期末复习14 相交线核心考点与高频易错点讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习14 相交线核心考点与高频易错点讲义 期末必备 知识点梳理 1.相交线基础概念与角的关系 2.垂直(相交的特殊形式) 3.垂线段与点到直线的距离 4.四线三角 5.核心计算与应用模型 6.高频易错点与避坑指南 7.期末核心考点清单 常考题型 精讲精炼 1.相交线的概念与特征 2.垂线定义的深度理解 3.画垂线的步骤与方法 4.“垂线段最短”的原理与应用 5.点到直线的距离:定义与计算 6.对顶角的定义及识别 7.对顶角相等的性质与证明 8.邻补角的定义与特征分析 9.邻补角的识别与找法 10.利用邻补角互补关系求角度 期末备考 题型通关 压轴题(8) 【知识点01.相交线基础概念与角的关系】 1.相交线 *定义：同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫相交线，该公共点为交点；同一平面内两直线位置关系仅相交、平行两种，垂直是相交的特殊形式。 2.邻补角 *定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 *核心特征：位置相邻（共边共顶点）、数量互补（和为 180°），成对出现，一个角有两个邻补角。 *符号语言：若∠1 与∠2 是邻补角，则∠1+∠2=180°。 3.对顶角 *定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点、无公共边，且一个角的两边是另一个角两边反向延长线的两个角，互为对顶角。 *核心特征：位置相对（无公共边）、数量相等，成对出现，一个角仅有一个对顶角。 *性质证明：因∠1 与∠2、∠3 与∠2 均为邻补角，故∠1=180°−∠2，∠3=180°−∠2，所以∠1=∠3（同角的补角相等）。 *符号语言：若∠1 与∠3 是对顶角，则∠1=∠3。 *易错警示：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形两底角）；只有两直线相交才产生对顶角。 【知识点02.垂直(相交的特殊形式)】 1.定义与表示 *定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个为直角（90°），则两直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足。 *符号表示：直线 AB⊥CD，垂足为 O，读作 AB 垂直于 CD；图中垂足处标注 “∟” 符号。 *拓展：线段、射线垂直，指它们所在的直线互相垂直。 2.垂线的基本事实（重要公理） *内容：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点在直线上或直线外均成立）。 *关键前提：必须限定 “同一平面内”，空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直。 3.垂线的规范画法（三种工具） 工具 步骤 适用场景 三角板 1. 放：直角边与已知直线重合； 2. 靠：另一直角边靠紧已知点； 3. 画：沿该直角边画直线，标注垂足与直角符号 课堂快速作图、精准垂线 量角器 1. 找点：确定直线上或外的点； 2. 量角：以点为顶点，量出 90°角； 3. 画线：连接顶点与 90°刻度线，标注 需精确角度验证时 方格纸 沿方格线的直角边直接画，利用方格自带直角 直观 4.垂线的性质推论 *两直线垂直，则四个交角均为 90°；反之，若两直线相交所成四角中有一个为 90°，则两直线垂直。 *若 a⊥b、b⊥c（同一平面内），则 a∥c（后续平行线判定铺垫）。 【知识点03.垂线段与点到直线的距离】 1.垂线段 *定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接该点与垂足的线段叫垂线段，属于垂线的一部分（垂线是直线，垂线段是线段）。 *区别：垂线无长度，垂线段有长度且可度量。 2.垂线段最短（核心性质） *内容：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 *符号表示：点 P 在直线 l 外，PO⊥l 于 O，Q 为 l 上任意一点，则 PO≤PQ（当 Q=O 时取等号）。 3.点到直线的距离 *定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。 *测量步骤：1. 画垂线：过点作直线的垂线得垂线段；2. 度量：用刻度尺量出垂线段长度；3. 记录：结果带单位（如厘米、毫米）。 *易错辨析：混淆 “垂线段”（图形）与 “点到直线的距离”（长度，数量）。 【知识点04.四线三角】(为平行线铺垫,期末常考识别) 1.基本定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成八个角，按位置分为同位角、内错角、同旁内角。 2.三类角的特征与识别 类型 位置特征 图形形状 示例（直线 a、b 被截线 c 所截） 同位角 截线同旁，被截两直线同侧 “F” 形 ∠1 与∠5、∠2 与∠6、∠3 与∠7、∠4 与∠8 内错角 截线两旁，被截两直线之间 “Z” 形 ∠3 与∠5、∠4 与∠6 同旁内角 截线同旁，被截两直线之间 “U” 形 ∠3 与∠6、∠4 与∠5 4. 识别技巧 *先定 “三线”：明确哪两条是被截线、哪一条是截线。 *再找 “位置”：根据三类角的位置特征对应图形形状快速判断。 *易错点：截线判断错误会导致角的类型误判。 【知识点05.核心计算与应用模型】 1.角度计算模型 *对顶角 + 邻补角混合计算：已知∠AOC=40°（对顶角），则∠BOD=40°；其邻补角∠AOD=180°−40°=140°。 *垂直相关计算：若 AB⊥CD 于 O，∠AOC=90°，若 OE 平分∠AOC，则∠AOE=45°。 *角平分线 + 相交线计算：直线 AB、CD 交于 O，OB 平分∠EOD，∠BOD=30°，则∠EOD=60°，∠EOC=180°−60°=120°（平角性质）。 2.实际应用场景 最短路径：修公路连接村庄与国道，沿垂线段修最短（垂线段最短）。 距离测量：测量跳远成绩，测落点到起跳线的垂线段长度（点到直线的距离定义）。 建筑施工：墙体与地面垂直、门框邻边垂直，均利用垂直的直角特征。 【知识点06.高频易错点与避坑指南】 易错点 错误示例 纠正方法 1.混淆对顶角与邻补角 认为相等的角就是对顶角 紧扣定义：对顶角无公共边，邻补角有公共边且和为 180° 2.忽略 “同一平面内” 认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直 牢记垂线基本事实的前提是 “同一平面内” 3.混淆垂线段与距离 说 “垂线段就是点到直线的距离” 明确：垂线段是图形，距离是其长度（数量） 4.三线八角截线判断错误 把被截线当截线 先找 “截第三条直线的线”，截线是与另外两条都相交的直线 5.对顶角性质逆用错误 因∠1=∠2 就判定是对顶角 【知识点07.期末核心考点清单】 1.对顶角、邻补角的识别与角度计算（基础必考题）。 2.垂直的定义、符号表示与规范画法（操作题常考）。 3.垂线段最短的应用与点到直线距离的测量（应用题高频）。 4.三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的识别（选填题常考）。 5.结合角平分线、平角、直角的综合角度计算（中档解答题）。 【题型1.相交线的概念与特征】 【典例】若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【跟踪训练1】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【跟踪训练2】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【题型2.垂线定义的深度理解】 【典例】如图，直线与相交于点，，若，则的度数是 ． 【跟踪训练1】如图，直线，相交于点，于，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为 ． 【题型3.画垂线的步骤与方法】 【典例】过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】.利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4.“垂线段最短”的原理与应用】 【典例】如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 【跟踪训练1】如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【跟踪训练2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【题型5.点到直线的距离:定义与计算】 【典例】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【跟踪训练1】已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【跟踪训练2】如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6.对顶角的定义及识别】 【典例】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【跟踪训练1】下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【题型7.对顶角相等的性质与证明】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【跟踪训练1】如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 【跟踪训练2】如图，直线，相交于点，于点若，则 ． 【题型8.邻补角定义与特征辨析】 【典例】如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【跟踪训练1】若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【跟踪训练2】如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【题型9.邻补角的识别与找法】 【典例】如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【跟踪训练1】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【跟踪训练2】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【题型10.利用邻补角的互补关系求角度】 【典例】如图，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，直线，相交于点O，，．则的度数是 ． 【跟踪训练2】如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 1．如图，点为直线上一点，平分，于点，若，则 ． 2．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 3．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 4.如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 5．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 6.已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． （1）如图1，，当平分时，求的度数． （2）如图2，若，且，求（用表示）． （3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值． 7.．在等腰中，，D，E两点在边上运动．    (1)如图1，当时，D在边上，E在边上，，求的面积． (2)如图2，当时，D在边上，E在延长线上，，连接、，取中点F，连接，H为上一点，G为上一点，连接、，且满足，求证：． (3)如图3，当时，D在边上，E在边上，连接，，求的最小值． 8．在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习14 相交线核心考点与高频易错点讲义 期末必备 知识点梳理 1.相交线基础概念与角的关系 2.垂直(相交的特殊形式) 3.垂线段与点到直线的距离 4.四线三角 5.核心计算与应用模型 6.高频易错点与避坑指南 7.期末核心考点清单 常考题型 精讲精炼 1.相交线的概念与特征 2.垂线定义的深度理解 3.画垂线的步骤与方法 4.“垂线段最短”的原理与应用 5.点到直线的距离:定义与计算 6.对顶角的定义及识别 7.对顶角相等的性质与证明 8.邻补角的定义与特征分析 9.邻补角的识别与找法 10.利用邻补角互补关系求角度 期末备考 题型通关 压轴题(8) 【知识点01.相交线基础概念与角的关系】 1.相交线 *定义：同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫相交线，该公共点为交点；同一平面内两直线位置关系仅相交、平行两种，垂直是相交的特殊形式。 2.邻补角 *定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角。 *核心特征：位置相邻（共边共顶点）、数量互补（和为 180°），成对出现，一个角有两个邻补角。 *符号语言：若∠1 与∠2 是邻补角，则∠1+∠2=180°。 3.对顶角 *定义：两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点、无公共边，且一个角的两边是另一个角两边反向延长线的两个角，互为对顶角。 *核心特征：位置相对（无公共边）、数量相等，成对出现，一个角仅有一个对顶角。 *性质证明：因∠1 与∠2、∠3 与∠2 均为邻补角，故∠1=180°−∠2，∠3=180°−∠2，所以∠1=∠3（同角的补角相等）。 *符号语言：若∠1 与∠3 是对顶角，则∠1=∠3。 *易错警示：相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形两底角）；只有两直线相交才产生对顶角。 【知识点02.垂直(相交的特殊形式)】 1.定义与表示 *定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个为直角（90°），则两直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点叫垂足。 *符号表示：直线 AB⊥CD，垂足为 O，读作 AB 垂直于 CD；图中垂足处标注 “∟” 符号。 *拓展：线段、射线垂直，指它们所在的直线互相垂直。 2.垂线的基本事实（重要公理） *内容：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点在直线上或直线外均成立）。 *关键前提：必须限定 “同一平面内”，空间中过一点可作无数条直线与已知直线垂直。 3.垂线的规范画法（三种工具） 工具 步骤 适用场景 三角板 1. 放：直角边与已知直线重合； 2. 靠：另一直角边靠紧已知点； 3. 画：沿该直角边画直线，标注垂足与直角符号 课堂快速作图、精准垂线 量角器 1. 找点：确定直线上或外的点； 2. 量角：以点为顶点，量出 90°角； 3. 画线：连接顶点与 90°刻度线，标注 需精确角度验证时 方格纸 沿方格线的直角边直接画，利用方格自带直角 直观 4.垂线的性质推论 *两直线垂直，则四个交角均为 90°；反之，若两直线相交所成四角中有一个为 90°，则两直线垂直。 *若 a⊥b、b⊥c（同一平面内），则 a∥c（后续平行线判定铺垫）。 【知识点03.垂线段与点到直线的距离】 1.垂线段 *定义：过直线外一点画已知直线的垂线，连接该点与垂足的线段叫垂线段，属于垂线的一部分（垂线是直线，垂线段是线段）。 *区别：垂线无长度，垂线段有长度且可度量。 2.垂线段最短（核心性质） *内容：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 *符号表示：点 P 在直线 l 外，PO⊥l 于 O，Q 为 l 上任意一点，则 PO≤PQ（当 Q=O 时取等号）。 3.点到直线的距离 *定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。 *测量步骤：1. 画垂线：过点作直线的垂线得垂线段；2. 度量：用刻度尺量出垂线段长度；3. 记录：结果带单位（如厘米、毫米）。 *易错辨析：混淆 “垂线段”（图形）与 “点到直线的距离”（长度，数量）。 【知识点04.四线三角】(为平行线铺垫,期末常考识别) 1.基本定义：两条直线被第三条直线（截线）所截，形成八个角，按位置分为同位角、内错角、同旁内角。 2.三类角的特征与识别 类型 位置特征 图形形状 示例（直线 a、b 被截线 c 所截） 同位角 截线同旁，被截两直线同侧 “F” 形 ∠1 与∠5、∠2 与∠6、∠3 与∠7、∠4 与∠8 内错角 截线两旁，被截两直线之间 “Z” 形 ∠3 与∠5、∠4 与∠6 同旁内角 截线同旁，被截两直线之间 “U” 形 ∠3 与∠6、∠4 与∠5 4. 识别技巧 *先定 “三线”：明确哪两条是被截线、哪一条是截线。 *再找 “位置”：根据三类角的位置特征对应图形形状快速判断。 *易错点：截线判断错误会导致角的类型误判。 【知识点05.核心计算与应用模型】 1.角度计算模型 *对顶角 + 邻补角混合计算：已知∠AOC=40°（对顶角），则∠BOD=40°；其邻补角∠AOD=180°−40°=140°。 *垂直相关计算：若 AB⊥CD 于 O，∠AOC=90°，若 OE 平分∠AOC，则∠AOE=45°。 *角平分线 + 相交线计算：直线 AB、CD 交于 O，OB 平分∠EOD，∠BOD=30°，则∠EOD=60°，∠EOC=180°−60°=120°（平角性质）。 2.实际应用场景 最短路径：修公路连接村庄与国道，沿垂线段修最短（垂线段最短）。 距离测量：测量跳远成绩，测落点到起跳线的垂线段长度（点到直线的距离定义）。 建筑施工：墙体与地面垂直、门框邻边垂直，均利用垂直的直角特征。 【知识点06.高频易错点与避坑指南】 易错点 错误示例 纠正方法 1.混淆对顶角与邻补角 认为相等的角就是对顶角 紧扣定义：对顶角无公共边，邻补角有公共边且和为 180° 2.忽略 “同一平面内” 认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直 牢记垂线基本事实的前提是 “同一平面内” 3.混淆垂线段与距离 说 “垂线段就是点到直线的距离” 明确：垂线段是图形，距离是其长度（数量） 4.三线八角截线判断错误 把被截线当截线 先找 “截第三条直线的线”，截线是与另外两条都相交的直线 5.对顶角性质逆用错误 因∠1=∠2 就判定是对顶角 【知识点07.期末核心考点清单】 1.对顶角、邻补角的识别与角度计算（基础必考题）。 2.垂直的定义、符号表示与规范画法（操作题常考）。 3.垂线段最短的应用与点到直线距离的测量（应用题高频）。 4.三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的识别（选填题常考）。 5.结合角平分线、平角、直角的综合角度计算（中档解答题）。 【题型1.相交线的概念与特征】 【典例】若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 【跟踪训练1】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 【跟踪训练2】a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 【题型2.垂线定义的深度理解】 【典例】如图，直线与相交于点，，若，则的度数是 ． 【答案】/46度 【分析】本题考查了垂线的定义，角的和差，由可得，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，直线，相交于点，于，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【跟踪训练2】在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了两个角的两边互相垂直的两种情况，当两个角的两边分别垂直时，则这两个角相等或互补．解答的关键是能准确进行分情况讨论并画出图形，再根据情况列式解答即可． 【详解】 解：因为在同一平面内与的两边分别垂直，所以分两种情况讨论： 情况一：当时,如图1，设，则， 由比的3倍少， 可得：， 解得：， ； 情况二:当时,如图2，设， 则，可得： ， 解得：， ． 综上，的度数为或． 【题型3.画垂线的步骤与方法】 【典例】过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】.利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 【跟踪训练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【题型4.“垂线段最短”的原理与应用】 【典例】如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：把河中的水引到村庄C中，可过点引于，然后沿铺设水管，这样做的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【跟踪训练1】如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 故选：A． 【跟踪训练2】如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：过点C作于点D，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 【题型5.点到直线的距离:定义与计算】 【典例】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离， ∴能表示点到直线的距离的线段共有5条， 故选：D． 【跟踪训练1】已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 【跟踪训练2】如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 【题型6.对顶角的定义及识别】 【典例】如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 【跟踪训练1】下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 【跟踪训练2】已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7.对顶角相等的性质与证明】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了对顶角相等，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，直线，相交于点，于点若，则 ． 【答案】/50度 【分析】先根据已知条件和垂直定义求出，再根据和已知条件，求出，最后根据对顶角相等求出即可． 本题主要考查了对顶角和邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质和垂直定义． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型8.邻补角定义与特征辨析】 【典例】如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角，据此求解即可． 【详解】的邻补角是． 故选：D． 【跟踪训练1】若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【答案】145 【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案． 【详解】解：的余角是，， ， 的邻补角是， ， 的对顶角是， ， 故答案为：145． 【点睛】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键． 【跟踪训练2】如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 【题型9.邻补角的识别与找法】 【典例】如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 【跟踪训练2】如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 【题型10.利用邻补角的互补关系求角度】 【典例】如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角，根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】如图，直线，相交于点O，，．则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角的运算，邻补角的性质，先根据条件和邻补角的性质求出的度数，然后即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 1．如图，点为直线上一点，平分，于点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义；设，则，根据题意得出，进而分点在两侧，两种情形结合图形，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 或 故答案为：或． 2．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 3．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 4.如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：过作于，连接，延长交于， 、分别是、的中点， 的面积面积的一半，的面积面积的一半， 的面积的面积， 的面积四边形的面积， 、分别是、的中点， 的面积的面积，的面积的面积． 的面积的面积的面积的面积四边形的面积， 的面积， 的面积， ， ， ， 线段的最小值是6． 故答案为：6． 5．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 【答案】(1)或度或 (2)当秒时， (3)当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分 【分析】（1）根据题意，可得，据此列出代数式即可求解； （2）当时，，根据题意列出方程，解方程即可求解． （3）分3种情况：①如图3，当平分时，．②如图4，当平分时，．③如图5，当平分时，，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵，． ∴ ． ； （2）如图2，∵当时，， ∴， 解得：（秒）． ∴当秒时， ； （3）分3种情况： ①如图3，当平分时，． ∴， 解得：（秒）． ②如图4，当平分时，． ∴，即 解得：（秒）． ③如图5，当平分时，． ∴． 解得：（秒） ∴综上所述，当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次不等式的应用，列代数式，分类讨论，数形结合是解题的关键． 6.已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． （1）如图1，，当平分时，求的度数． （2）如图2，若，且，求（用表示）． （3）若，点在射线上，若射线绕点顺时针旋转（），，平分，当时，求的值． 【答案】（1）50°；（2）；（3）168或72． 【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠BOC和∠EOC，再利用角的和差即可求得∠BOE； （2）先根据已知数量关系求得∠DOE，再利用角的和差即可得出结论； （3）设，分①若在的内部，②当在射线的两侧时两种情况，利用角的和差列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴，， 又， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）①如图，若在的内部 设  则依题意有： ， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， 又， ∴， ∴； ②当在射线的两侧时如图 设，则依题意有， ∵，， ∴， 又平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴综上所述顺时针旋转的角度为168或72． 【点睛】本题考查邻补角的有关计算，角平分线的有关计算，角的和差，一元一次方程的应用．（3）中能分类讨论画出图形，结合图形利用角的和差列出方程是解题关键． 7.．在等腰中，，D，E两点在边上运动．    (1)如图1，当时，D在边上，E在边上，，求的面积． (2)如图2，当时，D在边上，E在延长线上，，连接、，取中点F，连接，H为上一点，G为上一点，连接、，且满足，求证：． (3)如图3，当时，D在边上，E在边上，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于点F，过点E作于点G，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，计算，，，结合计算即可． （2）先证明是等边三角形，延长到点M使得，连接，再证明，，，接着证明是等边三角形，即可得证． （3）过点D作于点M，则，过点E作直线得对称点F，过点F作于点G，过点A作于点Q，结合，要求的最小值，只需求得的最小值即可，根据垂线段最短，计算即可． 【详解】（1）解：过点A作于点F，过点E作于点G， ∵，，， ∴，，，， ∴， ．    （2）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 延长到点M使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，    ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）解：过点D作于点M， ∵， ∴， 过点E作直线得对称点F，过点F作于点G， 则， 故的最小值，只需求得的最小值即可，根据垂线段最短， 计算的长度， 而的长度，随的变小而变小，当时即点E与点A重合时，最小， 过点A作于点Q， 则， ∴．   ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形判定和性质、勾股定理、三角函数的应用、两点之间线段最短、点到直线最短距离；熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角函数的应用、点到直线最短距离是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上，且点在点的左边，将线段进行平移得到线段，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)若点，，． 点的坐标为___________，的面积为 ___________； 若直线交轴于点，求点的坐标． (2)点是第四象限上的一个动点，过点作垂直轴于点，连接，，．若点，，，，的面积为，点到直线的距离为．求面积的取值范围． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】（1）线段平移得到线段，可得，，进一步得到的坐标和的面积．设点坐标，作垂线构造直角三角形，将大直角三角形的面积转化成两个小三角形面积相加，列出方程，再求点的坐标． （2）根据平移的性质，，，可得，，把，，，，的坐标用表示出来，轴，， ．利用不同象限内点的坐标特征求出的取值范围，就可得出面积的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． 如图，作 轴，连接，设点坐标为． ， ∴，，， 可得 ， 解得， ∴． 故答案为：；．． （2）根据题意得 解得：． ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为． ∵点，在轴正半轴上， ∴， ∵点是第四象限上的一个动点，垂直轴于点，点到直线的距离为． ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴点，的横坐标相同， ∴轴，，. ∴． ∴． 【点睛】本题考查了图形平移的性质，面积法求坐标．解题的关键在利用平移的性质得出，，的转化关系，利用不同象限点的坐标特征求出的取值范围．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $