3.2.2奇偶性的应用（对称性、周期性）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性应用，涵盖求解析式、解不等式、抽象函数、对称性及周期性等核心知识点。课堂从奇偶性定义切入，通过“已知奇偶性求分段函数解析式”等例题引入，逐步过渡到奇偶性与单调性、周期性结合的综合应用，构建从基础到复杂的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用“例题-解答-练习”分层结构，以“求哪个区间设哪个区间”等具体方法引导，培养数学抽象能力（如抽象函数赋值法判断奇偶性）和逻辑推理能力（如构造辅助函数分析单调性解不等式）。总结对称性与周期性结论（如“两次对称成周期”），用符号语言精准表达，助力学生形成模型观念。对学生提升问题解决能力，对教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

3.2.2 函数的奇偶性 -奇偶性应用 求解析式 求哪个区间，设哪个区间 示 温 馨 提 例：（1）已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式. （2）已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式. 求解析式 例：（1）已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式. （2）已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式. 解:(1)当时，,则 ∵为上的偶函数∴.∴ (2)当时，,则 ∵为上的奇函数∴ 又∵ ∴ 求解析式 练习.（1）已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为 （2）定义在上的函数满足，若当时，，则当时， = 。 解:(1)设，则，所以 又因是定义域上的奇函数，所以，又∵ 所以时， (2)设，则， 所以 又因，所以，所以 解不等式 例1.（1）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，若，求的取值范围。 （2）已知定义在的偶函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. （3）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，求解不等式。 解不等式 例1.（1）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，若，求的取值范围。 （2）已知定义在的偶函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. （3）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，求解不等式。 解：（1）函数是定义在R上的减函数和奇函数，所以， 故，所以，即 （2） （3）对任意，若都有成立， 所以设，则在上为奇函数，且为增函数 因，所以，所以，即，解得 解不等式 练习：(1)已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围. (2) 定义在R上的函数对任意都有，且函数的图象关于原点对称，若，解不等式。 解：(1) (2)因对任意都有，即，令， 即函数在上单调递减，且是R上的奇函数，因此，函数在上单调递减， 而，即， 当时，，解得，当时，，解得， 所以不等式的解集是. 解不等式 例2：(1)是定义在R上的偶函数，且在(∞,0]单调递减， 0，解不等式 0。 (2)是定义在R上的奇函数，且在(∞,0)单调递减， 0，解不等式 ≥0。 解不等式 例2：(1)是定义在R上的偶函数，且在(∞,0]单调递减， 0，解不等式 0。 (2)是定义在R上的奇函数，且在(∞,0)单调递减， 0，解不等式 0。 解：(1) ,所以 (2) 或) 所以 解不等式 练习：(1)函数满足，在上是单调递减函数且，解不等式 (2)已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，解不等式。 解：(1)函数满足，所以是奇函数，则， 在 上单调递减，且，所以的解集为； 在上单调递减，且，所以的解集为 (2)解：令为偶函数，又由函数在单调递增且， 得在单调递增且 则,得不等式的解集为 抽象函数 例. (1) f(x)是定义在R上函数，对的奇偶性 (2) f(x)是定义在R上函数，对的奇偶性 抽象函数 例. (1) f(x)是定义在R上函数，对的奇偶性 (2) f(x)是定义在R上函数，对的奇偶性 解：(1)令，所以 令得所以函数。 (2)令，所以函数。 抽象函数 练. (1)设函数（，且）对任意非零实数，，恒有判断函数的奇偶性． (2)对任意的，都有，求证：函数是奇函数. 解：(1) ，解得；，可得． 取，，得∴函数是偶函数 (2)令，得．令 ∴，即，∴函数是奇函数． 轴对称 1.若函数是定义在R上的偶函数，则关于对称 2.若，则图象关于对称 3. 若，则图象关于对称 例1（1） （2） （3） 中心对称 1.若函数是定义在R上的奇函数，则关于图象对称 2. 若，则图象关于, 对称 3. 若，则图象关于, 对称 例2（1） =0 （2） =0 （3） =1 应用 例(1)已知定义域为R的函数在单调递增，且，解不等式 (2)已知函数在[是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，求实数的取值范围. 应用 例:(1)已知定义域为R的函数在单调递增，且，解不等式 (2)已知函数在[是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，求实数的取值范围. 解: (1) 关于点对称，又在单增，所以在上单增，即在R上单增， 不等式转化为， 所以，即，解得 (2) 关于对称，又在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或 周期性 周期函数：一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 1.若 ，则的一个周期是 2.若 ，则的一个周期是 3.若 ，则的一个周期是 4.若 ，则的一个周期是 周期与对称综合 1.若关于和 对称，则的一个周期是2 2.若关于和 对称，则的一个周期是2 3.若关于和 对称，则的一个周期是4 1.两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差 2.奇偶性，对称性，周期性——知二求一 示 温 馨 提 应用 例.(1)函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则 (2)已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则____________. 解: (1) 周期为2，奇函数， (2) 周期为4，奇函数， $