精品解析：福建省厦门市第六中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

2023年高三六中10月月考 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】，， ∴， 故选：D． 2. 已知中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果. 【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得： ， 又，在上单调递减， ，即， “”是“”成立的充分必要条件. 故选：C. 3. 函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A. 2和 B. 2和0 C. 0和 D. 1和0 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得最大值和最小值. 【详解】， 所以在区间上递减，在上递增. 所以的最小值为， ， 所以的最大值为. 故选：A 4. 在中，角，，所对的边分别为， ，，已知，且 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用余弦定理可得，再利用正弦定理的边角互化可得，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】，∵ ∴， ，， 即， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 5. 已知函数，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再根据对数函数、指数函数性质比较的大小后可得结论． 【详解】是增函数，是减函数，因此在是增函数，且此时． 在时是增函数，所以在定义域内是增函数． ， ，， 即，所以． 故选：A． 6. 已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即 【详解】设， 因为为上奇函数， 所以， 即为上奇函数 对求导，得， 而当时，有 故时，，即单调递增， 所以在上单调递增 不等式 ， 即 所以，解得 故选A项. 【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题. 7. 已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 是奇函数 C. 对任意，恒有为定值 D. 对任意，有 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知两个等式进行变形，由此可推出函数为周期是4的偶函数，从而可判断选项，再利用周期性可得的值，即可判断 【详解】，∴ ，∴ ∴，∴ ∴，∴是周期为4的函数 ∴，∴为偶函数 在中，令，有 故是定值 当时，即为，故D不正确 故选：C 【点睛】本题考查了函数的周期性与对称性综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 9. 以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ） A. （）′ B. （cos2x）'＝﹣2sin2x C. D. （lgx）′ 【答案】BC 【解析】 【分析】 对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可. 【详解】，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，. 故选：BC. 【点睛】本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题. 10. 下列说法正确的有（       ） A. 若，那么 B. 若，则 C. 若，则有最小值2 D. 若，则有最大值1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用举反例排除A项；利用作差比较法判断B项；利用基本不等式取等条件不满足排除C项；分类考虑的取值情况，先凑项再运用基本不等式求值判断D项. 【详解】对于A，若取，满足，但，故A错误； 对于B，因，则，所以，故B正确； 对于C，因，由， 当且仅当时，即时等号成立，因，则等号不成立，故C错误； 对于D，当时，；当，， 若，因， 当且仅当，即时等号成立，此时的最大值为1； 若，显然 ，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象易得，从而可得出，再利用待定系数法求得，再根据正弦函数得性质逐一判断即可得出答案. 【详解】解：由图可得， ，则，所以， 所以， 将代入得， 所以，又， 所以， 所以， 因为， 所以直线是图象的一条对称轴，故A正确； 令，则， 所以图象的对称中心为，，故B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，故C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后， 得不是奇函数，故D错误. 故选：AC. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A．，解得，所以A正确； 对于B．， 当时，，当时，或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确． 对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为　_________ 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的弧长和圆心角可得半径，再由S扇形=计算即可得解. 【详解】由扇形的圆心角为，弧长为，可得扇形半径为. 从而有扇形面积为：. 故答案为. 【点睛】(1)本题主要考查扇形的弧长、圆心角和面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) S扇形=，其中代表弧长, 代表圆的半径，属于基础题. 14. 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解. 【详解】因为， 所以 所以，解得， 所以 由题意可知，， 所以. 故选：B. 15. 若函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为减函数，结合复合函数的单调性可得， 再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由在区间上单调递减， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递增，可得： 对于恒成立， 所以， 解得：， 故答案为： 16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设的三个内角所对的边分别为，由正弦定理求出c，由题意可得，从而表示出，结合余弦定理求得，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】 的三个内角所对的边分别为， 由正弦定理可得， 如图，连接, 因为是以BC，AC为边向外作的等边三角形的外接圆圆心， 故,故， 由题意知， 则， 又， 故， 当且仅当时等号成立， 即， 由题意知为等边三角形， 故， 即的面积最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于明确拿破仑三角形的含义，即为等边三角形，由此可结合正余弦定理以及基本不等式求解. 17. 已知． （1）设，求的值域； （2）设，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论． （2）由题意利用诱导公式及二倍角公式求得结果． 【小问1详解】 ， ，所以，， 故当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值． 