2025-2026学年湘教版七年级上册数学12月模拟月考卷1

2025-2026学年度贵州省湘教版初中七年级上册数学12月模拟月考卷1 考试范围：一次方程；考试时间：120分钟；命题人：xxx 一、单选题（每题3分，共36分） 1．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．运用等式的性质进行变形，下列不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．解方程，下面去分母变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．下列解方程的过程中正确的是（   ） A．方程，移项得 B．方程，去括号得 C．方程，去分母得 D．方程，系数化为得 6．若，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 8．如果是二元一次方程，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 9．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 10．在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 11．李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共16分） 13．如果是方程的解，那么的值是 ． 14．若是关于的一元一次方程，则该方程的解是 ． 15．已知关于，的方程组的解满足，则 ． 16．下列说法：①平方等于它本身的数是1；②倒数等于它本身的数是±1；③若，则；④若，则有是正数；⑤A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则；⑥（、都不为0），则值为0．其中正确的是 ．（填写序号） 三、解答题（共98分） 17．解方程： (1) (2) 18．解方程组： (1) (2) 19．（1）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，请你帮助小明求出原方程正确的解． （2）先化简，再求值：，其中，． 20．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 21．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 23．定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 24．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：． (1)______； (2)当，时，有，求的值； (3)化简：． 25．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度湘教版初中七年级上册数学12月模拟月考卷1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A D A A A B C 题号 11 12 答案 C A 1．C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，关键是一元、一次的理解； 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①是方程（有等号）；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为； A. 不是方程，无等号； B. 含有两个未知数，不是一元； C. 只含未知数，且最高次数为，是一元一次方程； D. 未知数最高次数为，不是一次． 故答案选：C． 2．D 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新定义的运算规则，将方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， 即 ， ， ∴ ． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查等式的性质；由题意可根据等式的性质进行排除选项． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，该选项不符合题意； D、若，则或，原变形不正确，该选项符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查解一元一次方程的去分母步骤。方程两边同乘分母的最小公倍数6，去分母后得到等式. 【详解】解：方程： 两边同乘6： ∵, , , ∴ 即 ，与选项A一致. 其他选项B、C、D均变形错误， 故选A. 5．D 【分析】本题考查解一元一次方程的基本步骤，包括移项、去括号、去分母和系数化为．需要逐一验证每个选项的过程是否正确，即可求解． 【详解】解：选项A、方程移项，得，不是，故A选项错误； 选项B、方程去括号，得，不是，故B选项错误； 选项C、方程去分母时，两边同乘，得，不是，故C选项错误； 选项D、方程系数化为1，两边同乘得，故D选项正确． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握知识点解题；根据等式的性质注意判断． 【详解】解：对于A：∵ ， 当 时，两边同除以 得 ； 但当 时， 与 可能不相等， ∴ 不一定成立。 对于B：两边同加2，得 ，一定成立； 对于C：两边同乘 ，得 ，一定成立； 对于D：两边同减，得 ，一定成立． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，根据二元一次方程要求两个未知项的指数均为，因此需使的指数，的指数，解方程组即可． 【详解】解： 方程是二元一次方程， 的指数，的指数， 解方程组， 可得：． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值． 【详解】解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 11．C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 12．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 13．0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握整体思想是解题关键．将代入方程，解出m的值，再计算表达式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得： ， 故答案为：0． 14．1 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为0，求出a的值，再代入方程求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得且． ∴， 将代入方程，得 ， 解得． 故答案为1． 15． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，先把第二个方程和重组方程组，然后利用加减消元法求出，的值，再代入原方程组中的第一个方程求解即可得到的值．先重组方程组求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组的解满足， ∴方程组的解也满足， 解方程组得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．②③⑥ 【分析】本题考查平方、倒数、绝对值的性质，数轴上点的位置关系，以及代数式的求值．根据相关定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：①平方等于本身的数有和，故①错误； ②倒数等于本身的数是，故②正确； ③由绝对值的定义，时，故③正确； ④取反例，，满足，但，故④错误； ⑤∵A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、 ∴或或 解得：或或 三点在数轴上等距时，可能为、或，故⑤错误； ⑥由得，则，故⑥正确． 故答案为：②③⑥． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1，有分母的先去分母）． （1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1； （2）先去分母，再去括号、移项合并，最后系数化为1． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法直接求解方程组． （2）先化简方程，消除分母和括号，得到标准二元一次方程组，再利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②中，得， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 先化简方程得： 将得：⑤， 由得：， 解得：， 将代入④中得，， 解得：， ∴方程组的解为． 19．（1）原方程正确的解为；（2），值为 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据错误的结果，确定出a的值，进而求出正确的解即可． （2）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， 正确方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得； （2） ， 当，时，原式． 20．(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 21．(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 22．(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 23．(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【详解】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 24．(1) (2)4 (3)当时，为；当时，为；当时，为 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的运算，等式的性质，整式的加减等知识，理解新定义“关联数”是解题关键． （1）根据新定义进行运算即可求解； （2）根据，，，得到，即可求出； （3）分，，三种情况讨论，根据新定义化为整式加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，为． 25．(1) (2) 【分析】此题考查解二元一次方程组， （1）联立①③得：，求出方程组的解即可； （2）由得：，将③整体代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， ． （2）解：， 由得：， 则， ∵ ∴ 则， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $