已知球是棱长为的正方体的内切球，是棱的中点，是球的球面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】先确定经过且与垂直的平面，进而确定点的轨迹为圆，结合垂径定理得截面圆半径即可求解轨迹长度. 【详解】由正方体性质可得，平面，且内切球半径， 分别取的中点，连接， 则，，又，故， 由平面，则平面，又平面， 故，又，平面， 则平面，则点P的轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长， 由，，平面，平面， 且平面，平面， 故平面，平面， 又平面，平面，且， 故平面平面， 由球心平面，则到平面的距离， 即为平面与平面的距离， 故截面圆的半径为， 故的轨迹长度为. 故答案为：. （25-26高二上·四川泸州·期中）已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 且平面，所以平面，平面， 可知和分别是直线与平面所成的角， 则，即， 可得，所以. 以为原点建立平面直角坐标系如下图所示， 则，，设， 由得，化简得， 由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分， 令代入原方程，解得，故， 由于，所以， 所以点的轨迹长度为. 故答案为：. （25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】设S在底面的投影为O，取的中点，设，先证明平面，可得动点P在的三条边上（不包含点），进而求解即可. 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 【多选】（25-26高三上·江苏南京·期中）正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（   ）小试牛刀3 A．三棱锥的外接球表面积为 B．点的轨迹是一段圆弧 C．的最小值为 D．动点的轨迹长为 【答案】ACD 【分析】对于A，先求出三棱锥底面外接圆半径，因为一条棱垂直于底面，因此可根据底面半径与三棱锥的高，运用勾股定理求解出三棱锥外接球的半径，进而得解；对于B，易证得平面,又因为,可逐步证得，进而确定点就在线段上；对于C，根据的长度易得出点的轨迹是圆的一部分，再运用圆外一点到圆上一点的距离知识求解；对于D，建系后，设出点,求出平面的法向量，与向量垂直，可得到的关系式，进而确定的轨迹是一条线段，再求出其长度即可. 【详解】对于A：    由题可知，点是线段上靠近点的四等分点， 三棱锥底面外接圆的半径， 平面,则三棱锥外接球的半径, 因此三棱锥外接球的表面积.故A选项正确； 对于B：    在正方体中，易证, 又平面,平面. ,平面. 又平面,. 又平面. ,即点的轨迹是线段,不是圆弧.故B选项错误； 对于C：在正方体中，有平面, 平面,. ,计算得, 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆心角为度的圆弧.    由上图易知，=. 因此，当时，最小，此时,故C正确； 对于D：    建立如图所示的空间直角坐标系. 则,设点, , 设平面的法向量为,因此有 ,得,得. 平面,,,因此有： ,化简得：. 因此点的轨迹为一条线段. 当时，,设该点为点,此时点在点位置; 当时，,此时点在点位置.    因此点的轨迹为四边形内的线段 故D正确. 故选：ACD. 【题型19：立体几何动点问题】 【解题策略】 1.分析思路：确定动点的运动范围（如在某条棱、某个平面上运动）. 2.解题方法： 几何法：找到动点运动时的不变量（如距离、角度），结合几何关系求最值或定值. 坐标法：建立空间直角坐标系，将动点坐标表示为参数（如），转化为函数问题求解. 3.注意事项：关注动点的边界位置，避免遗漏极端 【多选】（25-26高三上·福建·期中）已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（    ）经典例题1例题 A．点的轨迹的长度为 B．平面 C．恰有一个点，满足 D．与平面所成的角的正弦值的最大值为 【答案】BC 【分析】根据线面垂直、面面垂直、线面平行、面面平行的判定和性质进行逐项判断即可. 【详解】对于A选项， 根据正方体的特性和性质可知，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据正方体的特性和性质可知，，又平面， 平面，因为，为底面内一动点， 所以点在对角线上，即点的轨迹的长度为选项错误； 对于B选项， 因为平面，而不在平面内， 所以平面，同理，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面选项正确； 对于C选项， 因为平面， 所以平面，由选项A知点在上， 所以当且仅当为的中点时，满足，C选项正确； 对于D选项， 因为平面，所以与平面所成的角即为， 因为，所以要使得取最大值，则取最小值， 所以当为的中点时，取得最大值， 此时，D选项错误. 故选：BC.    【多选】（25-26高二上·湖北武汉·期中）在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（   ）经典例题2例题 A．点P一定在平面内 B．当时，点P轨迹的长为 C．当，，三点共线时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 【多选】（25-26高三上·黑龙江·月考）棱长为4的正方体，M为中点，F为侧面内一动点，且平面，过A，M，三点作正方体截面Ω，则（   ）小试牛刀1    A．动点F的轨迹长为 B．异面直线与成角正弦值为 C．三棱锥的外接球体积为 D．若Q为Ω上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于的中点H,G，连接，证明平面，即可判断点的轨迹；对于B，由于，结合余弦定理以及平方关系则可求解；对于C，只需判断三棱锥的外接球即正方体的外接球则可求解；对于D，先证明点为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为平面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥的底面上的高即可求解． 【详解】对于A，如图，分别取的中点H,G，连接， 因为为的中点，易得， 则得四边形是平行四边形，故， 因平面平面，故平面， 又因， 则得四边形是平行四边形，故， 又因为，故， 因平面平面，故平面， 又平面， 故平面平面， 又因平面，故平面， 故点的轨迹为线段，又， 所以动点的轨迹长为，故A正确；    对于B，由于，则即为异面直线与成角， 由于，，， 则由余弦定理可得， 则，故B错误； 对于C，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为4，则其外接球的直径为， 故三棱锥的外接球体积为，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上，    因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得是平行四边形，故点为的中点． 在四棱雉中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为， 又，故，而， 由，可得：， 解得， 综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确． 故选：ACD. 【多选】（25-26高二上·贵州遵义·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．平面平面 B．当时，点的轨迹长度为 C．不存在直线与平面内的直线成角 D．若，分别为，上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】由正方体中由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直的性质得到线线垂直，从而证明线面垂直，即能得到面面垂直，判断A选项；取中点，由勾股定理求得，即可知道点的轨迹及轨迹长度，判断B选项；由几何法得到线面角，然后取的最大值，由线面角的正切即可求得线面角的最小值，判断C选项；建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由向量的和差得到，利用向量的数量积求得异面直线的公垂线，即可求得的最小值，判断D选项. 【详解】在正方形中， 正方体中，平面，平面， ∴，又，平面，平面， ∴平面，平面，∴， 同理在正方形中， 正方体中，平面，平面， ∴，又，平面，平面， ∴平面，平面，∴， ，且平面，平面， ∴平面，平面， ∴平面平面，A选项正确； 取中点，连接，在正方体中，，且， ∴平面，平面，则， ∴，点的轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， ∴点的轨迹长度为.B选项错误； ∵平面，∴为直线与平面的夹角， ∵是正方形内部及边界上一动点，∴， ∴，即，C选项正确； 如图，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 则，，， 设，， 则， 当且时，最小， ∴，解得， 此时，则. ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【多选】（25-26高二上·广东·月考）如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ）小试牛刀3    A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，由求出的坐标，然后计算即可得出A选项；设平面的法向量为，根据题意建立方程组求出法向量为的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可得出选项B；对于C，取的中点，连接，结合图形以及已知条件即可分析得出选项C；选项D，根据题意分析，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，结合已知条件分析即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：    则， 对于AB选项，由知： ， 则， ，A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 故平面的一个法向量为， 又，则点到平面的距离为： ，故B错误； 对于C，取的中点， 连接， 如图所示，      因为正方体的棱长为2， 所以，，， 平面，平面，平面， 所以，， ， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又， 所以面积的最大值: ，故C正确； 对于D，平面，平面， 所以，都是直角三角形. 又， 所以， 因为，所以， 在侧面中以点为坐标原点， 以所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设， 则， 整理得到，圆， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上， 又因为在侧面（含边界）上运动， 所以点的轨迹是圆上的一段劣弧（分别是圆与的交点）， 因为，， 所以， 则点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高三一轮总复习常考题型归纳 【立体几何与空间向量常考小题19个题型】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心知识点（体系化梳理） （一）空间几何体的结构、表面积与体积 1.多面体与旋转体的结构特征 几何体类型 结构特征 关键元素 棱柱 ①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）都是平行四边形；③相邻侧面的公共边（侧棱）互相平行 底面（全等多边形）、侧棱（长度相等）、高（两底面间距离） 棱锥 ①有一个面（底面）是多边形；②其余各面（侧面）是有公共顶点的三角形 底面（多边形）、顶点、侧棱、高（顶点到底面距离） 棱台 ①用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面与截面之间的部分；②两底面互相平行且相似 上底面、下底面、高（两底面间距离） 圆柱 矩形绕其一边所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 底面（全等圆）、轴（垂直于底面）、高（轴的长度）、母线（平行于轴且与底面圆相切） 圆锥 直角三角形绕其一条直角边所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 底面（圆）、轴、高、母线（顶点到底面圆周的线段） 圆台 直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体；或用平行于圆锥底面的平面截取圆锥所得 上底面、下底面、轴、高、母线（两底面圆周间的线段） 球 半圆绕其直径所在直线（轴）旋转一周形成的旋转体 球心、半径、直径、大圆（过球心的截面圆）、小圆（不过球心的截面圆） 2.表面积与体积公式 多面体： 1.表面积=各面面积之和（棱柱侧面积=底面周长×侧棱长；棱锥侧面积=×底面周长×斜高；棱台侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×斜高） 2.体积：；； 旋转体： 1.表面积： 圆柱：（为底面半径，为母线长） 圆锥： 圆台：（为上底半径，为下底半径） 球：（为球半径） 2.体积： 圆柱： 圆锥： 圆台： 球： （二）空间点、直线、平面的位置关系 1.基本公理与定理 公理/定理 内容 作用 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（） 判定直线在平面内、证明点在平面内 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面） 确定平面、证明点线共面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（） 证明点共线、线共点 公理4（平行公理） 平行于同一条直线的两条直线互相平行（） 证明线线平行、构建平行关系 线面平行判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（） 判定线面平行 线面平行性质定理 如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（） 由线面平行得线线平行 面面平行判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行（） 判定面面平行 面面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（） 由面面平行得线线平行 线面垂直判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（） 判定线面垂直 线面垂直性质定理 如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内所有直线垂直（） 由线面垂直得线线垂直 面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（） 判定面面垂直 面面垂直性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（） 由面面垂直得线面垂直 2.空间角的定义与计算 异面直线所成角： 1.定义：过空间任一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成角. 2.范围： 3.计算方法：平移法（找平行线，构造三角形）、向量法（，为异面直线的方向向量） 直线与平面所成角： 1.定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，等于直线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）. 2.范围： 3.计算方法：射影法（找直线在平面内的射影，构造直角三角形）、向量法（，为直线方向向量，为平面法向量） 二面角： 1.定义：从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的图形，其大小用二面角的平面角衡量（过棱上一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成角）. 2.范围： 3.计算方法：定义法（找平面角）、三垂线定理法（构造平面角）、向量法（，为两平面法向量，符号由二面角类型确定） （三）空间向量与立体几何（高频工具） 1.空间向量的基本运算 坐标表示：设空间直角坐标系中，，，则： 1.加法： 2.减法： 3.数乘：（） 4.数量积： 5.模长： 2.向量与几何关系的转化 几何关系 向量条件（为直线方向向量，为平面法向量） 线线平行（） （） 线线垂直（） （） 线面平行（） （）且 线面垂直（） （） 面面平行（） （） 面面垂直（） （） 二、常考结论（高频实用，直接应用） 1.正方体与长方体的特殊结论： 正方体棱长为，则面对角线长为，体对角线长为；外接球半径，内切球半径. 长方体长、宽、高为，则体对角线长为，外接球半径（长方体的外接球直径等于体对角线）. 2.棱锥的“高”与“外接球”： 正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形；高、侧棱、底面外接圆半径构成直角三角形. 若棱锥的顶点在底面的射影是底面多边形的外心，则棱锥的外接球心在其高上（可通过勾股定理求外接球半径：，为棱锥高，为底面外接圆半径）. 3.球的截面性质： 球的截面圆半径满足（为球半径，为球心到截面的距离）；当时，（大圆）；当时，（截面过球心）. 4.平行与垂直的传递性补充： 垂直于同一条直线的两个平面平行（）. 平行于同一个平面的两条直线不一定平行（可能异面、相交）. 垂直于同一个平面的两条直线平行（）. 5.二面角与距离的常用结论： 若两平面垂直，一个平面内的点到另一个平面的距离等于该点到交线距离的（为两平面二面角的平面角）. 异面直线的距离：可转化为其中一条直线到过另一条直线且与第一条直线平行的平面的距离（公式：，，为的公垂线方向向量）. 三、易错点（避坑指南，高频失分点） 1.概念混淆类： 混淆“斜高”与“高”：棱锥的斜高是侧面三角形的高，高是顶点到底面的距离（仅正棱锥中，斜高、高、底面边心距构成直角三角形）；圆柱/圆锥的高是轴的长度，母线是侧面上的线段（圆锥母线长，易误将高当作母线）. 误判“线面平行”的条件：忽略“直线在平面外”的前提（若，但，则与不平行，而是）. 2.空间角计算类： 异面直线所成角范围错误：误取钝角（需取锐角或直角，向量计算时需加绝对值：）. 二面角的平面角与法向量夹角的关系混淆：法向量夹角可能是二面角或其补角，需结合图形判断（若两法向量“指向”二面角内部或外部，夹角为补角；若一内一外，夹角为二面角）. 3.体积与表面积计算类： 多面体表面积漏算/多算面：如棱台表面积需加上下底面面积，圆柱侧面积是（非，圆锥侧面积才是）. 球的组合体半径计算错误：如正方体“切球”（内切球）半径是棱长的一半，“接球”（外接球）半径是体对角线的一半，易混淆两者；三棱锥外接球若顶点在底面射影是外心，需用计算，易忽略“”（球心可能在棱锥内部或外部）. 4.逻辑推理类： 面面平行判定定理中忽略“相交直线”：误将“一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行”当作面面平行的条件（需两条直线相交，否则不成立）. 面面垂直性质定理中忽略“在平面内”：误将“垂直于交线的直线垂直于另一个平面”的条件省略“直线在一个平面内”（若直线不在平面内，仅垂直于交线，不一定垂直于平面）. 5.坐标系建立类： 空间直角坐标系建系不规范：未确保轴两两垂直（如底面是菱形时，误将边当作轴，未取对角线保证垂直），导致后续向量坐标计算错误. 点的坐标计算错误：如长方体顶点坐标，易混淆各边对应的坐标轴（需明确长、宽、高分别对应轴，按“右手法则”建系）. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：圆锥的表面积与体积】 【解题策略】 1.熟记核心公式：表面积（为底面半径，为母线长）；体积（为高）. 2.利用几何关系：母线、半径、高满足，已知其中两个量可求第三个. 3.结合轴截面：圆锥轴截面为等腰三角形，可通过三角形边长关系辅助求参数. 1．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2024·福建龙岩·三模）已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 4．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 5．（2023·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若侧面展开图中，为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：圆柱的表面积与体积】 【解题策略】 1.公式应用：表面积；体积，重点区分底面半径和高. 2.关联侧面展开图：圆柱侧面展开为矩形，长为底面周长、宽为高，可通过展开图边长关系求参数. 3.轴截面分析：轴截面为矩形，长、宽对应圆柱的高和底面直径，辅助几何量计算. 6．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东·开学考试）已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知高为的圆锥的底面半径是圆柱底面半径的两倍，圆柱的高为圆锥高的两倍，且圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 9．（2025·天津和平·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 10．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：圆台的表面积与体积】 【解题策略】 1.明确参数：区分上底半径、下底半径、母线、高. 2.公式记忆：表面积；体积. 3.几何关系：母线、高、半径差满足，可由圆锥截得的圆台，利用原圆锥参数推导圆台参数. 11．（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 13．（2025·湖南长沙·二模）已知圆台上下底面半径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台侧面积为 ．小试牛刀1 14．（2025·河北秦皇岛·二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 15．（2025·广东深圳·三模）底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：棱柱的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积：直棱柱侧面积=底面周长×侧棱长，表面积=侧面积+2×底面积；斜棱柱侧面积需用每个侧面平行四边形面积求和. 2.体积：统一用“底面积×高”，直棱柱的高为侧棱长，斜棱柱的高为两底面间的垂直距离（需通过线面垂直找）. 3.底面处理：底面为多边形时，优先计算多边形面积 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）经典例题1例题    A． B． C．8 D．9 17．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（    ）经典例题2例题 A．12 B．24 C．36 D．48 18．（2024·四川成都·二模）在正方体中，点在四边形内（含边界）运动.当时，点的轨迹长度为，则该正方体的表面积为（    ）小试牛刀1 A．6 B．8 C．24 D．54 19．（2025·湖南湘潭·一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（    ）小试牛刀2 A．2 B．4 C． D． 20．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱的体积为1，P点为四边形的中心，则四面体的体积与三棱柱的体积比为 ．小试牛刀3 【题型5：棱锥的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积：正棱锥侧面积，表面积=侧面积+底面积；非正棱锥侧面面积需逐个三角形计算. 2.体积：，正棱锥的高、斜高、底面边心距构成直角三角形，可辅助求高. 3.几何模型：正棱锥中，高、侧棱、底面外接圆半径也构成直角三角形，用于参数互求. 【多选】21．（2025·江西·模拟预测）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长相等，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．三棱锥的表面积为 B．三棱柱的表面积为 C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为 D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为 22．（2025·江苏盐城·模拟预测）现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 23．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的体积为3，，，，则（    ）小试牛刀1 A．3 B．4 C． D． 24．（2025·辽宁大连·一模）空间中有一正方体， 将点依次连接， 得到体积为 的三棱锥 ，则正方体的体积为（   ）小试牛刀2 A． B．24 C． D． 25．（2025·江西新余·模拟预测）现将一个棱长为2的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：棱台的表面积与体积】 【解题策略】 1.表面积=侧面积+上底面积+下底面积. 2.体积：（为高）. 3.结构关联：由棱锥截得的棱台，可利用原棱锥的高、斜高关系推导棱台的参数. 26．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ）经典例题1例题 A．18 B． C． D． 27．（2025·浙江嘉兴·一模）已知正三棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D．2 28．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 29．（2025·云南·三模）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 30．（2025·北京丰台·二模）如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（   ）小试牛刀3 A．18 B． C． D．34 【题型7：组合体的表面积与体积】 【解题策略】 1.拆分几何体：将组合体分解为圆柱、圆锥、棱柱等基本几何体. 2.体积计算：直接求和各基本几何体的体积. 3.表面积计算：需“去重”，减去重叠部分的面积（如圆柱叠在棱柱上，需减去圆柱底面与棱柱接触面的面积）. 31．（2025·河北唐山·模拟预测）一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体的体积为 ．经典例题1例题 32．（2025·宁夏吴忠·二模）已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 33．（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选】34．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选】35．（2025·青海·模拟预测）如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（    ）小试牛刀3    A．平面平面 B．平面平面 C．该几何体的体积为 D．存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 【题型8：内接球的表面积与体积】 【解题策略】 1.核心条件：内切球与几何体各面均相切，球心到各面的距离等于半径. 2.公式应用：表面积；体积. 3.常见模型：正方体的内切球半径为棱长的一半；正四面体的内切球半径可通过“体积=表面积××内切球半径”推导. 36．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·浙江·模拟预测）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 ．经典例题2例题 （25-26高三上·浙江杭州·月考）某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .小试牛刀3    【题型9：求外接球的表面积与体积】 【解题策略】 1.核心条件：外接球的球心到几何体各顶点的距离等于半径. 2.公式应用：表面积；体积. 3.模型总结：长方体的外接球直径等于体对角线；正棱锥的外接球心在其高上，可通过勾股定理求解（为棱锥高，为底面外接圆半径）. （2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为 ，圆台的外接球的体积为 .经典例题1例题 （2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2022·四川雅安·三模）已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为 .小试牛刀1 （2025·海南·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，侧棱与底面所成角的正切值为3，则其外接球的体积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型10：与外接球截面有关题型】 【解题策略】 1.截面性质：球的截面圆半径满足（为球半径，为球心到截面的距离）. 2.解题步骤：先确定球半径，再找到球心到截面的距离，代入公式求截面圆相关量（如面积、周长）. 3.特殊情况：当截面过球心时，，截面为大圆（）. （2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高三上·江苏常州·月考）已知正三棱锥的外接球的表面积为，侧棱，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （23-24高一下·山东德州·月考）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ，则球的体积为 .小试牛刀1 （2024·陕西榆林·一模）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （23-24高二上·江西抚州·期中）已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E为线段的中点.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型11：与外接球有关的最值】 【解题策略】 1.分析思路：将几何量（如距离、面积）表示为关于外接球半径或相关参数的函数，利用函数单调性或不等式（如均值不等式）求最值. 2.常见场景：长方体的长、宽、高之和为定值时，求外接球体积的最小值；棱锥顶点在球面上运动时，求某线段的最值. 3.辅助工具：结合空间几何关系，将动态问题转化为球面上的点与定点/定线的距离问题. （2025高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D四点都在球O的球面上，且A，B，C三点所在平面经过球心，，，则点D到平面ABC的距离的最大值为 ，球O的体积为 ．经典例题1例题 （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （22-23高三上·山东青岛·期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为（    ）小试牛刀1 A．18 B． C． D．27 （2023·湖北黄冈·模拟预测）某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2023·四川·一模）已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，面，则该四棱锥的体积的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B．4 C． D．8 【题型12：求异面直线的夹角】 【解题策略】 1.定义转化：将异面直线夹角转化为其平行线的夹角（取锐角或直角）. 2.计算方法： 平移法：通过中位线、平行四边形等构造平行线，形成三角形后用余弦定理求解. 向量法：利用异面直线的方向向量、，夹角满足. 3.注意事项：夹角范围为，向量点积需取绝对值. （2025·江西宜春·模拟预测）已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为 .经典例题1例题 （2025·广东·模拟预测）在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与的夹角为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱中，已知，D，E分别在棱上，且，，则异面直线BC与DE所成角的余弦值为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏镇江·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 .小试牛刀3 【题型13：线面角有关计算】 【解题策略】 1.定义转化：线面角为直线与平面中射影的夹角（取锐角或直角）. 2.计算方法： 射影法：找到直线在平面内的射影，构造直角三角形，用“对边/斜边”求正弦值. 向量法：利用直线方向向量与平面法向量，线面角满足. 3.注意事项：夹角范围为. （2025·浙江台州·一模）在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成角的大小为 .经典例题1例题 （2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，若，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型14：二面角有关计算】 【解题策略】 1.定义转化：二面角的大小由其平面角（过棱上一点，在两平面内垂直于棱的射线夹角）衡量. 2.计算方法： 定义法：在棱上取点，分别在两平面内作棱的垂线，构造平面角后计算. 向量法：利用两平面的法向量、，二面角满足（符号由二面角类型确定）. 3.注意事项：夹角范围为，需结合图形判断是锐角还是钝角. （2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥中，且，底面是等边三角形，平面平面，若，则平面与平面所成角的余弦值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（    ）经典例题2例题 A．或 B．或 C． D． （2025·北京·模拟预测）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·福建厦门·三模）已知函数的部分图象如下，将沿翻折至，使得二面角为．若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型15：点到直线，点到平面的距离】 【解题策略】 1.点到直线的距离： 几何法：构造含该直线的直角三角形，用面积法求高. 向量法：利用直线方向向量与向量（在直线上，为点），距离. 2.点到平面的距离： 几何法：找到点在平面内的射影，计算垂线段长度. 向量法：利用平面法向量与向量（在平面上，为点），距离. （25-26高二上·辽宁·月考）在三棱锥P－ABC中，点P到平面ABC的距离为6，点D，E为边PA，PB的中点，且△CDE为正三角形.若CA＝CB＝2DE，则点P到平面CDE的距离为（    ）经典例题1例题 A．3 B．4 C．6 D． （2025·安徽·模拟预测）在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·北京门头沟·一模）某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，，顶点到底面的距离为3，则点到平面的距离为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·辽宁·模拟预测）在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 （2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型16：立体几何平行垂直的判定】 【解题策略】 1.平行关系判定： 线线平行：利用平行公理、线面平行/面面平行的性质定理. 线面平行：证明直线与平面内一条直线平行（注意直线在平面外）. 面面平行：证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行. 2.垂直关系判定： 线线垂直：利用线面垂直的性质、勾股定理（若三角形三边满足，则两边垂直）. 线面垂直：证明直线与平面内两条相交直线垂直. 面面垂直：证明一个平面经过另一个平面的一条垂线. 3.注意事项：严格遵循定理条件，避免遗漏“相交直线”等关键前提. 【多选】（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ）经典例题1例题 A． B．平面 C． D．平面 【多选】（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱中，，为中点，点是线段上的动点，则（   ）经典例题2例题 A． B．有且仅有一个点，使得 C．有且仅有一个点，使得 D．有且仅有一个点，使得平面平面 【多选】（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体中，下列说法正确的有（   ）小试牛刀1 A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【多选】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若与所成角相等，则 【多选】（2025·全国·模拟预测）已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（   ）小试牛刀3 A．，，三点共线 B． C．平面 D．平面 【题型17：立体几何截面问题】 【解题策略】 1.截面定义：用平面截几何体所得的交线围成的图形. 2.解题步骤： 确定截面与几何体各面的交点. 连接交点（需在同一平面内），得到截面形状. 3.辅助方法：利用平行关系（如棱柱的侧棱平行）确定交点位置，结合空间想象补全截面. （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）经典例题1例题    A． B． C． D． （2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体中，，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为 ．小试牛刀1 （2020·山东聊城·一模）点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 ， 小试牛刀2    （2024·全国·二模）已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为 .小试牛刀3 【题型18：立体几何轨迹问题】 【解题策略】 1.分析思路：将空间轨迹问题转化为平面轨迹问题（如点在某平面内运动），先确定轨迹的形状和关键参数，再求解相关问题. 2.常见类型：点到定点的距离为定值（轨迹为球面）；点到定直线的距离为定值（轨迹为圆柱面）；点满足某几何条件（如与两定点连线垂直，轨迹为平面）；在特定平面内满足条件的轨迹（如圆、直线、线段、圆弧等）. 3.解题技巧：结合空间几何关系（如线面垂直、面面平行、距离约束等），确定动点的约束条件，再对应平面几何中的轨迹类型（如圆、直线、椭圆等）. 4.求动点轨迹长度：核心是先明确轨迹的具体形状（如直线段、圆、圆弧等），再根据对应图形的长度公式求解，步骤如下： 步骤1：转化轨迹形式，将空间轨迹精准转化为平面内的具体图形（关键：确定轨迹所在平面，明确轨迹的几何特征）. 步骤2：求解轨迹关键参数，根据已知条件计算轨迹图形的核心参数（如直线段的端点坐标、圆的半径、圆弧的圆心角等）： 若轨迹为直线段：通过空间两点间距离公式计算长度，公式为（、为线段两端点坐标）. 若轨迹为圆：先求圆的半径，再根据需求计算周长（全轨迹）或弧长（部分轨迹）；弧长公式为（为圆弧对应的圆心角，单位为弧度）. 若轨迹为其他规则图形（如椭圆）：结合图形定义和已知条件，提取长半轴、短半轴等参数，代入对应长度公式. 步骤3：代入公式计算长度，注意单位统一（角度单位需匹配弧长公式要求），结合动点的运动范围确定轨迹是否为完整图形（如圆的一部分需明确圆心角范围）. （25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界）， 平面，则点的轨迹的长度为 .经典例题1例题 （25-26高二上·江西景德镇·期中）已知球是棱长为的正方体的内切球，是棱的中点，是球的球面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为 .经典例题2例题 （25-26高二上·四川泸州·期中）已知平面平面，，，且，，是正方形，在正方形内部（含边界）有一点，满足，与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ．小试牛刀1 （25-26高二上·上海·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ．小试牛刀2 【多选】（25-26高三上·江苏南京·期中）正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（   ）小试牛刀3 A．三棱锥的外接球表面积为 B．点的轨迹是一段圆弧 C．的最小值为 D．动点的轨迹长为 【题型19：立体几何动点问题】 【解题策略】 1.分析思路：确定动点的运动范围（如在某条棱、某个平面上运动）. 2.解题方法： 几何法：找到动点运动时的不变量（如距离、角度），结合几何关系求最值或定值. 坐标法：建立空间直角坐标系，将动点坐标表示为参数（如），转化为函数问题求解. 3.注意事项：关注动点的边界位置，避免遗漏极端 【多选】（25-26高三上·福建·期中）已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（    ）经典例题1例题 A．点的轨迹的长度为 B．平面 C．恰有一个点，满足 D．与平面所成的角的正弦值的最大值为 【多选】（25-26高二上·湖北武汉·期中）在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（   ）经典例题2例题 A．点P一定在平面内 B．当时，点P轨迹的长为 C．当，，三点共线时， D．的最小值为 【多选】（25-26高三上·黑龙江·月考）棱长为4的正方体，M为中点，F为侧面内一动点，且平面，过A，M，三点作正方体截面Ω，则（   ）小试牛刀1    A．动点F的轨迹长为 B．异面直线与成角正弦值为 C．三棱锥的外接球体积为 D．若Q为Ω上一点，则线段长度的取值范围为 【多选】（25-26高二上·贵州遵义·期中）在棱长为2的正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．平面平面 B．当时，点的轨迹长度为 C．不存在直线与平面内的直线成角 D．若，分别为，上的动点，则的最小值为 【多选】（25-26高二上·广东·月考）如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（   ）小试牛刀3    A．若点为线段上的动点，当时， B．若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为 C．若点为底面的中心，且，则面积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长度为 1 学科网（北京）股份有限公司 $