所以的值域为 【小问2详解】 由， 得． 于是． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极小值； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极小值即可； （2）由条件可知在上恒成立，再分离变量构造函数求最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时， 求导得， 整理得：. 令可得，或 当时，，函数单调递减； 当或时，，函数单调递增； 所以当时，函数取极小值，极小值为. 【小问2详解】 ，则. 由已知时，恒成立， 所以恒成立， 即恒成立，则. 设，则， 故在区间上单调递增，则， 故实数的取值范围为. 19. 如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心． （1）证明：平面ABC （2）已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离． 【答案】（1） 延长EG交AB于N，连接NC, 因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且 , 因为 ,故 ,所以 , 故，故 , 而平面ABC，平面ABC, 故平面ABC； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC， , 平面BCDE， 故平面ABC, 平面ABC, 则 ,同理， 又平面BCDE, 所以平面BCDE， 以C为原点，以CB,CD,CA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设点G到平面BCDE的距离为 ， 则 ， 故 , 设平面GCE的法向量为 ，则，即， 取，则即， 设平面ADE的法向量为 ，则，即， 取 ，则，则， 所以，解得 ， 又， 故点G到平面ADE的距离为. 20. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 【答案】（1） 证明：已知数列的前项积为得（）， 故有，从而，且，则，所以. 从而是首项为3，公差为2的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列前项积为与通项的关系，从而可得（），且，求得首项，从而可得结论； （2）根据裂项求和方法得，再根据题意求解的前项和即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，，. 所以 . 当时，，. 当时，，. 当时，. 这时. 所以时，， 综上， 21. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再根据同角基本关系求解； （2）由已知可设，在中，由余弦定理、正弦定理得与的关系，再在中，由余弦定理将表示为的函数，最后由三角函数的性质可解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 又，所以， 因为，，所以， 又，解得， 因为，所以. 【小问2详解】 由已知可设， 在中，则由余弦定理得， 即， 由正弦定理得，所以. 在中，由余弦定理，得， ， 当时，的长度取得最大值. 22. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性， （2）若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：） 【答案】（1） 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）3 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导函数的正负即可； （2）分离参数，当时恒成立即可，设，利用导数求解单调性，结合零点存在性定理，即可求解最值得解. 【小问1详解】 由可得. 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令得，所以在单调递减，在单调递增； 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，成立，当时，恒成立即， 设，则， 令，则， 设， 当时，，故；当时，，故， 综上有，故，故为增函数， 又， 因为，故， 所以， 故存在唯一零点使得， 故当时单调递减当时，，单调递增，故， 又， 即， 所以 设，则，故为增函数， 又，所以， 所以，故要且为正整数则的最大值为3. 【点睛】利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年高三六中10月月考 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在区间上的最大值和最小值分别为（ ） A. 2和 B. 2和0 C. 0和 D. 1和0 4. 在中，角，，所对的边分别为， ，，已知，且 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知函数，若，则有（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为(　　) A. B. C. D. 7. 已知定义在的函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 是奇函数 C. 对任意，恒有为定值 D. 对任意，有 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（ ） A. （）′ B. （cos2x）'＝﹣2sin2x C. D. （lgx）′ 10. 下列说法正确的有（       ） A. 若，那么 B. 若，则 C. 若，则有最小值2 D. 若，则有最大值1 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 图象的对称中心为， C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为　_________ 14. 已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 若函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． 16. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑･波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若，则的面积最大值为____________. 17. 已知． （1）设，求的值域； （2）设，求的值． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极小值； （2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 19. 如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心． （1）证明：平面ABC （2）已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离． 20. 已知数列的前项积为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和. 21. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值. 22. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性， （2）若，当时，恒成立时，求的最大值.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $