第01讲 锐角三角函数（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦锐角三角函数核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切的概念及注意事项，从直角三角形边角比定义出发，延伸至性质辨析、函数值计算、边长求解、特殊角值及同角互余角关系，形成完整知识链，通过概念辨析与分层题型搭建学习支架。 资料以“概念-辨析-分层应用”为设计特色，结合图形直观培养几何直观（数学眼光），典例与变式训练提升运算能力和推理意识（数学思维），符号规范强化符号意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后学生可借变式题巩固，有效查漏补缺。

第01讲 锐角三角函数 【知识点：锐角三角函数的概念】 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【注意】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【题型1 锐角三角函数的概念】 【典例1】如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意；     故选：A． 【变式1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦函数，熟练掌握“在直角三角形中，锐角的正弦值等于其对边长度与斜边长度的比值"是解题的关键. 【详解】解：由图可知直角的斜边是， 的对边是 根据正弦函数的定义可知：. 故选：． 【变式2】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式3】在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∴，，，， 故A选项成立，B，C，D不成立， 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 【题型2 求角的函数值】 【典例2】在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义逐一判断各选项． 【详解】在中，，，， ， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选：B． 【变式2】如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 【变式3】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理及勾股定理逆定理．解题的关键是表示出所需线段长．利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，根据求出值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：B． 【题型3 已知函数值求边长】 【典例3】在中，，，，则为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理，掌握正弦定义和勾股定理是解题关键． 利用正弦函数的定义求出斜边，再根据勾股定理求． 【详解】∵ ， ，且， ∴ ， ∴， 又∵ 为直角三角形， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正弦的定义求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式3】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切的定义是解题关键；利用正切函数的定义，在直角三角形中，利用． 【详解】解：∵在中，已知，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【题型4 特殊角三角函数值】 【典例4】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1】的值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式3】的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可． 【详解】解：． 故选：D 【题型5 同角三角函数的关系】 【典例5】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式1】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解： ， ． 故选：． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1． 【变式3】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出α的度数，再根据特殊角的三角函数值得出cosα的值即可． 【详解】∵α是锐角，sinα＝， ∴α＝60°， ∴cosα＝cos60°＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 【题型6 互余两角三角函数的关系】 【典例6】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握三角函数的定义进行解题．由题意，互余的两个角的正弦和余弦值相等，即可得到答案； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，据此求解即可． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=， ∴cosA ，∠A+∠B=90°， ∴sinB=cosA=． 故选：A． 【点睛】本题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【变式2】在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的平方和等于1求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键． 【变式3】在中，，若，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质，结合题意，可得，通过假设并利用勾股定理计算得AB，最后根据三角函数定义，即可完成求解． 【详解】∵且 ∴ 假设，则 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数和勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 【题型7三角函数的计算】 【典例7】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【分析】本题考查锐角三角函数与实数的运算，记熟每个特殊的锐角三角函数值是关键． （1），，，化简后即得答案； （2）不是最简二次根式，可以化成，任何除零以外的数的零次幂都等于1． 【详解】（1）； （2）． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数的计算，掌握其运算法则是关键． （1）先算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂的结果，再计算加减即可 （2）先算特殊角的三角函数值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的化简以及实数的混合运算．先依次计算特殊角的三角函数值、乘方、二次根式的化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，包括求一个数的绝对值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用求一个数的绝对值，零次幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的正弦值，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该锐角所对的边的长与斜边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵中，， ∴， 故选：B． 2．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长度，再根据正弦的定义（对边比斜边）求解． 【详解】解：∵， ∴ 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 3．的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查基本三角函数值，熟记的值是求解的关键． 直接利用特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 5．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误；     B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确； D．，故此选项错误．     故选：C． 6．如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 7．已知：，则锐角 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用特殊角的三角函数值，将 代入方程，通过代数运算求解 ，再根据锐角范围确定的值． 【详解】 ， ， ， ， 为锐角， ， 故答案为：． 8．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是掌握锐角三角函数值的变化规律．根据锐角三角函数的增减性：正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质，特殊角的三角函数解答即可． 本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵半径为分别切于， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 11．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂，特殊角三角函数值的混合运算及实数的运算，二次根式的化简，绝对值． （1）先计算零指数幂，化简二次根式，绝对值，最后计算加减即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再从左往右依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 【答案】(1)的余弦值为 (2)边的长为 【分析】此题考查勾股定理，三角函数， （1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值； （2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在、中， ，， ． ， ． ，即． ． ． 所以，的余弦值为． （2）解：由（1）知，， 在中， ． 在中， ， ． 答：边的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 锐角三角函数 【知识点：锐角三角函数的概念】 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 【注意】 (1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0 【题型1 锐角三角函数的概念】 【典例1】如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求角的函数值】 【典例2】在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型3 已知函数值求边长】 【典例3】在中，，，，则为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 【变式2】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【变式3】在中，已知，，，那么的长是（   ） A．6 B．3 C． D． 【题型4 特殊角三角函数值】 【典例4】的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】的值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式2】（    ） A． B． C． D． 【变式3】的值是（　　） A． B． C． D． 【题型5 同角三角函数的关系】 【典例5】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【题型6 互余两角三角函数的关系】 【典例6】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】在中，，若，则（  ）． A． B． C． D． 【题型7三角函数的计算】 【典例7】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算 (1)； (2)． 1．如图，中，，则的正弦值可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 4．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 5．在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．已知：，则锐角 ． 8．比较大小： ． 9．如图，半径为分别切于，连接并延长交延长线于，则线段的长度为 ． 10．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 11．计算： (1)； (2)； 12．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 学科网（北京）股份有限公司 $