4.1数列的概念（第一课时） 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《4.1.数列的概念（第一课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表法、图象法、解析法），理解数列的函数本质，掌握数列的分类及单调性等基本性质. 课标分析 课标强调从实例出发构建数列概念，注重知识的形成过程，突出数列与函数的内在联系，要求学生能运用多种表示方法描述数列，初步培养从具体到抽象、从特殊到一般的思维能力，为后续学习等差数列、等比数列奠定基础 2、 教材分析 本节课是高中数学数列章节的开篇，位于必修第二册，承接函数知识，是函数思想在离散领域的延伸.教材通过提丢斯行星距离、身高记录、月亮可见部分等实例，引导学生抽象出数列的定义，进而探究数列的表示方法、分类、单调性等核心内容，结构上遵循“实例导入—概念形成—辨析应用—拓展反思”的逻辑，注重知识的连贯性和实用性，同时渗透数学史和实际应用，增强学科趣味性. 3、 学情分析 学生此前已掌握函数的概念、表示方法及单调性等知识，具备一定的抽象思维和归纳能力，但对“离散型函数”的认知较为薄弱.高中学生好奇心强，能通过实例观察总结规律，但在将数列与函数建立关联、理解通项公式的本质等方面可能存在困难，需要教师通过层层追问和具象化演示引导突破. 4、 教学目标/核心素养目标 教学目标 1. 理解数列的定义、项、通项公式等概念，掌握数列的分类及表示方法. 2. 明确数列与函数的关系，能根据通项公式写出数列的项，或根据数列前几项写出简单通项公式. 3. 了解数列的单调性，能判断简单数列的增减性. 核心素养目标 1. 数学抽象：从实例中抽象出数列的本质特征，形成数列概念. 2. 逻辑推理：通过辨析数列与函数的关系、探究通项公式，培养推理能力. 3. 数学运算：能根据通项公式进行简单运算，写出数列的项. 4. 直观想象：通过数列的图象表示，增强对离散型函数的直观认知. 5、 教学重难点及课时安排 教学重点 1. 数列的定义及通项公式的理解与应用. 2. 数列的表示方法及数列与函数的关系. 教学难点 1. 理解数列的函数本质（定义域为正整数集或其有限子集）. 2. 根据数列前几项归纳通项公式. 六、教学过程 环节一：检查预习 环节二：创设情境，导入新课 展示生活中的三个实例，引导学生观察分析： 实例1：王芳从1岁到17岁每年生日的身高数据（单位：cm）：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 实例2：公元前7世纪泥版上记录的15天中每天月亮可见部分的份数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. 实例3：正整数的倒数依次排列：1，，，，，… 提出问题：这三组数据有什么共同特征？引导学生发现“按确定顺序排列”这一核心特征，从而引出数列的定义. 环节三：研究路径 问题2：如何研究“数列”这一新的概念？ 师生活动：学生在教师的引导下，回顾函数的学习过程，类比函数“定义—表示方法—性质”的研究路径来学习数列. 环节四：合作探究 数列的定义及基本概念（5分钟）： 引导学生根据上述实例，抽象概括出数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 讲解基本概念：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为第2项，…，排在第n位的数称为第n项，记作；数列的一般形式可以写成，，，…，，…，简记为. 组织讨论：数列与集合有什么区别？通过分析得出：数列强调“有序性”，集合强调“无序性”和“互异性”；数列中的项可以重复，集合中的元素不能重复. 数列的分类（5分钟）： 提出问题：我们可以按照什么标准对数列进行分类？引导学生从“项数”和“项的变化趋势”两个角度探究. 按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列（如实例1、实例2）；项数无限的数列叫做无穷数列（如实例3）. 按项的变化趋势分类：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列（如实例1）；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列（如10，8，6，4，2，…）；各项都相等的数列叫做常数列（如2，2，2，2，…）. 即时练习：判断下列数列的类型（答案附后）： ① 1，3，5，7，9，…（无穷递增数列） ② 100，90，80，70，…，10（有穷递减数列） ③ 5，5，5，5，…（无穷常数列） 数列与函数的关系及通项公式（5分钟）： 引导学生观察：数列中的每一项与它的序号n之间有什么关系？类比函数的定义，得出：数列可以看作是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，即. 给出通项公式的定义：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 举例说明：数列1，3，5，7，9，…的通项公式为；数列1，，，，…的通项公式为. 环节五：学以致用 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．（1）；（2） 师生活动：教师引导学生根据通项公式，令n=1，就得到了首项，令n=2，就得到，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1.根据前5项的数据进行描点. 教师提醒学生注意描点后不能连线了，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的. 追问：你能判断（1）中数列的单调性吗？ 师生活动：学生根据数列单调性的定义，结合图象，不难得出：（1）中的数列是递增数列. 例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1，，，，…； （2）2，0，2，0，…． 师生活动：学生在教师的引导下发现第一个数列的特点是有正有负，正负相间.教师说明：我们常常用或 来表示正负相间的变化规律．学生不难发现，除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.有了第一个的基础，学生在探究（2）中的数列时，不难发现这个数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为. 小试牛刀： 基础练习（5分钟）： 例1：根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项（答案附后）： （1）（答案：3，5，7，9，11） （2）（答案：-1，2，-3，4，-5） （3）（答案：1，3，6，10，15） 例2：判断下列数列的类型（答案附后）： （1）2，4，6，8，10（有穷递增数列） （2）1，，，，…（无穷递减数列） （3）-1，1，-1，1，…（无穷数列，非递增非递减） 让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正错误，强调通项公式中序号n的取值范围和数列分类的标准. 综合练习（7分钟）： 例3：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式（答案附后）： （1）1，4，9，16，…（答案：） （2），，，，…（答案：） （3）-1，3，-5，7，…（答案：） （4）0，2，0，2，…（答案：或） 例4：已知数列的通项公式为，判断61是否为该数列的项，如果是，求出它的序号（答案：是，序号为21） 引导学生分析题目，展示解题思路：例3需观察各项与序号的关系，注意符号、分子、分母的规律；例4需建立方程，求解正整数n.强调通项公式的不唯一性（如例3（4））. 环节六：课堂小结 问题10：回顾本节课所学的知识，思考： （1） 什么是数列？数列的本质是什么？ （2） 我们研究数列的基本路径是什么？ 师生活动：学生根据教师提出的两个问题，回顾本节课的核心知识和研究路径. （1）为什么例2中只要求写出数列的“一个”通项公式？ （2）你能写出前四项为0，2，0，2的数列的其它通项公式吗？ （3）你认为每个数列都有通项公式吗？ 环节七：布置作业 布置作业： 书面作业：完成课本第5页练习第2、4题；补充习题（1）根据通项公式写出前5项；（2）根据数列前4项3，6，9，12，写出一个通项公式. 拓展作业：寻找生活中可以用数列描述的规律现象（如银行存款利息、树木生长的年轮数等），记录下来并尝试写出其通项公式. 预习引导：预习下一课内容，思考数列的递推公式是什么，递推公式与通项公式有什么区别和联系，为后续学习做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过生活实例引入课题，注重引导学生自主探究和合作讨论，帮助学生理解抽象的数学概念.但在推导通项公式的教学中，部分学生可能对规律的观察不够敏锐，需要加强实例分析和方法指导.后续教学中，应增加针对性练习，注重培养学生的观察能力和归纳概括能力；同时，进一步强化数列与函数的联系，借助函数的思想帮助学生理解数列的性质，关注学生数学核心素养的全面发展. 学科网（北京）股份有限公司 $